Uppgift 1139 Sida 19

Övning ger färdighet

När vi löser sinusekvationer lägger vi till den andra lösningen

18 0^{\circ} - v

i samma steg som

sin

tas bort, dvs i steget

arcsin (VL) = arcsin (HL)

18 0^{\circ} - v

visar att vinkeln

v

också kan dras från andra änden av

x -

axeln (

18 0^{\circ}

) och medurs (

-

), och ändå ge samma sinusvärde.

sin (x - 5 1^{\circ}) = 0.7

$sin (v) = sin (v - n \cdot 36 0^{\circ})$

sin (x - 5 1^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ}) = 0.7

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

{x_{1} - 5 1^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = arcsin (0.7) x_{2} - 5 1^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - arcsin (0.7) (I) (II)

$(I), (II):$ $VL + n \cdot 36 0^{\circ} = HL + n \cdot 36 0^{\circ}$

{x_{1} - 5 1^{\circ} = arcsin (0.7) + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} - 5 1^{\circ} = 18 0^{\circ} - arcsin (0.7) + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ $VL + 5 1^{\circ} = HL + 5 1^{\circ}$

{x_{1} = 5 1^{\circ} + arcsin (0.7) + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 23 1^{\circ} - arcsin (0.7) + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ Slå in på räknare

{x_{1} = 95.42700 \dots^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 186.57299 \dots^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ Avrunda till $1$ decimal(er)

{x_{1} \approx 95 . 4^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} \approx 186 . 6^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

Vinklarna

95 . 4^{\circ}

och

186 . 6^{\circ}

har alltså sinusvärdet

0.7,

om man subtraherar

5 1^{\circ}

från dem. Vi visar i enhetscirkeln nedan. Pilarna innebär att vi subtraherar

5 1^{\circ}

från de svarta vinklarna och då får en differens som utgörs av de röda vinklarna.

Koordinatplan med enhetscirkeln, linjen y=0.7, vinkeln 44 grader, vinkeln 95.4 grader, vinkeln 135 grader och vinkeln 186.6 grader.

När vi löser cosinusekvationer lägger vi till ett

\pm

i samma steg som

cos

tas bort. Detta visar att vinkeln kan dras antingen moturs (

+

) eller medurs (

-

) och ändå få samma cosinusvärde. Genom att lägga in

\pm

kommer båda lösningar med i svaret.

cos (x + 5 1^{\circ}) = 0.7

$cos (v) = cos (v - n \cdot 36 0^{\circ})$

cos (x + 5 1^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ}) = 0.7

ArcCosEqn

$arccos (VL) = arccos (HL)$

x + 5 1^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = \pm arccos (0.7)

AddEqn

$VL + n \cdot 36 0^{\circ} = HL + n \cdot 36 0^{\circ}$

x + 5 1^{\circ} = \pm arccos (0.7) + n \cdot 36 0^{\circ}

SubEqn

$VL - 5 1^{\circ} = HL - 5 1^{\circ}$

x = \pm arccos (0.7) - 5 1^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

UseCalc

Slå in på räknare

x = \pm 45.57299 \dots^{\circ} - 5 1^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx \pm 45 . 6^{\circ} - 5 1^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

StateSol

Ange lösningar

{x_{1} \approx 45 . 6^{\circ} - 5 1^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} \approx - 45 . 6^{\circ} - 5 1^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} (I) (II)

$(I), (II):$ Subtrahera term

{x_{1} \approx - 5 . 4^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} \approx - 96 . 6^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

Vinklarna

- 5 . 4^{\circ}

och

- 96 . 6^{\circ}

har alltså cosinusvärdet

0.7,

om man adderar

5 1^{\circ}

till dem.

Koordinatplan med enhetscirkeln, linjen x=0.7, vinkeln 45.6 grader, vinkeln -5.4 grader, vinkeln -45.6 grader och vinkeln -96.6 grader.

Vi gör precis som i deluppgift A, och dividerar sen bort

5 :

an i slutet.

sin (5 x - 71 . 3^{\circ}) = - 0.37

$sin (v) = sin (v - n \cdot 36 0^{\circ})$

sin (5 x - 71 . 3^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ}) = - 0.37

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

{5 x_{1} - 71 . 3^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = arcsin (- 0.37) 5 x_{2} - 71 . 3^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - arcsin (- 0.37) (I) (II)

$(I), (II):$ $VL + n \cdot 36 0^{\circ} = HL + n \cdot 36 0^{\circ}$

{5 x_{1} - 71 . 3^{\circ} = arcsin (- 0.37) + n \cdot 36 0^{\circ} 5 x_{2} - 71 . 3^{\circ} = 18 0^{\circ} - arcsin (- 0.37) + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ $VL + 71 . 3^{\circ} = HL + 71 . 3^{\circ}$

{5 x_{1} = 71 . 3^{\circ} + arcsin (- 0.37) + n \cdot 36 0^{\circ} 5 x_{2} = 251 . 3^{\circ} - arcsin (- 0.37) + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ $VL / 5 = HL / 5$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{7 1 . 3 ^{\circ} + arcsin ( - 0 . 3 7 ) + n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{5} x_{2} = \frac{2 5 1 . 3 ^{\circ} - arcsin ( - 0 . 3 7 ) + n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{5}

$(I), (II):$ Dela upp bråk

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{7 1 . 3 ^{\circ} + arcsin ( - 0 . 3 7 )}{5} + \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{5} x_{2} = \frac{2 5 1 . 3 ^{\circ} - arcsin ( - 0 . 3 7 )}{5} + \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{5}

$(I), (II):$ Beräkna kvot

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{7 1 . 3 ^{\circ} + arcsin ( - 0 . 3 7 )}{5} + n \cdot 7 2^{\circ} x_{2} = \frac{2 5 1 . 3 ^{\circ} - arcsin ( - 0 . 3 7 )}{5} + n \cdot 7 2^{\circ}

$(I), (II):$ Slå in på räknare

{x_{1} = 9.91687 \dots^{\circ} + n \cdot 7 2^{\circ} x_{2} = 54.60312 \dots^{\circ} + n \cdot 7 2^{\circ}

$(I), (II):$ Avrunda till $1$ decimal(er)

{x_{1} \approx 9 . 9^{\circ} + n \cdot 7 2^{\circ} x_{2} \approx 54 . 6^{\circ} + n \cdot 7 2^{\circ}

9 . 9^{\circ}

och

54 . 6^{\circ}

är alltså vinklar som får sinusvärdet

- 0.37,

om man multiplicerar dem med

5

och subtraherar

71 . 3^{\circ} .

Då fås

9 . 9^{\circ} \cdot 5 - 71 . 3^{\circ} 54 . 6^{\circ} \cdot 5 - 71 . 3^{\circ} = - 21 . 8^{\circ} = 201 . 7^{\circ}

Vi ser i enhetscirkeln att dessa vinklar har sinusvärdet

- 0.37 .

Koordinatplan med enhetscirkeln, linjen y=-0.37, vinkeln 54.6 grader, vinkeln 201.7 grader, vinkeln -21.8 grader och vinkeln 9.9 grader.

Vi gör som i deluppgift B, och flyttar sen över koefficienten

0.5

i slutet.

cos (0.5 x + 33 . 3^{\circ}) = 0.74

$cos (v) = cos (v - n \cdot 36 0^{\circ})$

cos (0.5 x + 33 . 3^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ}) = 0.74

ArcCosEqn

$arccos (VL) = arccos (HL)$

0.5 x + 33 . 3^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ} = \pm arccos (0.74)

AddEqn

$VL + n \cdot 36 0^{\circ} = HL + n \cdot 36 0^{\circ}$

0.5 x + 33 . 3^{\circ} = \pm arccos (0.74) + n \cdot 36 0^{\circ}

SubEqn

$VL - 33 . 3^{\circ} = HL - 33 . 3^{\circ}$

0.5 x = \pm arccos (0.74) - 33 . 3^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

2 \cdot 0.5 x = 2 (\pm arccos (0.74) - 33 . 3^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ})

Distr

Multiplicera in $2$

2 \cdot 0.5 x = \pm 2 \cdot arccos (0.74) - 2 \cdot 33 . 3^{\circ} + 2 \cdot n \cdot 36 0^{\circ}

Multiply

Multiplicera faktorer

x = \pm 2 arccos (0.74) - 66 . 6^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ}

UseCalc

Slå in på räknare

x = \pm 84.53716 \dots^{\circ} - 66 . 6^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ}

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

x \approx \pm 84 . 5^{\circ} - 66 . 6^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ}

StateSol

Ange lösningar

{x_{1} \approx - 84 . 5^{\circ} - 66 . 6^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ} x_{2} \approx 84 . 5^{\circ} - 66 . 6^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ} (I) (II)

$(I), (II):$ Subtrahera term

{x_{1} \approx - 151 . 1^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ} x_{2} \approx 17 . 9^{\circ} + n \cdot 72 0^{\circ}

Vinklarna

- 151 . 4^{\circ}

och

17 . 9^{\circ}

har alltså cosinusvärdet

0.74,

om man halverar dem och adderar

33 . 3^{\circ}

till dem. Då fås

- 151 . 1^{\circ} \cdot 0.5 + 33 . 3^{\circ} 17 . 9^{\circ} \cdot 0.5 + 33 . 3^{\circ} = - 42.2 5^{\circ} = 42.2 5^{\circ}

Vi ser i enhetscirkeln att dessa vinklar har cosinusvärdet

0.74 .

Koordinatplan med enhetscirkeln, linjen x=0.74, vinkeln 42 grader, vinkeln 17.9 grader, vinkeln -42 grader och vinkeln -151.1 grader

Delkapitel länkar

Repitition av trigonometri s.11

1102

1103

1104

1105

1106

1107

Enhetscirkeln s.14-15

1110

1111

1112

1114

1115

1116

1117

1118

1119

1120

1121

1122

1123

1124

Trigonometriska ekvationer s.18-19

1129

1130

1131

1132

1133

1134

1135

1136

1137

1138

1139

1140

1141

1142

1143

1144

1145

Enhetscirkeln - symmetrier och exakta värden s.23-24

1148

1149

1150

1151

1152

1153

1154

1155

1156

1157

1158

1159

1160

1161

1162

Uppgift 1139 Sida 19

Ledtrådar

Kontrollera svaret

Öva på fler uppgifter

Testa dig själv