Arcusfunktioner och speglingar

Eftersom cosinusvärdet för en vinkel motsvarar det x-värde man får när vinkeln markeras i enhetscirkeln kan a ses som ett x-värde. Markerar vi ett positivt x-värde i enhetscirkeln ser vi att det finns två vinklar som motsvara det: den positiva vinkeln v_1 och motsvarande negativa vinkel v_2.

Dessa två vinklar är lika stora fast med omvänt tecken, vilket följer av det trigonometriska speglingssambandet cos(- v) = cos(v). Det ger oss sambandet v_2 = - v_1, som vi kan sätta in i sambandet v_1 - v_2 = 120^(∘) från uppgiften. Vi får då v_1 - (- v_1) = 120^(∘), vilket ger 2v_1 = 120^(∘) och till slut v_1 = 60^(∘). Då är den andra vinkeln v_2 = -60^(∘). Nu när vi vet vinklarna kan vi bestämma värdet på a genom att beräkna cosinusvärdet för en av dem. cos(60^(∘)) = 0.5 a har alltså värdet 0.5. Om man antar att a är negativ istället för positiv kommer linjen x = a hamna till vänster om origo. Om man låter både v_1 och v_2 vara positiva finns det även där ett a som gör att v_1 - v_2 = 120^(∘).

Detta ger dock inte en lösning som vi kan använda, eftersom vinkeln v_1 blir större än 180^(∘), som är den största tillåtna vinkeln. Det enda möjliga värdet för a är alltså a = 0.5.

Som ekvationen står just nu blir det svårt att lösa den med lösningsmetoderna som presenterats hittills. Däremot är det möjligt att skriva om vänsterledet med hjälp av det trigonometriska speglingssambandet - cos(π - v)=cos(v). Då får vi den ekvivalenta ekvationen -cos(π - v) = 0.35 ⇔ cos(v)=0.35. Vi kan bestämma en vinkel med cosinusvärdet 0.35 med hjälp av arccos.

En lösning till ekvationen är alltså v ≈ 1.2. För att hitta ytterligare en lösning kan vi använda sambandet cos(v) = cos(- v) som säger att vinklarna v och - v har samma cosinusvärde. En annan andra lösning får vi genom att byta tecken på den första. Vi får då v ≈ - 1.2. I enhetscirkeln kan vi se att dessa två vinklar motsvarar samma cosinusvärde.

Nu har vi hittat två lösningar: v ≈ 1.2 och v ≈ - 1.2.

Vi kan resonera grafiskt kring antalet lösningar till sin(x) = a. Antalet rötter motsvarar nämligen antalet skärningspunkter mellan enhetscirkeln och linjer y=a, som representerar olika sinusvärden.

I figuren ser vi att linjerna skär enhetscirkeln 0, 1 eller 2 gånger, vilket innebär att ekvationen kan ha just det antalet lösningar.

I föregående deluppgift kan vi se att det finns 1 skärningspunkt mellan enhetscirkeln och respektive linje a = - 1 och a = 1. Vi kan också se att alla linjer med a-värden på intervallet - 1 < a < 1 skär cirkeln 2 gånger. Vidare saknas skärningspunkter när linjerna är under och över enhetscirkeln, vilket motsvarar sinusvärdena a < - 1 och a > 1.

Sammanfattningsvis gäller alltså att ekvationen har &0 lösningar då a < -1 och a > 1, &1 lösning då a = -1 och a = 1 samt &2 lösningar då -1 < a < 1.

Påstående 1 och 2 liknar varandra eftersom de handlar om samma ekvation. Vi undersöker därför dem tillsammans.

Påstående 1 och 2

Vi kan illustrera lösningarna till ekvationen sin(x) = - 0.7 med hjälp av enhetscirkeln, där vi ritat in linjen y = - 0.7.

Beroende på om man går medurs eller moturs i enhetscirkeln kommer dessa punkter motsvara negativa respektive positiva vinklar. Går man medurs från x-axeln får man negativa vinklar, vilka kallas x_1 och x_2 i figuren.

När man går medurs innefattar nedre halvan av enhetscirkeln vinklarna från 0^(∘) till -180^(∘), och eftersom både x_1 och x_2 finns där kommer de vara lösningar till sin(x) = - 0.7 på intervallet - 180^(∘) ≤ x ≤ 180^(∘). Påstående 1 är alltså sant. Går man istället moturs från x-axeln får man de positiva vinklarna x_3 och x_4.

Storleken på dessa vinklar ligger inom intervallet 0^(∘) ≤ x ≤ 360^(∘) så även påstående 2 är sant.

Påstående 3

För att ekvationen sin(v) = cos(v) ska ha en lösning måste det finns någon vinkel, v, med samma sinus- och cosinusvärde. Vi kan hitta en sådan vinkel i tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

Här ser vi att både sin(45^(∘)) och cos(45^(∘)) har värdet 1sqrt(2). Ekvationen sin(v) = cos(v) har alltså minst en lösning, 45^(∘). Man kan även motivera att det finns lösningar med hjälp av enhetscirkeln, eftersom det finns punkter på cirkeln med samma x- och y-koordinat. Exempelvis den som motsvarar 45^(∘).

Påstående 3 är alltså falskt.