Logga in
| 5 sidor teori |
| 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Funktion | Värdemängd (grader) | Värdemängd (radianer) |
---|---|---|
arcsin | −90∘≤v≤90∘ | −2π≤v≤2π |
arccos | 0∘≤v≤180∘ | 0≤v≤π |
arctan | −90∘<v<90∘ | −2π<v<2π |
Bestäm alla vinklar i triangeln ABC. Svara i radianer och avrunda till 3 decimaler.
sin(v)=sin(180∘−v)
cos(v)=cos(−v)
Lös ekvationen cos(v)=0.5 på intervallet −180∘≤v≤180∘. Svara i grader.
Vi ska bestämma de vinklar på intervallet −180∘≤v≤180∘ som svarar mot cosinusvärdet 0.5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.
Vinkeln v1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet 0∘≤v≤180∘. Vi använder räknaren för att utföra beräkningen arccos(0.5). För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.
Vinkeln v1 är alltså 60∘.
Ekvationen cos(v)=0.5 har alltså rötterna v=60∘ och v=−60∘ på intervallet −180∘≤v≤180∘.
Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.
sin(−v)=−sin(v)
cos(v)=−cos(180−v)
Vi kan bestämma en vinkel med cosinusvärdet - 0.7 med hjälp av arccos. Vi ser till att räknaren är inställd på grader.
En lösning till ekvationen är alltså x ≈ 134.4^(∘), men den ligger inte inom det specificerade intervallet. För att hitta ytterligare en lösning kan vi använda sambandet
cos(- v) = cos(v)
som säger att vinklarna v och - v har samma cosinusvärde. Vi bestämmer därför en andra lösning genom att byta tecken på arccos(-0.7) och får x ≈ - 134.4^(∘). I enhetscirkeln kan vi se att dessa två vinklar faktiskt motsvarar samma cosinusvärde, - 0.7. Det tillåtna intervallet är markerat i grönt.
Den andra lösningen är inom det givna intervallet så ekvationens enda lösning är x ≈ - 134.4^(∘).
Eftersom cosinusvärdet för en vinkel motsvarar det x-värde man får när vinkeln markeras i enhetscirkeln kan a ses som ett x-värde. Markerar vi ett positivt x-värde i enhetscirkeln ser vi att det finns två vinklar som motsvara det: den positiva vinkeln v_1 och motsvarande negativa vinkel v_2.
Dessa två vinklar är lika stora fast med omvänt tecken, vilket följer av det trigonometriska speglingssambandet cos(- v) = cos(v). Det ger oss sambandet v_2 = - v_1, som vi kan sätta in i sambandet v_1 - v_2 = 120^(∘) från uppgiften. Vi får då v_1 - (- v_1) = 120^(∘), vilket ger 2v_1 = 120^(∘) och till slut v_1 = 60^(∘). Då är den andra vinkeln v_2 = -60^(∘). Nu när vi vet vinklarna kan vi bestämma värdet på a genom att beräkna cosinusvärdet för en av dem. cos(60^(∘)) = 0.5 a har alltså värdet 0.5. Om man antar att a är negativ istället för positiv kommer linjen x = a hamna till vänster om origo. Om man låter både v_1 och v_2 vara positiva finns det även där ett a som gör att v_1 - v_2 = 120^(∘).
Detta ger dock inte en lösning som vi kan använda, eftersom vinkeln v_1 blir större än 180^(∘), som är den största tillåtna vinkeln. Det enda möjliga värdet för a är alltså a = 0.5.
Som ekvationen står just nu blir det svårt att lösa den med lösningsmetoderna som presenterats hittills. Däremot är det möjligt att skriva om vänsterledet med hjälp av det trigonometriska speglingssambandet - cos(π - v)=cos(v). Då får vi den ekvivalenta ekvationen -cos(π - v) = 0.35 ⇔ cos(v)=0.35. Vi kan bestämma en vinkel med cosinusvärdet 0.35 med hjälp av arccos.
En lösning till ekvationen är alltså v ≈ 1.2. För att hitta ytterligare en lösning kan vi använda sambandet
cos(v) = cos(- v)
som säger att vinklarna v och - v har samma cosinusvärde. En annan andra lösning får vi genom att byta tecken på den första. Vi får då v ≈ - 1.2. I enhetscirkeln kan vi se att dessa två vinklar motsvarar samma cosinusvärde.
Nu har vi hittat två lösningar: v ≈ 1.2 och v ≈ - 1.2.
Amir vet att ekvationen sin(x)=a har 0, 1 eller 2 lösningar på intervallet 0≤x<2π, beroende på värdet på a.
Amirs lärare Nelly är skeptisk till att det är så. Hjälp Amir att övertyga Nelly!
Nelly är nu så övertygad att hon ger Amir utmaningen att bestämma för vilka värden på a som ekvationen har 0, 1 respektive 2 lösningar. Amir lyckas dock inte. Gör du?
Vi kan resonera grafiskt kring antalet lösningar till sin(x) = a. Antalet rötter motsvarar nämligen antalet skärningspunkter mellan enhetscirkeln och linjer y=a, som representerar olika sinusvärden.
I figuren ser vi att linjerna skär enhetscirkeln 0, 1 eller 2 gånger, vilket innebär att ekvationen kan ha just det antalet lösningar.
I föregående deluppgift kan vi se att det finns 1 skärningspunkt mellan enhetscirkeln och respektive linje a = - 1 och a = 1. Vi kan också se att alla linjer med a-värden på intervallet - 1 < a < 1 skär cirkeln 2 gånger. Vidare saknas skärningspunkter när linjerna är under och över enhetscirkeln, vilket motsvarar sinusvärdena a < - 1 och a > 1.
Sammanfattningsvis gäller alltså att ekvationen har &0 lösningar då a < -1 och a > 1, &1 lösning då a = -1 och a = 1 samt &2 lösningar då -1 < a < 1.
Vilket eller vilka av följande påståenden är sanna?
Påstående 1 och 2 liknar varandra eftersom de handlar om samma ekvation. Vi undersöker därför dem tillsammans.
Vi kan illustrera lösningarna till ekvationen sin(x) = - 0.7 med hjälp av enhetscirkeln, där vi ritat in linjen y = - 0.7.
Beroende på om man går medurs eller moturs i enhetscirkeln kommer dessa punkter motsvara negativa respektive positiva vinklar. Går man medurs från x-axeln får man negativa vinklar, vilka kallas x_1 och x_2 i figuren.
När man går medurs innefattar nedre halvan av enhetscirkeln vinklarna från 0^(∘) till -180^(∘), och eftersom både x_1 och x_2 finns där kommer de vara lösningar till sin(x) = - 0.7 på intervallet - 180^(∘) ≤ x ≤ 180^(∘). Påstående 1 är alltså sant. Går man istället moturs från x-axeln får man de positiva vinklarna x_3 och x_4.
Storleken på dessa vinklar ligger inom intervallet 0^(∘) ≤ x ≤ 360^(∘) så även påstående 2 är sant.
För att ekvationen sin(v) = cos(v) ska ha en lösning måste det finns någon vinkel, v, med samma sinus- och cosinusvärde. Vi kan hitta en sådan vinkel i tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.
v (grader) | 0^(∘) | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) | 90^(∘) | 120^(∘) | 135^(∘) | 150^(∘) | 180^(∘) |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
v (radianer) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
sin(v) | 0 | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 | 1 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 | 0 |
cos(v) | 1 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 | 0 | -1/2 | -1/sqrt(2) | -sqrt(3)/2 | -1 |
tan(v) | 0 | 1/sqrt(3) | 1 | sqrt(3) | Odef. | -sqrt(3) | - 1 | -1/sqrt(3) | 0 |
Här ser vi att både sin(45^(∘)) och cos(45^(∘)) har värdet 1sqrt(2). Ekvationen sin(v) = cos(v) har alltså minst en lösning, 45^(∘). Man kan även motivera att det finns lösningar med hjälp av enhetscirkeln, eftersom det finns punkter på cirkeln med samma x- och y-koordinat. Exempelvis den som motsvarar 45^(∘).
Påstående 3 är alltså falskt.