Linjära funktioner

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k$ -form.

$y=kx+m$

k

- och

m

-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper.

Begrepp

$k$ -värde

För en rät linje anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y$ -led när man går 1 steg åt höger i $x$ -led. Denna lutning kallas oftast bara för $k$ -värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k$ -värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k$ -värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna $k$ -värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \quad \text{eller} \quad k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$\Delta$ är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i $y$ -värde mellan två punkter på linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2),$ och dividerar med skillnaden mellan $x$ -värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Drar man i punkterna kan man se att

k

-värdet för linjen är konstant även om skillnaden i

x

och

y

-led förändras.

Bestäm en linjes lutning från en graf

Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Lösning

I koordinatsystemet är $1$ steg längs $x$ -axeln lika stort som $1$ steg längs $y$ -axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i $y$ -led för varje steg man går i $x$ -led.

Man går alltså $3$ steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är $k=3.$

Visa lösning

Bestäm en linjes lutning med två punkter

Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna $(2,1)$ och $(4,5)?$

Lösning

Lutningen på en linje ges av $k$ -värdet och detta kan beräknas med $k$ -formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i $y$ -led med skillnaden i $x$ -led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{4,5}}\right)

&

\left({\color{#009600}{2,1}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{5}}-{\color{#009600}{1}}}{{\color{#0000FF}{4}}-{\color{#009600}{2}}}

Förenkla termer

k = \dfrac{4}{2}

Beräkna kvot

k = 2

Linjen har lutningen $2$ .

Visa lösning

Begrepp

$m$ -värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y$ -led från origo. Det läses av som det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln.

Metod

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex. $\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \text{och} \quad (7,19). \end{aligned}$

1

Bestäm

k

-värdet

Linjens $k$ -värde kan bestämmas med $k$ -formeln. Man kan exempelvis låta $(2,\text{-}1)$ vara punkt $1$ och $(7,19)$ vara punkt 2.

$\begin{aligned} (2,\text{-}1) \quad \quad (7,19) \\ x_1,y_1 \quad \quad \ x_2,y_2 \end{aligned}$

Därefter sätter man in koordinaterna i

k

-formeln.

k = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Sätt in

\left({\color{#0000FF}{7,19}}\right)

&

\left({\color{#009600}{2,\text{-}1}}\right)

k = \dfrac{{\color{#0000FF}{19}} - ({\color{#009600}{\text{-}1}})}{{\color{#0000FF}{7}} - {\color{#009600}{2}}}

a-(\text{-} b)=a+b

k = \dfrac{19 + 1}{7 - 2}

Förenkla termer

k = \dfrac{20}{5}

Beräkna kvot

k = 4

2

Bestäm

m

-värdet

När man har bestämt $k$ -värdet sätter man in det i $k$ -formen. I det här fallet får man $y = 4x + m.$ Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex. $(7,19),$ kan man nu bestämma $m.$ Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut $m.$

y = 4x + m

x={\color{#0000FF}{7}}

,

y={\color{#009600}{19}}

{\color{#009600}{19}} = 4 \cdot {\color{#0000FF}{7}} + m

Multiplicera faktorer

19 = 28 + m

Omarrangera ekvation

28 + m = 19

\text{VL}-28=\text{HL}-28

m = \text{-}9

3

Bestäm linjens ekvation

Nu vet man både $k$ - och $m$ -värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den $\begin{aligned} y=4x-9. \end{aligned}$

Linjära funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Räta linjens ekvation

$k$ -värde

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

$m$ -värde

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

1

2

3

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}