Linjära funktioner

Begrepp

Räta linjens ekvation

En funktion som beskriver en rät linje i ett koordinatsystem kallas linjär och skrivs oftast på så kallad $k$ -form.

$y = k x + m$

k

- och

m

-värdet är konstanter som beskriver linjens egenskaper.

Begrepp

$k$ -värde

För en rät linje anger konstanten $k$ lutningen för linjen, alltså antalet steg linjen rör sig i $y$ -led när man går 1 steg åt höger i $x$ -led. Denna lutning kallas oftast bara för $k$ -värde eller ibland riktningskoefficient. Ett positivt $k$ -värde betyder att linjen lutar uppåt medan ett negativt $k$ -värde innebär att den lutar nedåt. Om $k$ är $0$ har linjen ingen lutning och blir då horisontell.

Formeln för att beräkna $k$ -värdet för en linje kan skrivas på två sätt.

$k = \frac{Δ y}{Δ x} eller k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$

$Δ$ är den grekiska bokstaven delta och brukar beteckna skillnad, så enligt formeln beräknar man skillnaden i $y$ -värde mellan två punkter på linjen, $(x_{1}, y_{1})$ och $(x_{2}, y_{2}),$ och dividerar med skillnaden mellan $x$ -värdena. Vilka punkter som används spelar ingen roll, så länge de båda ligger på linjen.

Drar man i punkterna kan man se att

k

-värdet för linjen är konstant även om skillnaden i

x

och

y

-led förändras.

Bestäm en linjes lutning från en graf

fullscreen

Uppgift

Bestäm linjens lutning i koordinatsystemet grafiskt.

Visa Lösning

Lösning

I koordinatsystemet är $1$ steg längs $x$ -axeln lika stort som $1$ steg längs $y$ -axeln. Därför kan vi bestämma linjens lutning genom att räkna antalet steg man måste gå i $y$ -led för varje steg man går i $x$ -led.

Man går alltså $3$ steg uppåt vilket betyder att linjens lutning är $k = 3 .$

Bestäm en linjes lutning med två punkter

fullscreen

Uppgift

Vad är lutningen för linjen som går genom punkterna $(2, 1)$ och $(4, 5) ?$

Visa Lösning

Lösning

Lutningen på en linje ges av $k$ -värdet och detta kan beräknas med $k$ -formeln, dvs. genom att dividera skillnaden i $y$ -led med skillnaden i $x$ -led. Vi sätter in punkternas koordinater i formeln. Det spelar ingen roll i vilken ordning de sätts in så länge den är samma i täljaren och nämnaren.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePointsSätt in

(4, 5)

&

(2, 1)

k = \frac{5 - 1}{4 - 2}

SubTermsFörenkla termer

k = \frac{4}{2}

CalcQuotBeräkna kvot

k = 2

Linjen har lutningen $2$ .

Begrepp

$m$ -värde

För en rät linje skriven på k-form, kan konstanten $m$ tolkas som ett mått på linjens förskjutning i $y$ -led från origo. Det läses av som det $y$ -värde där linjen skär $y$ -axeln.

Metod

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

Man kan bestämma ekvationen för en linje om man vet att linjen går genom två punkter, t.ex. $(2, - 1) och (7, 19) .$

1

Bestäm

k

-värdet

Linjens $k$ -värde kan bestämmas med $k$ -formeln. Man kan exempelvis låta $(2, - 1)$ vara punkt $1$ och $(7, 19)$ vara punkt 2.

$(2, - 1) (7, 19) x_{1}, y_{1} x_{2}, y_{2}$

Därefter sätter man in koordinaterna i

k

-formeln.

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

SubstitutePointsSätt in

(7, 19)

&

(2, - 1)

k = \frac{1 9 - ( - 1 )}{7 - 2}

SubNeg

a - (- b) = a + b

k = \frac{1 9 + 1}{7 - 2}

AddSubTermsFörenkla termer

k = \frac{2 0}{5}

CalcQuotBeräkna kvot

k = 4

2

Bestäm

m

-värdet

När man har bestämt $k$ -värdet sätter man in det i $k$ -formen. I det här fallet får man $y = 4 x + m .$ Med hjälp av en av de kända punkterna, t.ex. $(7, 19),$ kan man nu bestämma $m .$ Man sätter alltså in punktens koordinater och löser ut $m .$

y = 4 x + m

SubstituteII

x = 7

,

y = 19

19 = 4 \cdot 7 + m

MultiplyMultiplicera faktorer

19 = 28 + m

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

28 + m = 19

SubEqn

VL - 28 = HL - 28

m = - 9

3

Bestäm linjens ekvation

Nu vet man både $k$ - och $m$ -värdet, och då kan man ställa upp linjens ekvation. I det här fallet blir den $y = 4 x - 9 .$

Linjära funktioner

Räta linjens ekvation

$k$ -värde

Exempel

Bestäm en linjes lutning från en graf

Exempel

Bestäm en linjes lutning med två punkter

$m$ -värde

Bestämma räta linjens ekvation algebraiskt

1

2

3