Eulers Formel: En Djupdykning i Exponentiell Polär Form

Stämmer likheten

\frac{6 e ^{- i π / 3}}{3 e ^{i π / 3}} = - 1 - i 3 ?

Nationella provet VT98 MaE

Vi väljer att skriva om vänsterledet tills vi får ett uttryck identiskt med högerledet. Vi börjar genom att förenkla vänsterledet med potenslagar.

Vi har nu vänsterledet på exponentiell form och kan vidare skriva om det på trigonometrisk form. Det här gör vi för att kunna beräkna real- och imaginärdelen för talet, så det fås på rektangulär form.

Kvoten kan alltså skrivas som - 1 - isqrt(3).

Det komplexa talet $z$ har absolutbeloppet $r$ och argumentet $v .$ Skriv följande tal på formen $a e^{i b} .$

2 z

z^{2}

\frac{1}{z} ?

Vi skriver om z på exponentiell form. Vi har då att z = re^(iv) och får att 2z = 2re^(iv).

Som i föregående deluppgift skriver vi även nu z på exponentiell form. Vi behöver använda potenslagar vid förenklingen av z^2.

Vi har nu skrivit z^2 på exponentiell form.

Här förenklar vi 1z på liknande sätt som tidigare.

Talet står nu på exponentiell form.

Vad är kvoten mellan talen $z$ och $w$ om $∣ z ∣ = ∣ w ∣ ?$

Komplexa talplanet och två komplexa tal z och w.

Vi ska hitta förhållandet mellan z och w, vilket betyder att vi ska beräkna kvoten av talen. Eftersom z och w är två komplexa tal kan de skrivas på exponentiell form. zw=r_1e^(iv_1)/r_2 e^(iv_2) Bråket kan bestämmas genom att ta fram uttryck för absolutbeloppen och vinklarna för z och w. Vi vet att |z|=|w|. |z|=|w|, r_1=r_2 För att bestämma vinklarna använder vi oss av att det är en rät vinkel mellan z och w. Argumentet för z är v_1.

Vinkeln mellan z och w är rät så v_2 är π/2 större än v_1. arg(z)=v_1, arg(w)=v_1+ π2 Nu har vi absolutbeloppen och argumenten. Innan vi sätter in värden förenklar vi uttrycket med räkneregeln för division på exponentiell form. zw=r_1 e^(iv_1)/r_2e^(iv_2)=r_1/r_2 * e^(i(v_1-v_2)) Vi använder våra uttryck för abolutbeloppen och vinklarna och förenklar.

Nu kan vi läsa av att absolutebloppet är ett och vinkeln är -π/2. Talet ligger därför på den negativa imaginära axeln i det komplexa talkplanet och en längdenhet från origo. Talet är därför - i. Om man vill kan man också beräkna det genom att skriva om talet med Eulers formel.

Förhållandet mellan z och w är zw=- i.

Ett sätt att representera komplexa tal som en potens är $z = e^{a + b i},$ där $a$ och $b$ är reella tal. Bestäm hur $a$ och $b$ beror av de polära koordinaterna $r$ och $v .$

Vi vill jämföra den här potensformen med den exponentiella formen re^(iv) för att avgöra de sökta sambanden. Vi gör detta genom att skriva om z = e^(a + bi) på exponentiell form.

Vi har nu z på exponentiell form, och kan identifiera e^a som dess absolutbelopp och b som dess argument. Vi får då de två likheterna e^a &= r b &= v. b står redan ensamt i vänsterledet, och vi vet därför hur den beror på v. Däremot behöver vi få a ensamt.

Vi har nu även hittat hur a beror på r. Sammanfattningsvis får vi alltså sambanden a = ln(r) och b = v.

Exponentiell polär form

Exempel

Skriv de komplexa talen på exponentiell form

Räkna på exponentiell form

Multiplikation

Division

Exempel

Utför beräkningen på exponentiell form

Exponentiell polär form

Rekommenderade uppgifter

	4 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.