Exponentiell polär form

Vi kan undersöka om sambandet stämmer genom att försöka förenkla högerledet till uttrycket i vänsterledet, dvs. cos(x). Vi använder Eulers formel för att skriva om e^(ix) och e^(- ix).

Nu har vi visat att både höger- och vänsterled kan skrivas som cos(x), så det givna sambandet stämmer.

I förra uppgiften såg vi att täljaren e^(ix)+e^(- ix) förenklas till 2cos(x) med hjälp av Eulers formel, eftersom sinustermerna tar ut varandra. Nu vill vi istället att cosinustermerna ska ta ut varandra. Vi kan misstänka att det blir fallet om vi istället sätter ett minustecken mellan e^(ix) och e^(- ix). Vi provar!

Nu vet vi att 2isin(x)=e^(ix)-e^(- ix). Genom att dividera båda led med 2i får vi ett samband för sin(x): sin(x)=e^(ix)-e^(- ix)/2i.

Vi utgår från sambandet i första uppgiften. Vänsterledet, cos(x), kan uttryckas i termer av sin(x) genom en omskrivning av Eulers formel: &e^(ix)=cos(x)+isin(x) ⇔ [0.3em] &cos(x)=e^(ix)-isin(x) Detta innebär att sambandet från första uppgiften kan uttryckas e^(ix)-isin(x)=e^(ix)+e^(- ix)/2. Nu omarrangerar vi uttrycket så att sin(x) står ensamt i vänsterled.

Vi ser att resultatet blir samma som i huvudlösningen.

För att kunna bestämma argumentet och absolutbeloppet för talet vill vi gärna skriva det på exponentiell form. Vi behöver då dela upp exponenten e^(iv) i real- och imaginärdel genom att skriva den på trigonometrisk form. e^(e^(iv)) = e^(cos(v) + isin(v)) Vi kan nu dela upp potensen i 2, en vars exponent är reell, och en vars exponent är imaginär.

Talet är nu på exponentiell form och vi kan avläsa argumentet sin(v) samt absolutbeloppet e^(cos(v)). Eftersom ett sinusvärde aldrig kan vara mindre än - 1 eller större än 1 gäller detsamma för vårt argument: - 1 ≤ arg -2 pt(e^(e^(iv))) ≤ 1.

I föregående deluppgift kom vi fram till att e^(e^(iv)) = e^(cos(v)) * e^(isin(v)). Här utgör e^(cos(v)) absolutbeloppet. cos(v) är ett tal mellan - 1 och 1, men vad innebär det för absolutbeloppet e^(cos(v))? Vi tar grafen till y = e^x till hjälp. När exponenten rör sig i intervallet - 1 ≤ cos(v) ≤ 1 kommer e^(cos(v)) anta värden i det markerade intervallet.

Eftersom e^(- 1) är det lägsta värdet på intervallet och e^1 det högsta kan vi formulera absolutbeloppets värdemängd som e^(- 1) ≤ |e^(e^(iv))| ≤ e^1 ⇔ 1/e ≤ |e^(e^(iv))| ≤ e.