Exponentiell polär form

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

1700-1700\text{-}talet upptäckte matematikern Leonhard Euler ett samband mellan komplexa tal och talet ee. Han visade att om man sätter en imaginär exponent, iv,iv,ee kan man med hjälp av trigonometriska funktioner skriva potensen på följande sätt.

eiv=cos(v)+isin(v)e^{iv} = \cos(v) + i\sin(v)

Detta samband kallas Eulers formel. Jämför man högerledet med ett komplext tal på trigonometrisk form, r(cos(v)+isin(v)),r\left(\cos\left(v\right)+i\sin\left(v\right)\right), ser man att det enda som skiljer dem åt är absolutbeloppet r.r. Genom att multiplicera båda led i Eulers formel med rr får man ett nytt sätt att representera de komplexa talen.

reiv=r(cos(v)+isin(v))re^{iv} = r \left( \cos(v) + i\sin(v) \right)

Detta kompakta sätt att skriva ett komplext tal, z=reiv,z=re^{iv}, kallas exponentiell form och är en typ av polär form eftersom den använder de polära koordinaterna rr och v.v.
Uppgift

Skriv följande tal på exponentiell form. z=73(cos(3π5)+isin(3π5)) z = 73\left( \cos\left( \dfrac{3\pi}{5} \right) + i\sin\left( \dfrac{3\pi}{5} \right) \right) w=5i w = 5i

Lösning

För att skriva ett tal på exponentiell form behöver man de polära koordinaterna rr och v,v, dvs. absolutbeloppet och argumentet. Det första talet, z,z, är skrivet på trigonometrisk polär form, och då går det att läsa av dessa värden direkt. Absolutbeloppet är 7373 och argumentet är 3π5,\frac{3\pi}{5}, vilket vi sätter in i reiv.re^{iv}. Vi får då z=73ei3π5. z = 73e^{i\frac{3\pi}{5}}. För det andra talet, w=5i,w = 5i, kan vi inte läsa av rr och vv direkt i uttrycket, men om vi markerar ww i det komplexa talplanet kan man göra en grafisk avläsning. Det går även att använda mer generella metoder men i det här fallet är den grafiska metoden enklare.

Absolutbeloppet är avståndet mellan origo och punkten, så r=5.r=5. Vi ser också att det bildas en rät vinkel mot den positiva xx-axeln vilket ger argumentet v=π2.v = \frac{\pi}{2}. Vi sätter in rr och vv i reivre^{iv} för att få talet på exponentiell form. w=5eiπ2 w = 5e^{i\frac{\pi}{2}}

Visa lösning Visa lösning
Regel

Räkna på exponentiell form

Man multiplicerar och dividerar tal på exponentiell form med samma räkneregler som vid multiplikation och division av tal på trigonometrisk form. Det är dock lättare att motivera reglerna när talen är skrivna på exponentiell form eftersom man då kan utnyttja att de är potenser och använda potenslagarna.

Regel

Multiplikation

Man multiplicerar de komplexa talen r1eiv1r_1e^{iv_1} och r2eiv2,r_2e^{iv_2}, där r1r_1 och r2r_2 är absolutbelopp och v1v_1 och v2v_2 är argument, genom att addera exponenterna och multiplicera koefficienterna. r1eiv1r2eiv2=r1r2eiv1+iv2=r1r2ei(v1+v2) r_1e^{iv_1}\cdot r_2e^{iv_2}=r_1r_2e^{iv_1+iv_2}=r_1r_2e^{i(v_1+v_2)} Det som står framför ee är absolutbeloppet: r1r2.r_1r_2. Argumentet är det som multipliceras med i,i, dvs. v1+v2.v_1+v_2. Man kan alltså se att absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas.

Regel

Division

Vid division av r1eiv1r_1e^{iv_1} och r2eiv2r_2e^{iv_2} subtraherar man exponenterna och dividerar koefficienterna. r1eiv1r2eiv2=r1r2eiv1iv2=r1r2ei(v1v2) \dfrac{r_1e^{iv_1}}{r_2e^{iv_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}\cdot e^{iv_1-iv_2}=\dfrac{r_1}{r_2}\cdot e^{i(v_1-v_2)}

Absolutbeloppet är även nu det som står framför e,e, dvs. r1r2,\frac{r_1}{r_2}, och argumentet är det som multiplicerats med i,i, alltså v1v2.v_1-v_2. Absolutbeloppen divideras alltså och argumenten subtraheras.
Uppgift

Beräkna z1z2z3\dfrac{z_1\cdot z_2}{z_3} för följande komplexa tal. z1=3eiπz2=6ei2π/3z3=9eiπ/3\begin{aligned} &z_1=3e^{i\pi} \\ &z_2=6e^{i2\pi/3} \\ &z_3=9e^{i\pi/3} \end{aligned}

Lösning
Vi börjar med att bestämma täljaren. Det är multiplikation så absolutbeloppen multipliceras och argumenten adderas.
z1z2z_1\cdot z_2
3eiπ6ei2π/33e^{i\pi} \cdot 6e^{i2\pi/3}
36ei(π+2π/3)3\cdot 6e^{i(\pi+2\pi/3)}
18ei(π+2π/3)18e^{i(\pi+2\pi/3)}
18ei(3π/3+2π/3)18e^{i(3\pi/3+2\pi/3)}
18ei5π/318e^{i5\pi/3}
Nu dividerar vi täljaren med z3z_3 genom att dividera absolutbeloppen och subtrahera argumenten.
z1z2z3\dfrac{z_1\cdot z_2}{z_3}
18ei5π/39eiπ/3\dfrac{18e^{i5\pi/3}}{9e^{i\pi/3}}
189ei(5π/3π/3)\dfrac{18}{9}\cdot e^{i(5\pi/3-\pi/3)}
2ei(5π/3π/3)2e^{i(5\pi/3-\pi/3)}
2ei4π/32e^{i4\pi/3}
Resultatet av beräkningen blir alltså 2ei4π/3.2e^{i4\pi/3}.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange absolutbelopp och argument för ww när

a

w=2eiπ.w=2e^{i\pi}.

b

w=0.5eiπ/5.w=0.5e^{i\pi /5}.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet de komplexa talen z=3eiπ/4,u=2ei2π/3ochw=0.5ei3π/2\begin{aligned} z &= 3e^{i\pi/4},\\ u &= 2e^{i2\pi/3}\quad \text{och}\\ w &= 0.5e^{i3\pi/2} \end{aligned} utför följande beräkningar.

a
zuz \cdot u
b
zw\dfrac{z}{w}
c
wuzw \cdot \dfrac{u}{z}
d
u2zwu\dfrac{u^2 \cdot z}{w \cdot u}
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv följande tal på exponentiell form.

a
ii
b
-2i\text{-} 2i
c
-5\text{-} 5
d
-1+i\text{-} 1 + i
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv talet zz på formen a+bi.a+bi. Svara exakt.

a

z=eiπ/4z=e^{i\pi/4}

b

z=7eiπ/3z=7e^{i\pi/3}

c

z=3eiπ/6z=3e^{i\pi/6}

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ett exakt värde för ww på formen a+bia+bi när

a

w=eiπundefined2+eiπundefined2.w=e^{i\left.\pi\middle/2\right.}+e^{i\left.\pi\middle/2\right.}.

b

w=eiπundefined3eiπundefined6.w=e^{i\left.\pi\middle/3\right.}-e^{i\left.\pi\middle/6\right.}.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det finns ett specialfall av Eulers formel som kallas för Eulers identitet när vinkeln är π.\pi. Den innehåller talen e,e, π\pi och ii som är tre viktiga tal inom olika områden i matematiken. eiπ+1=0 e^{i\pi}+1=0 Talet ee används som basen för logaritmer, π\pi är förhållandet mellan omkrets och diametern i en cirkel samt ii som är den imaginära enheten. Att de tillsammans formar ett samband som tillsammans blir 00 anses vara "vacker matematik". Utgå från Eulers formel och visa att Eulers identitet här stämmer.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att 6e-iπundefined33eiπundefined3=-1i3.\dfrac{6e^{\left.\text{-} i \pi\middle/3\right.}}{3e^{\left.i \pi\middle/3\right.}} = \text{-} 1 - i\sqrt{3}.

Nationella provet VT98 MaE
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det komplexa talet zz har absolutbeloppet rr och argumentet v.v. Vad är absolutbelopp och argument för

a
2z2z
b
z2z^2
c
1z?\dfrac{1}{z}?
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vad är förhållandet mellan talen zz och ww om z=w?|z|=|w|?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett sätt att representera komplexa tal som en potens är z=ea+bi,z=e^{a+bi}, där aa och bb är reella tal. Bestäm hur aa och bb beror av de polära koordinaterna rr och v.v.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Visa att följande samband gäller för alla reella x.x. cos(x)=eix+e-ix2 \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{\text{-} ix}}{2} Använd Eulers formel.

b

Hitta motsvarande samband för sin(x).\sin(x).

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Siv är en nyfiken elev som vill undersöka uttrycket eeiv,e^{e^{iv}}\hspace{-2 pt}, där vv är reellt. Hjälp henne genom att:

a
bestämma vilka värden arg(eeiv)\text{arg}\hspace{-2 pt}\left(e^{e^{iv}}\right) och eeiv\left|e^{e^{iv}}\right| kan anta
b
använda värdemängderna i föregående deluppgift för att skissa ett område i det komplexa talplanet som eeive^{e^{iv}} måste ligga inom.
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}