1a
Kurs 1a Visa detaljer
Innehållsförteckning
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 6
4. 

Exponentialfunktioner

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Inställningar & verktyg för lektion
9 sidor teori
0 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Exponentialfunktioner
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Exponentialfunktion
  • Exponentiell ökning och minskning

Förkunskaper

Utforska

Investigating Functions Through Tables

Functions might look similar at first glance. For example, both could have increasing values — yet, one might grow much faster than the other. Investigating a function's values helps tell how they might differ. Consider following tables of values which belong to two functions derived from different situations.

How do the values of Function I and Function II change according to their corresponding values? What do the graph of these functions look like? Is Function I a linear function? What conclusions can be made about Function II?
Teori

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen alltså där variabeln finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

Koefficienten anger det värde där funktionens graf skär axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

Koefficienten får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med , vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras med blir ju produkten oavsett potensens värde.

Graph of y=C*2^x where the value of 'C' can be changed from -2.5 to 2.5
Konstanten får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt till eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret
Vidare ger och inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När är funktionen alltid lika med vilket ger en vågrät linje vid och när får man en vågrät linje längs med startvärdet eftersom oavsett exponentens värde. Det ger villkoren
Dessa villkor kan sammanfattas som och
Graph of y=2*a^x where the value of 'a' can be changed from 0.1 to 2

Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av och

Graph of y=a*b^x for a-values less than and greater than 0, and for b-values less than and greater than 1.
Övning

Identifying Functions

Consider the definitions of an exponential function and a linear function. Now, identify the functions given by the following table of values.

Identifying functions
Teori

Exponentiell ökning och minskning

För en exponentialfunktion gäller:

  • Om förändringsfaktorn är det en exponentiell ökning. Funktionen kallas då växande eftersom värdet ökar när ökar.
Graph of exponential growth functions
  • Om förändringsfaktorn är det en exponentiell minskning. Funktionen kallas då avtagande eftersin värdet minskar när ökar.
Exponential Decay Applet
Exempel

Calculating the salary

The monthly salary of a certain worker in a company, in kr, is described by the exponential function where is the number of years they have worked in the company.

a What is the monthly salary of a new employee?
b By what percentage the monthly salary increases per year?
c What is the monthly salary of someone who has been working at the company for years? Round the answer to the closest whole number.

Ledtråd

a What is the initial value of the given exponential function?
b What is the growth factor of the given exponential function?
c Evaluate the given exponential function when

Lösning

a The monthly salary of a new employee is described by the function when that is, when they have been working years at the company. This corresponds to the function's initial value.
This means that the monthly salary of a new employee is kr.
b Find by what percentage the monthly salary increases per year by looking at the function's growth rate.
The growth rate is This rate is greater than which means that the monthly salary increases by
c The given function describes the monthly salary of a worker who has been working for years at the company. This means that evaluating the function when yields the monthly salary of a worker that has been working at the company for years.
The monthly salary of a worker that has been working years at the company is kr.
Exempel

Calculating the price of a bike

The price of a certain model of a mountain bike can be described by the exponential function where is the number of years after it was released to the market.

a What is the price of the mountain bike on the year it is released into the market?
b By what percentage does its price decrease every year?
c What would be the price of the bike years after its release into the market? Round the answer to the nearest whole number.

Ledtråd

a What is the initial value of the given exponential function?
b What is the growth factor of the given exponential function?
c Evaluate the given exponential function when

Lösning

a The release price of the mountain bike corresponds to the exponential function's initual value.
This means that the price of the bike is kr when just released into the market.
b Find by what percentage the price of the bike decreases by looking at the function's growth rate.
The growth rate is which is less than so the price of the bike decreases by every year.
c The given function describes the price of a mountain bike years after its release into the market. This means that evaluating the function when results in the bike's price years after its release.
The price of the mountain bike years after it was released into the market is kr.
Övning

Identifying Exponential Growth or Decay

The following applet shows a function in the form of an expression or a table of values. Select the option that best describes it.

Identifying functions
Övning

Identifying Rate of Growth or Decay

Exponential functions can model exponential growth and decay. Identify the rate of decay or growth for the given function. Write the corresponding rate in decimal form.

Exponential Growth or Decay Equation