Cirkelns ekvation

Enklaste sättet att bestämma en punkt på cirkelns rand är att utnyttja cirkelns medelpunkt och radie. Vi skriver om ekvationen på formen (x-a)^2+(y-b)^2=r^2, så att vi lätt kan läsa av medelpunkten (a,b) och radien r.

Cirkeln har alltså medelpunkten (-6, -1) och radien 8.

Nu bestämmer vi en punkt på randen. Vi får välja vilken som helst och tar därför en som är lätta att bestämma, t.ex. punkten A nedan. Denna har samma y-värde som medelpunkten och x-koordinaten hittar vi genom att subtrahera 8, dvs. radiens längd, från medelpunktens x-koordinat.

Punkten har alltså följande koordinater. A=(-14,-1) Notera att detta bara är ett exempel på en punkt som ligger på cirkelranden, och att det finns oändligt många att välja på. Andra punkter som går att bestämma med samma resonemang som punkten A är exempelvis punkterna (-6, 7), (2, -1) och (-6, -9)

Vi vet att en cirkel med medelpunkten (a,b) och radien r kan beskrivas av ekvationen (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Den givna ekvationen står dock inte på denna form, utan kvadraterna har utvecklats. Vi försöker skriva om den på ordinarie form och börjar med att utveckla cirkelns ekvation med andra kvadreringsregeln.

Nu jämför vi med ekvationen given i uppgiften och försöker identifiera koefficienter: x^2-2xa+a^2+&y^2-2yb+b^2=r^2 x^2+4x+&y^2+4=25. Vi ser att båda ekvationerna innehåller x^2-term, x-term, y^2-term och konstanttermer. Den givna ekvationen innehåller dock inte någon y-term. Det måste betyda att b=0, och då är även b^2 = 0. Konstanten 4 måste alltså motsvara a^2 och 4x måste representera - 2xa: a^2&=4 ⇔ a=±2 -2 xa&=4x ⇔ a=-2. Båda ekvationerna ska vara uppfyllda, så a måste vara -2. Vi känner nu till a och b, och eftersom högerledet, 25, motsvarar r^2 så kommer r vara 5. Det verkar alltså som att cirkeln vi söker har medelpunkt i (-2,0) och radien 5. Den givna ekvationen ska då kunna skrivas som (x-(-2))^2+(y-0)^2=5^2, och vi kontrollerar att det stämmer genom att utveckla vänster- och högerledet.

Vi ser att detta är ekvationen vi startade med och kan därför vara säkra på att cirkeln har medelpunkt i just (-2,0) samt radien 5.

Ritar man ut en cirkel med radie 13 och medelpunkt i (20,5) i ett koordinatsystem ser man att den skär x-axeln två gånger.

Dessa punkter har y-koordinaten 0 eftersom de ligger på x-axeln. Sätter vi in detta i cirkelns ekvation kan vi lösa ut punkternas x-värden, men då måste vi först bestämma ekvationen för cirkeln. Den har radien 13 och medelpunkt i (20,5), vilket vi sätter in den generella ekvationen för en cirkel.

Detta är ekvationen för vår cirkel, och vi kan nu sätta in y = 0 och förenkla.

Lösningarna till den här ekvationen är de x-värden som ger y=0, och vi bestämmer dem med pq-formeln.

Cirkeln skär alltså x-axeln i punkterna (8,0) och (32,0).

Om punkten ligger på cirkelns rand ska vänster- och högerleden bli lika stora när man sätter in koordinaterna i cirkelns ekvation.

I det här fallet ser vi att leden inte är lika stora, vilket innebär att punkten inte ligger på linjen.

För att kunna beräkna cirkelns area måste vi känna till dess radie, dvs r i cirkelns ekvation: (x - a)^2+(y - b)^2 = r^2 Vi vet att cirkeln har sin medelpunkt i (1, 0.5), så vi kan sätta in a = 1 och b = 0.5, vilket ger (x - 1)^2+(y - 0.5)^2 = r^2. Vi kan utveckla och skriva om vänsterledet tills det ser ut som vänsterledet i ekvationen som vi fick i uppgiften.

Vänsterledet står lika med r^2 - 1.25, vilket innebär att även vänsterledet i ekvationen från uppgiften ska vara lika med r^2 - 1.25. Vi sätter in detta och löser ut r.

Radien är alltså sqrt(1.75), vilket vi sätter in i formeln för cirkelns area. A = π r^2 = π ( sqrt(1.75) )^2 = 5.49778 ... ≈ 5.5. Cirkelns area är alltså ungefär 5.5 a.e.

Vi börjar med att följa Ragnars instruktioner och löser ut y ur cirkelns ekvation.

För varje x som man kan sätta in i det här sambandet får man ut två olika y, vilket innebär att det inte kan vara en funktion. Funktioner ger maximalt ett y-värde för varje x-värde, så därför kan inte cirkelns ekvation uttryckas som en funktion.

En funktion är en s.k. omvandlingsregel som är väldefinierad. En omvandlingsregel y=f(x) som definieras enligt: f:D_f→ V_f, där D_f är definitionsmängden och V_f är värdemängden, tar in ett värde x i D_f och ger ett värde y i V_f. Omvandlingsregeln sägs vara väldefinierad om följande implikation råder för alla x_1 och x_2 i definitionsmängden D_f: x_1=x_2⇒ f(x_1)=f(x_2). Vad detta betyder är att, om x_1 och x_2 i definitionsmängden är lika, så måste omvandlingsregeln skicka dessa till samma y-värde. Med andra ord: det kan bara finnas precis ett y-värde för varje x-värde som tas in i omvandlingsregeln. Det här gäller för en stor majoritet av de omvandligsregler som vi håller på med. Men löser vi ut y ur cirkelns ekvation gäller inte detta, just för att vi kan få två olika y-värden för samma x-värde. Då är y=f(x) inte väldefinierad och därmed inte en funktion.