1. Cirkelns ekvation
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
1.
Cirkelns ekvation
Cirkelns ekvation är ett matematiskt sätt att beskriva en cirkel. Detta görs genom att använda en ekvation som representerar alla punkter som ligger på ett visst avstånd från cirkelns medelpunkt. Denna ekvation är särskilt användbar eftersom den kan användas för att bestämma cirkelns medelpunkt och radie. Genom att känna till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma dessa egenskaper. Detta är särskilt användbart inom geometri och trigonometri, där cirkelns egenskaper ofta behöver analyseras och förstås.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 14 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Cirkelns ekvation
Sida av 5
Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?
Eftersom nästan varje x-värde på en cirkel kommer att ge två y-värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.
Regel
Cirkelns ekvation
Figuren visar en cirkel med radien r och medelpunkten (a,b).
Samtliga punkter (x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.
(x−a)2+(y−b)2=r2
Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x−3)2+(y−2)2=42 en cirkel med medelpunkt i (3,2) och radie 4.
Härledning
(x−a)2+(y−b)2=r2Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien r och medelpunkten (a,b). En godtycklig punkt, (x,y), placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.
Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är r. Men r kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien r och de två punkterna (x,y) och (a,b) i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Substitute
d=r
r=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (x,y) & (a,b)
r=(x−a)2+(y−b)2
RaiseEqn
VL2=HL2
r2=(x−a)2+(y−b)2
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
(x−a)2+(y−b)2=r2
Sambandet (x−a)2+(y−b)2=r2 gäller alltså för alla punkter (x,y) på det konstanta avståndet r från medelpunkten (a,b).
Q.E.D.
Exempel
Bestäm cirkelns medelpunkt och radie
(x−4)2+(y+1)2=9.
Bestäm cirkelns medelpunkt och radie. Visa Lösning expand_more
En generell cirkel har ekvationen (x−a)2+(y−b)2=r2, där (a,b) är cirkelns medelpunkt och r är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.
Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att a=4, b=−1 och att r=3. Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna (4,−1) och radien är 3. 
Exempel
Bestäm cirkelns ekvation
Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.
Visa Lösning expand_more
En generell cirkel med medelpunkten (a,b) och radien r beskrivs av ekvationen 
Cirkelns ekvation är alltså (x+2)2+(y−3)2=16.
(x−a)2+(y−b)2=r2.
Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna. Vi ser att den ligger i (−2,3), vilket ger att a=−2 och b=3. Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.
Radien är 4, vilket ger r=4. Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.
(x−a)2+(y−b)2=r2
SubstituteII
a=−2 och b=3
(x−(−2))2+(y−3)2=r2
Substitute
r=4
(x−(−2))2+(y−3)2=42
SubNeg
a−(−b)=a+b
(x+2)2+(y−3)2=42
CalcPow
Beräkna potens
(x+2)2+(y−3)2=16
Cirkelns ekvation
Bestäm medelpunkt för den cirkel som beskrivs av ekvationen
x2+6x+y2−8y=0.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-3","text2":"4"}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna avläsa medelpunkten och radien för cirkeln måste vi skriva om ekvationen på den generella formen för en cirkels ekvation, alltså (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, där (a,b) är cirkelns medelpunkt och r är radien. De två x-termerna i vår ekvation, x^2 + 6x, ser nästan ut som som något som har utvecklats med första kvadreringsregeln, men konstanttermen 3^2 saknas för att det ska stämma helt. Det går dock bra att lägga till den, så länge man gör det både i vänster- och högerledet.
På samma sätt ser vi att y-termerna kan faktoriseras med andra kvadreringsregeln om man lägger till 4^2.
Nu behöver vi bara skriva om några saker till för att få hela ekvationen på rätt form.
Jämför vi med standardformen för cirkelns ekvation kan vi nu läsa av x- och y-koordinaterna för medelpunkten samt radien. Vi får då att ekvationen beskriver en cirkel med medelpunkten (-3, 4) och radien 5.
security
report
code
En rät linje passerar genom en cirkel och den del av linjen som är innanför cirkeln bildar en korda. Bestäm denna kordas längd. Svara exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["\\sqrt{1440}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna bestämma kordans längd måste vi känna till dess ändpunkter, vilket är punkterna där den räta linjen skär cirkeln. Dessa hittar vi genom att ställa upp ett ekvationssystem med ekvationerna för den räta linjen och för cirkeln. Enligt uppgiften är ekvationen för den räta linjen y = 3x + 2, vilket är vår första ekvation. För cirkeln känner vi till medelpunkten (10,2) och radien r = sqrt(450), vilket vi kan sätta in den generella ekvationen för en cirkel. Det ger oss vår andra ekvation, (x - 10)^2 + (y - 2)^2 = ( sqrt(450) )^2. För att lösa ekvationssystemet är det enklast att använda substitutionsmetoden. Vi tar uttrycket för y som finns i första ekvationen och sätter in det i den andra. Vi får då en ekvation som enbart beror på x.
Vi har nu en ekvation som kan lösas med pq-formeln.
Skärningspunkterna mellan linjen och cirkeln har alltså x-koordinaterna x = -5 och x = 7. Vi sätter in dem i ekvationen för den räta linjen för att bestämma motsvarande y-värden. y = 3x + 2 = 3 * ( -5) + 2 = -13 y = 3x + 2 = 3 * 7 + 2 = 23 Skärningspunkterna är alltså (-5, -13) och (7,23).
För att bestämma avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem kan man använda avståndsformeln. Vi sätter in de två punkterna i formeln och förenklar.
Nu känner vi till avståndet mellan de två punkterna, vilket är längden på kordan. Den är sqrt(1440) le.
security
report
code
(x−2)2+y2=12x2+y2=r2.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"r"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1","3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["r"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1<r<3","3>r>1"]}}
security
report
code
security
report
code
Den allmänna formeln för cirkelns ekvation är (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 och om vi jämför denna med våra ekvationer ser vi att den första cirkeln har medelpunkten (2,0) och radien 1. Vi ser även att den andra cirkeln har medelpunkten (0,0) och radien r. Detta blir enklare att se om vi skriver om ekvationerna: &(x- 2)^2+(y- 0)^2 = 1^2 &(x- 0)^2+(y- 0)^2 = r^2. Vi ritar upp cirklarna i ett koordinatsystem. Den streckade cirkelns radie är alltså okänd.
Om cirklarna skär varandra 1 gång ska den blå och röda cirkelranden tangera varandra. När r=1 tangerar cirklarna varandra i (1,0) men de kan även tangera varandra i punkten (3,0) när r=3.
När r=1 och r=3 skär cirklarna varandra 1 gång.
Om cirklarna tangerar varandra när r=1 och r=3 måste antalet skärningspunkter vara 2 när radien ligger någonstans mellan dessa värden.
I intervallet 1 < r < 3 är antalet skärningspunkter 2.
security
report
code
Cirkelns ekvation
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll