Cirkelns ekvation

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje $x$ -värde på en cirkel kommer att ge två $y$ -värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel

Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.

Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien $r$ och medelpunkten $(a, b) .$

Samtliga punkter $(x, y)$ på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 4^{2}$ en cirkel med medelpunkt i $(3, 2)$ och radie $4 .$

Härledning

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien $r$ och medelpunkten $(a, b) .$ En godtycklig punkt, $(x, y),$ placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är $r .$ Men $r$ kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien $r$ och de två punkterna $(x, y)$ och $(a, b)$ i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

Substitute

d = r

r = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstitutePointsSätt in

(x, y)

&

(a, b)

r = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

RaiseEqn

VL^{2} = HL^{2}

r^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

Sambandet $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$ gäller alltså för alla punkter $(x, y)$ på det konstanta avståndet $r$ från medelpunkten $(a, b) .$

Q.E.D.

Bestäm cirkelns medelpunkt och radie

fullscreen

Uppgift

En cirkel har ekvationen $(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9 .$ Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.

Visa Lösning

Lösning

En generell cirkel har ekvationen

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2},

där

(a, b)

är cirkelns medelpunkt och

r

är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 9

WritePowSkriv som potens

(x - 4)^{2} + (y + 1)^{2} = 3^{2}

SumToDiff

a + b = a - (- b)

(x - 4)^{2} + (y - (- 1))^{2} = 3^{2}

Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att

a = 4,

b = - 1

och att

r = 3 .

Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna

(4, - 1)

och radien är

3 .

Bestäm cirkelns ekvation

fullscreen

Uppgift

Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.

Visa Lösning

Lösning

En generell cirkel med medelpunkten $(a, b)$ och radien $r$ beskrivs av ekvationen $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .$ Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.

Vi ser att den ligger i $(- 2, 3)$ , vilket ger att $a = - 2$ och $b = 3 .$ Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien är $4,$ vilket ger $r = 4 .$ Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

SubstituteII

a = - 2

,

b = 3

(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}

Substitute

r = 4

(x - (- 2))^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}

SubNeg

a - (- b) = a + b

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4^{2}

CalcPowBeräkna potens

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16

Cirkelns ekvation är alltså

(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 16 .