Cirkelns ekvation
{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?
Eftersom nästan varje -värde på en cirkel kommer att ge två -värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.
Cirkelns ekvation
Figuren visar en cirkel med radien och medelpunkten
Samtliga punkter på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.
Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen en cirkel med medelpunkt i och radie
Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien och medelpunkten En godtycklig punkt, placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.
Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är Men kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien och de två punkterna och i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.
Sambandet gäller alltså för alla punkter på det konstanta avståndet från medelpunkten
En cirkel har ekvationen Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.
En generell cirkel har ekvationen där är cirkelns medelpunkt och är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.
Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att och att Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna och radien är
Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.
En generell cirkel med medelpunkten och radien beskrivs av ekvationen Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.
Vi ser att den ligger i , vilket ger att och Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.
Radien är vilket ger Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.
Cirkelns ekvation är alltså
Uppgifter
Bestäm medelpunkt och radie för cirklarna.
Bestäm cirklarnas ekvationer.
En cirkel beskrivs av ekvationen
I vilken kvadrant ligger cirkelns medelpunkt?
I vilken kvadrant ligger den punkten på cirkeln som ligger längst till vänster?
För en cirkel känner man till att den har sin medelpunkt i och att är en punkt på randen. Hur lång är cirkelns radie?
Athena har satt in och i ekvationen för en cirkel.
Hon blir ledsen för att det verkar ha blivit fel. Hon fick ju svaret och inte som det borde blivit. Men då kommer hennes lärare Kasper och säger att hon har gjort rätt! Förklara vad det är Athena har visat med sin beräkning.
Ligger följande punkter på cirkeln som har ekvationen
En cirkel beskrivs av ekvationen Bestäm fyra punkter på cirkelns rand.
Bestäm medelpunkten och radien för den cirkel som beskrivs av ekvationen
Bestäm de punkter där cirkeln med radie och medelpunkt i skär -axeln.
En cirkel har ekvationen
Ligger punkten på cirkeln? Motivera ditt svar.
Cirkeln har sin medelpunkt i Bestäm cirkelns area.
Ragnar funderar lite över cirkelns ekvation och utbrister "Cirklar kan ju visst beskrivas som funktioner, det är ju bara att lösa ut ur ". Gör detta och förklara varför Ragnar har fel.
Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel som beskrivs av ekvationen
En rät linje passerar genom en cirkel och den del av linjen som är innanför cirkeln bildar en korda. Bestäm denna kordas längd. Svara exakt.
I ett koordinatsystem finns två cirklar som beskrivs enligt ekvationerna För vilka värden på har cirklarna
en skärningspunkt?
två skärningspunkter?