{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Trigonometri

Välj kurs
Matte 3c
Trigonometri
Cirkelns ekvation

Cirkelns ekvation

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje xx-värde på en cirkel kommer att ge två yy-värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel
Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.
Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b).

Samtliga punkter (x,y)(x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x−3)2+(y−2)2=42(x-3)^2+(y-2)^2=4^2 en cirkel med medelpunkt i (3,2)(3,2) och radie 4.4.

Härledning
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b). En godtycklig punkt, (x,y),(x,y), placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är r.r. Men rr kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien rr och de två punkterna (x,y)(x,y) och (a,b)(a,b) i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=rd={\color{#0000FF}{r}}
r=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\color{#0000FF}{r}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
Sätt in (x,y)\left({\color{#0000FF}{x,y}}\right) & (a,b)\left({\color{#009600}{a,b}}\right)
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{x}}-{\color{#009600}{a}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{y}}-{\color{#009600}{b}}\right)^2}
VL2=HL2\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}
r2=(x−a)2+(y−b)2r^2=(x-a)^2+(y-b)^2
Omarrangera ekvation
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Sambandet (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 gäller alltså för alla punkter (x,y)(x,y) på det konstanta avståndet rr från medelpunkten (a,b).(a,b).

Q.E.D.
Uppgift

En cirkel har ekvationen (x−4)2+(y+1)2=9. (x-4)^2+(y+1)^2=9. Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.

Lösning
En generell cirkel har ekvationen (x−a)2+(y−b)2=r2,(x-a)^2+(y-b)^2=r^2, där (a,b)(a,b) är cirkelns medelpunkt och rr är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.
(x−4)2+(y+1)2=9(x-4)^2+(y+1)^2=9
Skriv som potens
(x−4)2+(y+1)2=32(x-4)^2+(y+1)^2=3^2
a+b=a−(-b)a+b=a-(\text{-} b)
(x−4)2+(y−(-1))2=32(x-4)^2+(y-(\text{-}1))^2=3^2
Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att a=4,a=4, b=-1b=\text{-}1 och att r=3.r=3. Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna (4,-1)(4, \text{-}1) och radien är 3.3.


Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.

Lösning

En generell cirkel med medelpunkten (a,b)(a,b) och radien rr beskrivs av ekvationen (x−a)2+(y−b)2=r2. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.

Vi ser att den ligger i (-2,3)(\text{-}2,3), vilket ger att a=-2a = \text{-}2 och b=3.b = 3. Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien är 4,4, vilket ger r=4.r = 4. Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
a=-2a={\color{#0000FF}{\text{-}2}}, b=3b={\color{#009600}{3}}
(x−(-2))2+(y−3)2=r2(x-({\color{#0000FF}{\text{-}2}}))^2+(y-{\color{#009600}{3}})^2=r^2
r=4r={\color{#0000FF}{4}}
(x−(-2))2+(y−3)2=42(x-(\text{-}2))^2+(y-3)^2={\color{#0000FF}{4}}^2
a−(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
(x+2)2+(y−3)2=42(x+2)^2+(y-3)^2=4^2
Beräkna potens
(x+2)2+(y−3)2=16(x+2)^2+(y-3)^2=16
Cirkelns ekvation är alltså (x+2)2+(y−3)2=16.(x+2)^2+(y-3)^2=16.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm medelpunkt och radie för cirklarna.


a

(x−3)2+(y−5)2=4(x-3)^2+(y-5)^2=4

b

(x+12)2+(y−40)2=49(x+12)^2+(y-40)^2=49

c

(x−9)2+(y+4)2−81=0(x-9)^2+(y+4)^2-81=0

d

(x+26)2+(y+32)2=5(x+26)^2+(y+32)^2=5

e

x2+(y−12)2=25x^2+(y-12)^2=25

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm cirklarnas ekvationer.


a


b


c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel beskrivs av ekvationen (x−5)2+(y+15)2=100. (x-5)^2 + (y+15)^2=100.


a

I vilken kvadrant ligger cirkelns medelpunkt?

b

I vilken kvadrant ligger den punkten på cirkeln som ligger längst till vänster?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För en cirkel känner man till att den har sin medelpunkt i (-6,10)(\text{-} 6, 10) och att (-14,-5)(\text{-} 14,\text{-} 5) är en punkt på randen. Hur lång är cirkelns radie?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Athena har satt in x=2x=2 och y=2y=2 i ekvationen för en cirkel.

Rutat papper där elev satt in en punkt i cirkelns ekvation

Hon blir ledsen för att det verkar ha blivit fel. Hon fick ju svaret 1010 och inte 77 som det borde blivit. Men då kommer hennes lärare Kasper och säger att hon har gjort rätt! Förklara vad det är Athena har visat med sin beräkning.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ligger följande punkter på cirkeln som har ekvationen (x−7)2+(y+1)2=4?(x-7)^2 + (y+1)^2 = 4?

a

(6,-1)(6,\text{-} 1)

b

(7,1)(7,1)

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel beskrivs av ekvationen (x+6)2+(y+1)2=64. (x+6)^2 + (y+1)^2 = 64. Bestäm fyra punkter på cirkelns rand.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm medelpunkten och radien för den cirkel som beskrivs av ekvationen x2+4x+y2+4=25. x^2+4x+y^2+4=25.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm de punkter där cirkeln med radie 1313 och medelpunkt i (20,5)(20,5) skär xx-axeln.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En cirkel har ekvationen x2−2x+y2−y=0.5.x^2-2x+y^2-y=0.5.

a

Ligger punkten (2,1)(2,1) på cirkeln? Motivera ditt svar.

b

Cirkeln har sin medelpunkt i (1,0.5).(1,0.5). Bestäm cirkelns area.

Nationella provet HT12 3c
2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnar funderar lite över cirkelns ekvation och utbrister "Cirklar kan ju visst beskrivas som funktioner, det är ju bara att lösa ut yy ur (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2". Gör detta och förklara varför Ragnar har fel.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel som beskrivs av ekvationen x2+6x+y2−8y=0.x^2 + 6x + y^2 - 8y = 0.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje passerar genom en cirkel och den del av linjen som är innanför cirkeln bildar en korda. Bestäm denna kordas längd. Svara exakt.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett koordinatsystem finns två cirklar som beskrivs enligt ekvationerna (x−2)2+y2=12x2+y2=r2.\begin{aligned} & (x-2)^2+y^2 = 1^2 \\[0.3em] & x^2+y^2 = r^2. \end{aligned} För vilka värden på rr har cirklarna

a

en skärningspunkt?

b

två skärningspunkter?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}