| {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?
Eftersom nästan varje x-värde på en cirkel kommer att ge två y-värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.
Figuren visar en cirkel med radien r och medelpunkten (a,b).
Samtliga punkter (x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.
Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x−3)2+(y−2)2=42 en cirkel med medelpunkt i (3,2) och radie 4.
Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien r och medelpunkten (a,b). En godtycklig punkt, (x,y), placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.
Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är r. Men r kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien r och de två punkterna (x,y) och (a,b) i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.
d=r
Sätt in (x,y) & (a,b)
VL2=HL2
Omarrangera ekvation
Sambandet (x−a)2+(y−b)2=r2 gäller alltså för alla punkter (x,y) på det konstanta avståndet r från medelpunkten (a,b).
Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.
Vi ser att den ligger i (−2,3), vilket ger att a=−2 och b=3. Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.
Radien är 4, vilket ger r=4. Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.
a=−2, b=3
r=4
a−(−b)=a+b
Beräkna potens