mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Trigonometri

Cirkelns ekvation

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje -värde på en cirkel kommer att ge två -värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel
Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.
Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien och medelpunkten

Samtliga punkter på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen en cirkel med medelpunkt i och radie

Härledning

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien och medelpunkten En godtycklig punkt, placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är Men kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien och de två punkterna och i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

Sambandet gäller alltså för alla punkter på det konstanta avståndet från medelpunkten

Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

En cirkel har ekvationen Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.

Visa Lösning
Lösning
En generell cirkel har ekvationen där är cirkelns medelpunkt och är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.
Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att och att Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna och radien är


fullscreen
Uppgift

Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.

Visa Lösning
Lösning

En generell cirkel med medelpunkten och radien beskrivs av ekvationen Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.

Vi ser att den ligger i , vilket ger att och Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien är vilket ger Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

Cirkelns ekvation är alltså
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward