Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

 Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

 play_circle_outline Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

 play_circle_outline Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

 play_circle_outline

Formelsamling

 Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

 looks_two

Kurs 2

 looks_3

Kurs 3

 looks_4

Kurs 4

 looks_5

Kurs 5

 Logga in account_circle menu_open

Cirkelns ekvation

Välj Kurs
Matte 3c
Trigonometri

Många geometriska former, t.ex. räta linjer och parabler, kan beskrivas av funktioner i koordinatsystem. Är det även möjligt att beskriva en cirkel på detta sätt?

Eftersom nästan varje xx-värde på en cirkel kommer att ge två yy-värden kan man inte uttrycka den som en funktion. Istället utnyttjar man att cirklar består av alla punkter som ligger på ett visst avstånd från medelpunkten.

Figur som visar hur punkter på samma avstånd från en medelpunkt bildar en cirkelrand till en cirkel
Genom att ställa upp en ekvation som endast gäller för dessa punkter får man ett samband som beskriver cirkeln.
Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b).

Samtliga punkter (x,y)(x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x−3)2+(y−2)2=42(x-3)^2+(y-2)^2=4^2 en cirkel med medelpunkt i (3,2)(3,2) och radie 4.4.

Härledning

 info
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b). En godtycklig punkt, (x,y),(x,y), placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är r.r. Men rr kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien rr och de två punkterna (x,y)(x,y) och (a,b)(a,b) i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=rd={\color{#0000FF}{r}}
r=(x2−x1)2+(y2−y1)2{\color{#0000FF}{r}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
Sätt in (x,y)\left({\color{#0000FF}{x,y}}\right) & (a,b)\left({\color{#009600}{a,b}}\right)
r=(x−a)2+(y−b)2r = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{x}}-{\color{#009600}{a}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{y}}-{\color{#009600}{b}}\right)^2}
VL2=HL2\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}
r2=(x−a)2+(y−b)2r^2=(x-a)^2+(y-b)^2
Omarrangera ekvation
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Sambandet (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 gäller alltså för alla punkter (x,y)(x,y) på det konstanta avståndet rr från medelpunkten (a,b).(a,b).

Q.E.D.
Uppgift

En cirkel har ekvationen (x−4)2+(y+1)2=9. (x-4)^2+(y+1)^2=9. Bestäm cirkelns medelpunkt och radie.

Lösning
En generell cirkel har ekvationen (x−a)2+(y−b)2=r2,(x-a)^2+(y-b)^2=r^2, där (a,b)(a,b) är cirkelns medelpunkt och rr är cirkelns radie. Vi börjar med att skriva om vår ekvation på denna form.
(x−4)2+(y+1)2=9(x-4)^2+(y+1)^2=9
Skriv som potens
(x−4)2+(y+1)2=32(x-4)^2+(y+1)^2=3^2
a+b=a−(-b)a+b=a-(\text{-} b)
(x−4)2+(y−(-1))2=32(x-4)^2+(y-(\text{-}1))^2=3^2
Nu kan vi, genom att jämföra med den generella ekvationen, läsa av att a=4,a=4, b=-1b=\text{-}1 och att r=3.r=3. Cirkelns medelpunkt har alltså koordinaterna (4,-1)(4, \text{-}1) och radien är 3.3.


info Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm ekvationen som beskriver cirkeln i koordinatsystemet.

Lösning

En generell cirkel med medelpunkten (a,b)(a,b) och radien rr beskrivs av ekvationen (x−a)2+(y−b)2=r2. (x-a)^2+(y-b)^2=r^2. Vi identifierar först medelpunkten genom att läsa av dess koordinaterna på axlarna.

Vi ser att den ligger i (-2,3)(\text{-}2,3), vilket ger att a=-2a = \text{-}2 och b=3.b = 3. Vi bestämmer sedan radien genom att läsa av avståndet från cirkelns medelpunkt ut till randen.

Radien är 4,4, vilket ger r=4.r = 4. Nu är sätter vi in dessa värden i cirkelns ekvation och förenklar för att få ekvationen för den här specifika cirkeln.

(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
a=-2a={\color{#0000FF}{\text{-}2}}, b=3b={\color{#009600}{3}}
(x−(-2))2+(y−3)2=r2(x-({\color{#0000FF}{\text{-}2}}))^2+(y-{\color{#009600}{3}})^2=r^2
r=4r={\color{#0000FF}{4}}
(x−(-2))2+(y−3)2=42(x-(\text{-}2))^2+(y-3)^2={\color{#0000FF}{4}}^2
a−(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
(x+2)2+(y−3)2=42(x+2)^2+(y-3)^2=4^2
Beräkna potens
(x+2)2+(y−3)2=16(x+2)^2+(y-3)^2=16
Cirkelns ekvation är alltså (x+2)2+(y−3)2=16.(x+2)^2+(y-3)^2=16.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-recommended-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward