body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 3

6.

Andragradsekvationer och antal lösningar

Denna lektion ger en detaljerad förklaring av andragradsekvationer och konceptet med reella lösningar. Den tar upp hur man kan avgöra antalet lösningar till en andragradsekvation genom att undersöka diskriminanten, det vill säga det som står under rottecknet i lösningen. Beroende på diskriminantens tecken kan man avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Om diskriminanten är negativ, har ekvationen inga reella lösningar. Om diskriminanten är noll, har ekvationen en lösning, vilket brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	14 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Andragradsekvationer och antal lösningar

Sida av 5

När man löser andragradsekvationer kan man ibland hamna i en situation där man ska dra kvadratroten ur ett negativt tal. Man brukar då säga att ekvationen saknar lösningar. Men det finns s.k. imaginära tal som kan lösa dessa ekvationer. Dessa ingår inte i kursen men det betyder att det kan vara missvisande att säga att det inte finns några lösningar. Istället brukar man säga att ekvationen saknar reella rötter.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Dubbelrot
Antal lösningar till en andragradsekvation

Förkunskaper

Andragradsekvationer
Reella tal
$p q -$ formeln
$a b c -$ formeln

Koncept

Dubbelrot

Polynomekvationer kan ibland delas upp i en produkt av binom, så att binomen står i ena ledet och

0

i det andra, t.ex.

(x + 3) (x - 1) (x - 1) = 0 .

Om det finns någon rot som gör att två av binomen blir

0

kallas denna lösning för en dubbelrot. I ekvationen ovan finns två identiska binom,

x - 1,

som båda blir noll för roten

x = 1,

som då alltså är en dubbelrot. Grafiskt kan detta tolkas som att funktionen i ekvationens vänsterled tangerar, alltså nuddar men passerar inte,

x -

axeln när

x

är lika med

1 .

Koncept

Antal lösningar till en andragradsekvation

Lösningarna till en andragradsekvation på formen

a x^{2} + b x + c = 0

kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen

y = a x^{2} + b x + c .

Om funktionen har två nollställen har ekvationen

a x^{2} + b x + c = 0

två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Med hjälp av

p q

-formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i

p q -

formeln:

(\frac{p}{2})^{2} - q .

Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den

0

har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation

Exempel

Avgör antalet lösningar till andragradsekvationerna

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna:

a

x^{2} - 2 x + 9 = 0

b

x^{2} - 4 x + 4 = 0 .

Ledtråd

a Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.

b Bestäm diskriminanten. Om den är positiv finns det två reella lösningar. Om den är noll finns det en. Om den är negativ finns det inga.

Lösning

a Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i

p q -

x^{2} - 2 x + 9 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 2, q = 9$

x = - \frac{- 2}{2} \pm (\frac{- 2}{2})^{2} - 9

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

(\frac{- 2}{2})^{2} - 9

Beräkna kvot

(- 1)^{2} - 9

Beräkna potens

1 - 9

Subtrahera term

- 8

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

b Vi fortsätter likadant och ställer upp

p q -

formeln.

x^{2} - 4 x + 4 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 4, q = 4$

x = - \frac{- 4}{2} \pm (\frac{- 4}{2})^{2} - 4

Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

(\frac{- 4}{2})^{2} - 4

Beräkna kvot

(- 2)^{2} - 4

Beräkna potens

4 - 4

Subtrahera term

0

Diskriminantens värde är

0,

vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

{"codehash":"183698ca0161fb8e1138c1c3f7476994"}

Andragradsekvationer och antal lösningar

Andragradsekvationer och antal lösningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.