Absolutbelopp

Absolutbeloppet av ett tal är alltid positivt, även om det som står innanför är negativt. För att ett absolutbelopp ska bli 17 kan det alltså stå antingen -17 eller 17 innanför absolutbeloppstecknen. Det betyder att ekvationen har två lösningar: x=-17 och x=17.

17 är ett positivt tal så det påverkas inte av att man tar absolutbeloppet av det. Absolutbeloppet av -23 är 23.

Vi beräknar absolutbeloppen för sig och multiplicerar sedan.

Först beräknar vi de inre absolutbeloppen och sedan det yttre.

Vi beräknar de två leden i likheten separat och jämför dem sedan. Till att börja med beräknar vi |f(- 2)| för funktionsuttrycket f(x) = x^5 - 3x^3 + 7x, vilket ger |f(- 2)| = | (- 2)^5 - 3 * (- 2)^3 + 7 * (- 2) |. Vi förenklar detta.

Vi gör sedan samma sak för f(|- 2|), som kan förenklas redan innan man sätter in funktionsuttrycket eftersom |- 2| = 2. f(|- 2|) = f(2) = 2^5 - 3 * 2^3 + 7 * 2 = 22 Vi får samma värde som tidigare, så för funktionen f(x) = x^5 - 3x^3 + 7x gäller alltså likheten |f(- 2)| = f(|- 2|).

Vi gör nu samma sak för funktionen f(x) = 2x^3 - 9x - 1 och börjar med att beräkna |f(- 2)|, vilket ger |f(- 2)| = | 2 * (- 2)^3 - 9 * (- 2) - 1 |. Vi förenklar.

Vi gör sedan motsvarande beräkning för f(|- 2|). f(|- 2|) = f(2) = 2 * 2^3 - 9 * 2 - 1 = - 3 Vi får alltså inte samma värde den här gången, så likheten gäller inte, |f(- 2)| ≠ f(|- 2|).

Ragnars metod för absolutbelopp fungerar när a och b har samma tecken, men när ett av talen är positivt och det andra är negativt kommer |a| + |b| inte vara lika med |a + b|. Man kan visa detta med ett motexempel där likheten inte gäller. Exempelvis kan vi sätta in a = 2 och b = - 3 och jämföra. För |a| + |b| får vi |a| + |b| = |2| + |- 3| = 2 + 3 = 5, medan för |a + b| får vi |a + b| = |2 + (- 3)| = |2 - 3| = |- 1| = 1. Vi har hittat ett exempel på a och b där uttrycken inte ger samma resultat, så de kan inte vara lika med varandra.

Detta kan också motiveras med en geometrisk tolkning. |2| + |- 3| är summan av avståndet mellan 0 och 2 på en tallinje och avståndet mellan 0 och - 3, dvs. 5.

Med det andra uttrycket får man istället |2 + (- 3)| = |2 - 3|, vilket kan tolkas som avståndet mellan 2 och 3, alltså 1.

Det första uttrycket representerar alltså en summa av avstånd medan det andra bara representerar ett avstånd.

Vi ska rita grafen till y=|x|, och delar upp det i två delar: positiva x och negativa x.

Positiva x och 0

När det som står innanför absolutbeloppstecknet är positivt så kommer absolutbeloppet inte att påverka något. Det betyder att när x är större än 0 kommer funktionsvärdet inte att påverkas av absolutbeloppet och man får att grafen för y = |x| är identisk med den för y = x då x ≥ 0. För x=0 får vi funktionsvärdet 0, dvs. grafen nuddar origo.

Negativa x

När vi istället sätter in negativa x gör absolutbeloppet att funktionsvärdet byter tecken och blir positivt. Detta teckenbyte kan representeras av ett minustecken framför den funktionen vi ritade för positiva x, dvs. y=- x då x ≤ 0. För negativa x speglar vi alltså grafen till y=x för att få y=|x|. Grafen hamnar då ovanför x-axeln på motsvarande positiva tal.

Uttrycket |x| ger endast positiva värden pga. absolutbeloppstecknet. Men om man sätter ett minustecken framför |x| byter de positiva värdena tecken och blir negativa. Vi speglar alltså grafen till y= |x| från förra uppgiften i x-axeln.

För att illustrera detta undersöker vi några exempel.

För funktionen y=- |x| innebär detta att samtliga funktionsvärden byter tecken och hamnar under x-axeln på motsvarande negativa värde

Lägg märke till att denna funktion inte är på formen y=|f(x)| utan på formen y=- |f(x)|, vilket gör att grafen i det här fallet hamnar nedanför x-axeln.