Absolutbelopp: Förståelse och tillämpning i Matte

Absolutbeloppet av ett tal

a

är det positiva värdet av

a,

och skrivs

∣ a ∣ .

a

är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt

a

byts tecknet och talet blir positivt. För

3

och

- 3

gäller därför

∣ 3 ∣ = ∣ - 3 ∣ = 3 .

Den formella definitionen av absolutbeloppet av

a

är uppdelad i två fall – det första då

a

är positivt eller

0

och det andra då

a

är negativt.

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

absolutbeloppet av ett positivt tal eller $0$ är samma tal.
absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.

Använd definitionen av absolutbelopp

fullscreen

Använd definitionen

∣ a ∣ = {a, a \geq 0 - a, a < 0

för att beräkna

∣ 5.5 ∣

och

∣ - 9 ∣ .

Visa Lösning

Vi börjar med

∣ 5.5 ∣ .

Eftersom

5.5

är ett positivt tal ska vi använda det första fallet:

∣ a ∣ = a .

Det betyder att asbolutbeloppet inte ändrar talets värde. Vi får

∣ 5.5 ∣ = 5.5 .

Nu tar vi

∣ - 9 ∣ .

Eftersom

- 9

är ett negativt tal gäller det andra fallet,

∣ a ∣ = - a,

så vi sätter ett minustecken framför

- 9

för att beräkna absolutbeloppet. Då får vi

∣ - 9 ∣ = - (- 9) = 9 .

Beräkna absolutbeloppet

fullscreen

Bestäm $∣ 3 x - 7 ∣$ när $x = 2 .$

Visa Lösning

För att bestämma uttryckets värde sätter vi in $x = 2$ och beräknar.

∣ 3 x - 7 ∣

Substitute

$x = 2$

∣ 3 \cdot 2 - 7 ∣

Multiply

Multiplicera faktorer

∣ 6 - 7 ∣

SubTerm

Subtrahera term

∣ - 1 ∣

AbsNeg

$∣ - 1 ∣ = 1$

1

Uttryckets värde är alltså $1$ när $x = 2 .$

Regel

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal $a$ som "kvadratroten ur $a$ i kvadrat."

$∣ a ∣ = a^{2}$

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet

- 4

(- 4)^{2} = 16 = 4 .

Minustecknet "försvinner" eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om

a

är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket

a^{2}

ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av

a .

Regel

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan $0$ och det talet på en tallinje. Till exempel är $∣ 3 ∣$ avståndet mellan $0$ och $3,$ och $∣ - 3 ∣$ är avståndet mellan $0$ och $- 3 .$

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som $∣ a - b ∣,$ anger avståndet mellan talen $a$ och $b .$

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är $∣ 5 - 7 ∣$ avståndet mellan $5$ och $7 .$ Eftersom även $∣ 7 - 5 ∣$ är avståndet mellan samma tal gäller det att

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣ .

Begrepp

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen $y = ∣ f (x) ∣$ alltid ligga ovanför $x$ -axeln. Exempelvis består grafen till $y = ∣ x ∣$ av två delar som båda ligger ovanför $x$ -axeln och som möts i origo.

∣ x ∣

∣ 0.5 - 0.5 x ∣

∣ ∣ ∣ 0.5 x^{2} - 5 ∣ ∣ ∣

För att rita grafen till

y = ∣ f (x) ∣

speglar man alltså de delar av grafen som ligger under

x

-axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på

x

-axeln.

Digitala verktyg

Absolutbelopp på räknare

För att beräkna absolutbeloppet av ett tal eller ett uttryck på räknaren använder man kommandot abs. Det hittar man genom att trycka på MATH och sedan på högerknappen för att visa menyn NUM.

Genom att välja det första alternativet, abs, sätts det in tillsammans med en startparentes. Det man skriver inom denna parentes är det som absolutbeloppet beräknas för.

Uträkning på TI-82-räknare med absolutbelopp

Man kan också använda kommandot som en del av ett uttryck eller i en funktion.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Använd definitionen av absolutbelopp

Exempel

Beräkna absolutbeloppet