Absolutbelopp

{{ 'ml-heading-theory' | message }}


Absolutbeloppet av ett tal aa är det positiva värdet av a,a, och skrivs a.|a|. Om aa är positivt påverkar absolutbeloppet ingenting, men för ett negativt aa byts tecknet och talet blir positivt. För 33 och -3\text{-}3 gäller därför 3=-3=3. |3|=|\text{-}3|=3.

Den formella definitionen av absolutbeloppet av aa är uppdelad i två fall – det första då aa är positivt eller 00 och det andra då aa är negativt. a={a,a0-a,a<0 |a|=\begin{cases}a,\quad a\geq 0 \\ \text{-} a,\quad a<0 \end{cases}

Minustecknet i det andra fallet kan tolkas som ett teckenbyte. Gör man det inser man att:

  • absolutbeloppet av ett positivt tal eller 00 är samma tal.
  • absolutbeloppet av ett negativt tal är samma tal men med omvänt tecken, dvs. positivt.
Uppgift

Använd definitionen a={a,a0-a,a<0 |a|=\begin{cases}a,\quad a\geq 0 \\ \text{-} a,\quad a<0 \end{cases} för att beräkna 5.5|5.5| och -9.|\text{-} 9|.

Lösning

Vi börjar med 5.5.|5.5|. Eftersom 5.55.5 är ett positivt tal ska vi använda det första fallet: a=a.|a|=a. Det betyder att asbolutbeloppet inte ändrar talets värde. Vi får 5.5=5.5. |5.5|=5.5. Nu tar vi -9.|\text{-} 9|. Eftersom -9\text{-}9 är ett negativt tal gäller det andra fallet, a=-a,|a|=\text{-} a, så vi sätter ett minustecken framför -9\text{-}9 för att beräkna absolutbeloppet. Då får vi -9=-(-9)=9. |\text{-} 9|=\text{-} (\text{-} 9)=9.

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm 3x7|3x-7| när x=2.x=2.

Lösning

För att bestämma uttryckets värde sätter vi in x=2x=2 och beräknar.

3x7|3x-7|
327|3\cdot{\color{#0000FF}{2}}-7|
67|6-7|
-1|\text{-}1|
\AbsNegII
11

Uttryckets värde är alltså 11 när x=2.x=2.

Visa lösning Visa lösning
Regel

Alternativ definition av absolutbelopp

Ibland definieras absolutbeloppet av ett tal aa som "kvadratroten ur aa i kvadrat."

a=a2|a|=\sqrt{a^2}

Man kan förstå denna definition genom att sätta in det negativa talet -4\text{-}4: (-4)2=16=4. \sqrt{(\text{-}4)^2}=\sqrt{16}=4.

Minustecknet "försvinner" eftersom kvadraten av ett tal alltid är positivt. Sedan återfås det positiva talet när man drar kvadratroten ur. Motsvarande händer om aa är positivt, fast då finns det inte något minustecken som försvinner. Uttrycket a2\sqrt{a^2} ger alltså alltid samma resultat som att ta absolutbeloppet av a.a.
Regel

Absolutbelopp som avstånd

Man kan tolka absolutbeloppet av ett tal som avståndet mellan 00 och det talet på en tallinje. Till exempel är 3|3| avståndet mellan 00 och 3,3, och -3|\text{-}3| är avståndet mellan 00 och -3.\text{-}3.

Tallinje som visar absolutbeloppen av -3 och 3

Absolutbeloppet av en differens, som ab,|a-b|, anger avståndet mellan talen aa och b.b.

Tallinje som visar absolutbeloppet av a-b

Exempelvis är 57|5-7| avståndet mellan 55 och 7.7. Eftersom även 75|7-5| är avståndet mellan samma tal gäller det att

ab=ba. |a-b|=|b-a|.
Begrepp

Grafen till en absolutbeloppsfunktion

Eftersom ett absolutbelopp aldrig är negativt kommer grafer till funktioner på formen y=f(x)y=|f(x)| alltid ligga ovanför xx-axeln. Exempelvis består grafen till y=xy = |x| av två delar som båda ligger ovanför xx-axeln och som möts i origo.

x|x|

0.50.5x|0.5 - 0.5x|

0.5x25\left|0.5x^2 - 5 \right|

För att rita grafen till y=f(x)y=|f(x)| speglar man alltså de delar av grafen som ligger under xx-axeln och ritar dem ovanför axeln istället. Som en följd av detta kan absolutbeloppsfunktioner ibland få ett eller flera hörn på xx-axeln.

För att beräkna absolutbeloppet av ett tal eller ett uttryck på räknaren använder man kommandot abs. Det hittar man genom att trycka på MATH och sedan på högerknappen för att visa menyn NUM.

Menyn NUM på TI-82-räknare

Genom att välja det första alternativet, abs, sätts det in tillsammans med en startparentes. Det man skriver inom denna parentes är det som absolutbeloppet beräknas för.

Uträkning på TI-82-räknare med absolutbelopp
Man kan också använda kommandot som en del av ett uttryck eller i en funktion.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna absolutbeloppen.

a

-7|\text{-} 7|

b

19|19|

c

-1.25|\text{-} 1.25|

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande absolutbelopp.

a

94|9-4|

b

-83+132|\text{-} 8\cdot 3+13\cdot 2|

c

4102\left|4-\dfrac{10}{2}\right|

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande absolutbelopp.

a

1019|10-19|

b

15-3\left|\dfrac{15}{\text{-} 3}\right|

c

(-10)(-10)\left|(\text{-} 10)(\text{-} 10)\right|

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

På tallinjen är två tal x1x_1 och x2x_2 markerade.

Bestäm x1x2.|x_1-x_2|.

Nationella provet HT12 3c
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet för uttrycken.

a

-8+2|\text{-} 8| + |2|

b

5+-29|5| + |\text{-} 29|

c

-4-6|\text{-} 4| - |\text{-} 6|

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck.

a

-1+-4+-11|\text{-} 1| + |\text{-} 4| + |\text{-} 11|

b

99-17+-180|99| - |\text{-} 17| + |\text{-} 180|

c

-2+-11.57.5\text{-} |2| + |\text{-} 11.5| - |7.5|

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna absolutbeloppens värde när x=2.x=2.

a

x+8|x+8|

b

-5x+1|\text{-} 5x+1|

c

(-x)3\left|(\text{-} x)^3\right|

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna absolutbeloppet 3a2+3a5\left|3a^2+3a-5\right| för värdena.

a

a=5a=5

b

a=-9a=\text{-} 9

c

a=-1a=\text{-} 1

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x=17.|x|=17.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck.


a

17-23\left||17|-|\text{-}23|\right|

b

--7-9\text{-}|\text{-}7|\cdot |\text{-}9|

c

-819-8\left|\left|\dfrac{\text{-}81}{9}\right|-|\text{-}8|\right|

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gäller likheten f(-2)=f(-2)|f(\text{-} 2)| = f(|\text{-} 2|) för följande polynomfunktioner?

a

f(x)=x53x3+7xf(x) = x^5 - 3x^3 + 7x

b

f(x)=2x39x1f(x) = 2x^3 - 9x - 1

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ragnar försöker övertala sin vän Tina att det går precis lika bra att beräkna a+b|a| + |b| som a+b|a + b| med förklaringen att "allt blir ju ändå positivt i slutändan." Motivera varför Ragnar har fel.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rita graferna till följande funktioner.

a

y=xy=|x|

b

y=-xy=\text{-} |x|

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen x+7=5.|x+7|=5.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken av kurvorna visar grafen till funktionen f(x)=x?f(x)=\sqrt{|x|}? Motivera.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet finns två grafer. Den ena är f(x)=x2f(x)=x^2 och den andra är g(x)=x3.g(x)=\left|x^3\right|.

Lös följande uppgifter utan att använda räknare.

a

Bestäm koordinaterna för grafernas skärningspunkter.

b

Vilken graf hör ihop med respektive funktionsuttryck? Motivera.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Grafen visar funktionen y=g(x).y=|g(x)|.

Bestäm g(x).g(x).

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När man räknar med absolutbelopp gäller regeln xy=xy.|x|\cdot|y|=|x\cdot y|. Visa att den gäller för alla reella xx och yy.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}