Absolutbelopp

Absolutbelopp är positiva även om det som står innanför absolutbeloppstecknen är negativt. Det betyder att det går att få 5 i högerledet på ekvationen på två sätt: antingen är det som står innanför absolutbeloppet i vänsterledet lika med 5 eller - 5. Det ger oss två ekvationer: x+7=5 och x+7=-5. Löser vi dem så får vi två möjliga värden på x. x+7=5& ⇔ x=-2 x+7=-5& ⇔ x=-12 Ekvationen har alltså två lösningar: x=-2 och x=-12.

Vi tittar dels på vilka funktionsvärden man kan få ut och vilka x-värden man kan sätta in.

Funktionsvärden

I en funktion får man ett y-värde för varje x man kan sätta in. I graf B kan man läsa av två funktionsvärden för varje x. Det betyder att den inte kan beskriva en funktion. Vidare är kvadratroten ur något alltid positivt, så f(x) bör aldrig ge några negativa funktionsvärden. Därför kan vi också utesluta graf C.

x-värden

Graf A och D ser likadana ut till höger om y-axeln. D har även punkter till vänster om den medan A inte har det. Kan man sätta in negativa x i f(x)? Vi testar med x=-4.

Vi fick ett reellt värde, så man kan alltså sätta in negativa värden i funktionen, vilket betyder att man ska få punkter till vänster om y-axeln också. Absolutbeloppet gör ju att det som hamnar under rottecknet alltid är positivt, och därmed definierat. Grafen som beskriver f(x) måste alltså vara D.

Graferna skär varandra i de x-värden som löser ekvationen

|x^3|=x^2. Vi löser denna ekvation genom att resonera oss fram. Om det som står innanför absolutbeloppet är positivt kan ekvationen skrivas som x^3=x^2. Vi börjar med att lösa denna med nollproduktmetoden.

Då har vi hittat två skärningspunkter, x=0 och x=1. Eftersom vi vet att en av kurvorna är en andragradskurva och vi ser att skärningspunkten i andra kvadranten är på samma höjd i y-led kan vi, pga. symmetri, dra slutsatsen att den sista skärningspunkten är (-1,1).

Vi kan utnyttja att vi vet skärningspunkterna för att lista ut vilken graf som är vilken. Vi kan exempelvis utgå ifrån skärningspunkten (1,1).

Om vi bestämmer y-värdena för funktionerna f(x)=x^2 och g(x)=|x^3| för exempelvis x=0.5, så vet vi att den röda grafen ligger ovanför den blå där. Det innebär alltså att den funktion som ger det största y-värdet motsvaras av den röda grafen och den som ger det minsta motsvaras av den blå. &f(0.5)=0.5^2= 0.25 &g(0.5)=|0.5^3|=|0.125|= 0.125

Funktionen f(x)=x^2 motsvaras alltså av den röda grafen och g(x)=|x^3| motsvaras av den blå.

Grafen till funktionen x^3 ser ut som vi har ritat ut den nedan.

Vad händer när man sätter absolutbeloppstecken på x^3? Jo, alla negativa y-värden blir positiva. Det betyder att grafens vänstra del speglar sig i x-axeln. Därför ser denna graf ut lite som en andragradskurva.

Absolutbeloppet gör att när g(x) är negativt byter funktionsvärdet tecken och blir positivt. Från koordinatsystemet ser vi att grafen "studsar" på x-axeln vid x=4. Detta betyder att g(x) måste vara negativt och har speglats i x-axeln antingen när x är mindre än 4 eller när x är större än 4. Vi får alltså två separata fall som vi undersöker ett i taget.

g(x) är negativt för x<4

Om vi antar att g(x) är negativt för x mindre än 4 betyder det att absolutbeloppet har speglat grafen i x-axeln för alla x-värden under 4. Om vi speglar dessa punkter igen kommer vi att få grafen för den funktion som måste finnas innanför beloppstecknen.

g(x) måste alltså vara den räta linjen ovan. Den skär y-axeln i (0,- 4) vilket betyder att m-värdet är - 4. Man kan också se att linjen ökar med ett steg i y-led för varje steg i x-led, vilket innebär att k-värdet för linjen är 1. Sätter vi in detta i formeln för en rät linje får vi g(x)=x-4.

g(x) är negativt i intervallet x>4

Om g(x) istället är negativt när x>4 innebär det att den räta linjen speglas i x-axeln för dessa x-värden. På samma sätt som tidigare "speglar vi tillbaka" alla punkter på grafen som har ett x större än 4. Då får vi en graf som motsvarar g(x).

Vi bestämmer linjens funktion på samma sätt som tidigare, dvs. genom att läsa av lutningen och m-värdet. Grafen skär y-axeln vid 4, vilket alltså är m-värdet, och grafen sjunker med ett steg i y-led för varje steg i x-led, så k-värdet måste vara - 1. Det ger g(x) = - x + 4.

Slutsats

Eftersom funktionen ska skära y-axeln i (0,-4) så vet vi att funktionen är g(x) = x - 4

Vi skriver om |x| och |y| som kvadratrötter med definitionen av absolutbelopp som |a| = sqrt(a^2). Sedan kan vi skriva om uttrycket med hjälp av räkneregler för kvadratrötter.

|x|* |y| kan alltså skrivas om till |x* y|.