Regler för derivator

Deriveringsregler för exponentialfunktioner

Teori

En exponentialfunktion som står på formen f(x)=ax f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet ee, dvs. ungefär 2.72.2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x.x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=axf(x)=a^x medan den röda visar derivatan f(x).f'(x). Väljer man basen aa till ee ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Derivatan av exe^x

Exponentialfunktionen f(x)=exf(x)=e^x är sin egen derivata.

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x

Derivatan av ekxe^{kx}

Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.x.

Härledning

D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right) = ke^{kx}

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med bas ee

Derivatan av axa^x

Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax,f(x)=a^x, dvs. när aa är något annat än talet ee, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).\ln(a).

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)

Derivatan av akxa^{kx}

Funktioner på formen f(x)=akxf(x)=a^{kx} deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax.f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a)\ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.k.

Härledning

D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)

Exempel

Derivera exponentialfunktioner med generell bas