Deriveringsregler för exponentialfunktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Den här sidan innehåller förändringar som inte är märkta för översättning.


En exponentialfunktion som står på formen f(x)=ax f(x)=a^x har i de flesta fall en derivata som inte är lika med funktionen själv. Det finns dock ett undantag och det är när funktionens bas är lika med talet ee, dvs. ungefär 2.72.2.72. Då är derivatan och funktionen samma för alla x.x. Den blå grafen visar funktionen f(x)=axf(x)=a^x medan den röda visar derivatan f(x).f'(x). Väljer man basen aa till ee ser man att funktionens och derivatans graf sammanfaller.

Regel

Derivatan av exe^x

Exponentialfunktionen f(x)=exf(x)=e^x är sin egen derivata.

Härledning

D(ex)=exD(e^x) = e^x
Regel

Derivatan av ekxe^{kx}

Derivatan av en exponentialfunktion på formen f(x)=ekxf(x)=e^{kx} är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför x.x.

Härledning

D(ekx)=kekxD\left(e^{kx}\right) = ke^{kx}
Uppgift Visa lösning Visa lösning
Regel

Derivatan av axa^x

Derivatan till exponentialfunktioner på formen f(x)=ax,f(x)=a^x, dvs. när aa är något annat än talet ee, är funktionsuttrycket multiplicerat med ln(a).\ln(a).

Härledning

D(ax)=axln(a)D\left(a^x \right) = a^x \cdot \ln(a)
Regel

Derivatan av akxa^{kx}

Funktioner på formen f(x)=akxf(x)=a^{kx} deriveras på nästan samma sätt som f(x)=ax.f(x)=a^x. Men utöver att multiplicera funktionsuttrycket med ln(a)\ln(a) multipliceras det även med koefficienten k.k.

Härledning

D(akx)=akxkln(a)D\left(a^{kx}\right) = a^{kx}\cdot k \cdot \ln(a)
Uppgift Visa lösning Visa lösning

{{ 'ml-heading-exercises' | message }}