MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
2b
Kurs 2b Visa detaljer
1. Vinklar och månghörningar
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel 4
1. 

Vinklar och månghörningar

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Inställningar & verktyg för lektion
12 sidor teori
17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Vinklar och månghörningar
Sida av 12

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Vinkel
  • Typer av vinklar
  • Transversal
  • Vinklar bildade av en transversal
  • Polygon
  • Regelbunden polygon
  • Triangel
  • Vinkelsumma för polygoner

Förkunskaper
Koncept

Vinkel

En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.

Vinkeln ABC bildas av två strålar, BC och BA, som båda kallas för vinkelben. Strålarna delar startpunkt, nämligen punkt B, som också är vinkelspetsen.

Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.

Notation
Vinkelspets
Vinkelspets och en punkt på varje stråle eller
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan eller
Grekiska bokstäver T.ex. eller eller

Ibland används symbolen i stället för för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.

Insida och utsida av en vinkel

En vinkel kan dela in ett plan i två delar.

  • Området mellan vinkelbenen, eller vinkels insida.
  • Området utanför vinkelbenen, eller vinkels utsida.
Dessa områden kan undersökas i följande applikation.
Insida och utsida av en vinkel
Notera att vinkelns insida är det område där vinkeln är mindre än
Utforska

Klara, färdiga, gå!

Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned så börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar alltså grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.
Tidtagarur
Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?
Koncept

Typer av vinklar

Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått.

  • En rak vinkel är en vinkel vars värde är exakt
  • En rät vinkel är en vinkel vars värde är exakt
  • En spetsig vinkel är en vinkel som är större än men mindre än
  • En trubbig vinkel är en vinkel som är större än men mindre än
Fyra typer av vinklar
Övning

Vinklar på en urtavla

När tiden går bildar visarna på en klocka olika vinklar. Dela in de angivna vinklarna i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlekar.

En klocka där vinkeln mellan minutvisaren och timvisaren är markerad.
Koncept

Transversal

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.
Transversal som skär två linjer utan rät vinkel
För att linjen ska vara en transversal måste skärningspunkterna med de andra två linjerna vara olika punkter.
Koncept

Vinklar bildade av en transversal

Det finns flera typer av vinklar som bildas av en transversal.

  • Sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar. Deras summa är
  • Vertikalvinklar är ett par vinklar som ligger på motsatta sidor av skärningspunkten mellan två linjer eller linjesegment. Deras mått är desamma.
  • Likbelägna vinklar är ett par av vinklar som bildas av en transversal när den skär två andra linjer. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.
  • Alternatvinklar är ett par av vinklar som bildas på motsatt sida av en transversal när den skär två andra linjer. Det finns två typer: inre och yttre. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.
Fyra typer av vinklar
Exempel

Hur stora är de olika vinklarna?

Linjerna och är parallella. Bestäm storleken på vinklarna och med hjälp av de kända vinklarna i figuren.

Fyra räta linjer med kända och okända vinklar markerade vid skärningspunkterna
Skriv måtten på vinklarna och i en lista.

Ledtråd

Hitta de okända vinkelmåtten genom att avgöra om de är sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar eller alternatvinklar till vinklarna med givna mått.

Lösning

Tänk på varje vinkel en i taget.

Vinkel

Eftersom vinkel befinner sig på motsatt sida om skärningspunkten mellan två linjer är den vertikalvinkel till vinkeln som är

Två räta linjer med kända och okända vinklar markerade vid skärningspunkten

Vertikalvinklar är alltid lika stora, så

Vinkel

Vinkel är sidovinkel till dels vinkeln som är och dels till vinkel som också är . Summan av sidovinklar är alltid så därför är

Vinkel

Vinkelparet och bildas båda av den vänstra linjen som skär och De är därför likbelägna vinklar, och eftersom och är parallella är dessa lika stora. Då måste

Fyra räta linjer med likbelägna vinklar markerade vid skärningspunkterna

Vinkel

Slutligen ser vi att vinkel och också bildas av en linje som skär linjerna och men dessa står på varsin sida om skärningslinjen. Därför är de alternatvinklar vid parallella linjer och därför lika stora. Vinkel är då

Fyra räta linjer med kända vinklar markerade vid skärningspunkterna
Sammanfattningsvis är alltså
Övning

Beräkna värdet av i vinkeln

För var och en av de givna vinklarna, beräkna värdet av

Ett slumpmässigt par av vertikala, komplementära eller supplementära vinklar. Storleken på en av vinklarna är given och storleken på den andra efterfrågas.
Koncept

Polygoner och trianglar

En polygon, eller månghörning, består av tre eller fler linjesegment, kallade sidor, vars ändpunkter ansluter ände mot ände för att omsluta en area. När alla sidor i en polygon har samma längd, kallas den för en regelbunden polygon.
Olika typer av polygoner
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
Interaktiv triangel med ett flyttbart hörn.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
Typer av trianglar
Vinklar Sidlängder
Spetsvinklig triangel Likbent triangel
Rätvinklig triangel Liksidig triangel
Trubbvinklig triangel
Regel

Teorem för polygonens inre vinklar

Summan av måtten på de inre vinklarna i en polygon med hörn ges av följande formel.

Formeln kan tillämpas på vilken som helst polygon, inte bara på regelbundna polygoner.
Summor av mått på inre vinklar i polygoner

Bevis

I beviset kommer en pentagon att övervägas. Dock är beviset giltigt för vilken polygon som helst.

En pentagon

För vilken femhörning som helst kan två icke-korsande diagonaler dras för att dela femhörningen i tre trianglar. I fallet med en godtycklig polygon med hörn kan icke-korsande diagonaler dras för att dela polygonen i trianglar.

En pentagon uppdelad i tre trianglar med hjälp av två diagonaler
Låt vara summan av måtten på vinklarna i och och vara summorna av måtten på vinklarna i respektive Det kan noteras att summan av vinkelmåtten i femhörningen är lika med den totala summan av vinkelmåtten i de tre trianglarna.
Enligt Teoremet om trianglars vinkelsumma är summan av vinkelmåtten i varje triangel lika med Då kan substitueras för och
Detta innebär att är lika med eller I fallet med en godtycklig polygon med hörn finns det trianglar, så summan av vinkelmåtten i polygonen är Detta bevisar teoremet.

Övning

Att hitta det saknade vinkelmåttet

Bestäm det saknade vinkelmåttet. Här är polygonerna, där alla sidor är lika långa, regelbundna polygoner. Avrunda svaret till närmaste heltal om det behövs.

Slumpmässiga polygoner
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
I en regelbunden femhörning dras en bisektris. I vilken vinkel skär den motstående sida? Vinkelsumman i en femhörning är

En regelbunden månghörning har lika stora vinklar. Eftersom vinkelsumman i en femhörning är 540^(∘) blir varje vinkel 540^(∘)5=108^(∘).

Vi drar en bisektris från ett av hörnen. Den delar då den vinkeln i två lika stora delar.

Eftersom varje vinkel i femhörningen är 108^(∘) delas vinkeln i två 54^(∘)-vinklar. Bisektrisen delar också femhörningen i två fyrhörningar. Vi tittar på den högra.

Vinkelsumman i en fyrhörning är 360^(∘). Vi känner till tre av vinklarna, vilket betyder att vi kan beräkna den fjärde: 360^(∘)-108^(∘)-108^(∘)-54^(∘)=90^(∘). Den sista vinkeln i fyrhörningen är alltså 90^(∘), dvs. den är rät.

Sträckorna och är parallella. Bestäm vinkeln

En sammankoppling av fyra olika linjer, som bildar tre olika vinklar.

Vi förlänger sträckorna BC och DE så att de möts. Då bildas en ny vinkel.

De gröna vinklarna är alternatvinklar och eftersom AB och DE är parallella måste de vara lika stora: 30^(∘). Det bildas även en sidovinkel till den röda vinkeln. Summan av dem är 180^(∘) så den blir 180^(∘)-130^(∘)=50^(∘).

Vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den sista vinkeln i triangeln är 180^(∘)-30^(∘)-50^(∘)=100^(∘). Den är sidovinkel till v.

Det betyder att v=180^(∘)-100^(∘)=80^(∘).

och är parallella. Bestäm vinklarna och

Två parallella linjer som skärs av två sneda linjer, så att en triangel bildas.

Vinkeln v är likbelägen med den nedre högra vinkeln i triangeln. Eftersom L_1 och L_2 är parallella är de vinklarna lika stora.

Den blå och gula vinkeln är sidovinklar så summan av dem är 180^(∘): v+x+10^(∘)=180^(∘). Den nedre vänstra vinkeln i triangeln är 180^(∘)-x eftersom den och den gröna vinkeln är sidovinklar.

Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln. Om man summerar dem blir vinkelsumman 180^(∘): v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Nu har vi två samband mellan v och x. Det ger oss ett ekvationssystem: v+x+10^(∘)=180^(∘) v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.

Vinklarna är alltså x=120^(∘) och v=50^(∘).

Sidorna i en fyrhörning har förlängts vid hörnen. Bestäm summan av de gröna vinklarna.

fyrhörning med yttervinklar

Vi kallar de gröna vinklarna för a, b, c och d.

Paren av gröna och blå vinklar är sidovinklar så summan av varje par är 180^(∘). Det betyder att vi kan ta fram uttryck för de blå vinklarna.

De blå vinklarna är vinklar i en fyrhörning. Det betyder att summan av dem är 360^(∘).

Summan av a, b, c och d, dvs. de gröna vinklarna, är 360^(∘).

Beräkna summan av de markerade vinklarna.

Fyra trianglar hopkopplade i hörn

Vi börjar med att namnge vinklarna vars summa vi vill beräkna, t.ex. a-f. Vi döper dessutom de återstående vinklarna i trianglarna till x, y och z. Dessa är vertikalvinklar till de tre vinklarna i den mittersta triangeln, vilket innebär att de också blir x, y och z.

De tre yttre trianglarna har vinkelsumman 3*180^(∘)=540^(∘), eftersom varje triangel har vinkelsumman 180^(∘). Vinkelsumman för de gröna trianglarna (a-f) blir 540^(∘)-(x+y+z). Men x, y och z är ju vinklarna i den mittersta triangeln så summan av dem är 180^(∘).

Summan av de gröna vinklarna är alltså 360^(∘).

Vinklar och månghörningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll