1. Vinklar och månghörningar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
1.
Vinklar och månghörningar
Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 12 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vinklar och månghörningar
Sida av 12
Koncept
Dela
Rapportera fel
Vinkel
En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.
Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen ∧
framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen ∧. Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.
| Notation | |
|---|---|
| Vinkelspets | ∧ B |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle | ∧ ABC eller ∧ CBA |
| Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan ∧ | ABC eller CBA |
| Grekiska bokstäver | T.ex. ∧ α eller ∧ β eller ∧ θ |
Ibland används symbolen ∠
i stället för ∧ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.
Insida och utsida av en vinkel
En vinkel kan dela in ett plan i två delar.
- Området mellan vinkelbenen, eller vinkels
insida
. - Området utanför vinkelbenen, eller vinkels
utsida
.
Utforska
Dela
Rapportera fel
Klara, färdiga, gå!
Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned så börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar 360^(∘), alltså 360 grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.
Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?
Koncept
Dela
Rapportera fel
Typer av vinklar
Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått.
- En rak vinkel är en vinkel vars värde är exakt 180^(∘).
- En rät vinkel är en vinkel vars värde är exakt 90^(∘).
- En spetsig vinkel är en vinkel som är större än 0^(∘) men mindre än 90^(∘).
- En trubbig vinkel är en vinkel som är större än 90^(∘) men mindre än 180^(∘).
Övning
Dela
Rapportera fel
Vinklar på en urtavla
När tiden går bildar visarna på en klocka olika vinklar. Dela in de angivna vinklarna i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlekar.
Koncept
Dela
Rapportera fel
Transversal
En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.
För att linjen ska vara en transversal måste skärningspunkterna med de andra två linjerna vara olika punkter.
Koncept
Dela
Rapportera fel
Vinklar bildade av en transversal
Det finns flera typer av vinklar som bildas av en transversal.
- Sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar. Deras summa är 180^(∘).
- Vertikalvinklar är ett par vinklar som ligger på motsatta sidor av skärningspunkten mellan två linjer eller linjesegment. Deras mått är desamma.
- Likbelägna vinklar är ett par av vinklar som bildas av en transversal när den skär två andra linjer. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.
- Alternatvinklar är ett par av vinklar som bildas på motsatt sida av en transversal när den skär två andra linjer. Det finns två typer: inre och yttre. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.
Exempel
Dela
Rapportera fel
Hur stora är de olika vinklarna?
Linjerna L_1 och L_2 är parallella. Bestäm storleken på vinklarna a, b, c och d med hjälp av de kända vinklarna i figuren.
{"type":"text","form":{"type":"list","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"ordermatters":true,"numinput":1,"listEditable":false,"hideNoSolution":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["60,120,60,49"]}}
Ledtråd
Hitta de okända vinkelmåtten genom att avgöra om de är sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar eller alternatvinklar till vinklarna med givna mått.
Lösning
Tänk på varje vinkel en i taget.
Vinkel a
Eftersom vinkel a befinner sig på motsatt sida om skärningspunkten mellan två linjer är den vertikalvinkel till vinkeln som är 60 ^(∘).
Vertikalvinklar är alltid lika stora, så a=60 ^(∘).
Vinkel b
Vinkel b är sidovinkel till dels vinkeln som är 60^(∘) och dels till vinkel a som också är 60^(∘). Summan av sidovinklar är alltid 180 ^(∘), så därför är 60 ^(∘) + b = 180 ^(∘) ⇔ b = 120 ^(∘).
Vinkel c
Vinkelparet c och a bildas båda av den vänstra linjen som skär L_1 och L_2. De är därför likbelägna vinklar, och eftersom L_1 och L_2 är parallella är dessa lika stora. Då måste c=60 ^(∘).
Vinkel d
Slutligen ser vi att vinkel d och 49^(∘) också bildas av en linje som skär linjerna L_1 och L_2, men dessa står på varsin sida om skärningslinjen. Därför är de alternatvinklar vid parallella linjer och därför lika stora. Vinkel d är då 49 ^(∘).
Sammanfattningsvis är alltså a=60^(∘), b=120^(∘), c=60^(∘), d=49^(∘).
Övning
Dela
Rapportera fel
Beräkna värdet av x i vinkeln
För var och en av de givna vinklarna, beräkna värdet av x.
Koncept
Dela
Rapportera fel
Polygoner och trianglar
En polygon, eller månghörning, består av tre eller fler linjesegment, kallade sidor, vars ändpunkter ansluter ände mot ände för att omsluta en area. När alla sidor i en polygon har samma längd, kallas den för en regelbunden polygon.
En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.
I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.
| Typer av trianglar | |
|---|---|
| Vinklar | Sidlängder |
| Spetsvinklig triangel | Likbent triangel |
| Rätvinklig triangel | Liksidig triangel |
| Trubbvinklig triangel | |
Regel
Dela
Rapportera fel
Teorem för polygonens inre vinklar
Summan av måtten på de inre vinklarna i en polygon med n hörn ges av följande formel.
(n-2)180^(∘)
Bevis
I beviset kommer en pentagon att övervägas. Dock är beviset giltigt för vilken polygon som helst.
För vilken femhörning som helst kan två icke-korsande diagonaler dras för att dela femhörningen i tre trianglar. I fallet med en godtycklig polygon med n hörn kan n-3 icke-korsande diagonaler dras för att dela polygonen i n-2 trianglar.
Låt P vara summan av måtten på vinklarna i ABCDE, och S_1, S_2, och S_3 vara summorna av måtten på vinklarna i △ BCD, △ BDE, respektive △ BEA. Det kan noteras att summan av vinkelmåtten i femhörningen är lika med den totala summan av vinkelmåtten i de tre trianglarna. P = S_1 + S_2 + S_3 Enligt Teoremet om trianglars vinkelsumma är summan av vinkelmåtten i varje triangel lika med 180^(∘). Då kan 180^(∘) substitueras för S_1, S_2 och S_3. P = S_1 + S_2 + S_3 ⇕ P = 180^(∘) + 180^(∘) + 180^(∘) Detta innebär att P är lika med 3* 180^(∘), eller (5 - 2)* 180^(∘). I fallet med en godtycklig polygon med n hörn finns det n-2 trianglar, så summan av vinkelmåtten i polygonen är (n-2) * 180^(∘). Detta bevisar teoremet.
P = (n-2)180^(∘)
Övning
Dela
Rapportera fel
Att hitta det saknade vinkelmåttet
Bestäm det saknade vinkelmåttet. Här är polygonerna, där alla sidor är lika långa, regelbundna polygoner. Avrunda svaret till närmaste heltal om det behövs.
Vinklar och månghörningar
Uppgift 3.1
I figuren är de vertikala linjerna L_1, L_2 och L_3 parallella.
Rita av figuren och markera alla vinklar som är likbelägna till den röda vinkeln.
Markera alla vinklar som är lika stora som den röda. Motivera.
security
report
code
security
report
code
Likbelägna vinklar ligger på "samma ställe" i förhållande till skärningspunkterna. I vår figur bildar den sneda linjen vinklar på samma ställe som den röda fast för linjerna L_2 och L_3. Alla dessa är alltså likbelägna.
Alla likbelägna vinklar som vi markerade i förra deluppgiften är lika stora, eftersom linjerna L_1, L_2 och L_3 är parallella. Dessutom hittar vi vertikalvinklar på motsatta sidan om varje markerad vinkel. Eftersom vertikalvinklar alltid är lika stora, måste även dessa ha samma storlek som ursprungsvinkeln.
Alla markerade vinklar i figuren ovan är alltså lika stora som den ursprungliga röda vinkeln.
security
report
code
Sträckorna AB och DE är parallella. Bestäm vinkeln v.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["80"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi förlänger sträckorna BC och DE så att de möts. Då bildas en ny vinkel.
De gröna vinklarna är alternatvinklar och eftersom AB och DE är parallella måste de vara lika stora: 30^(∘). Det bildas även en sidovinkel till den röda vinkeln. Summan av dem är 180^(∘) så den blir 180^(∘)-130^(∘)=50^(∘).
Vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), så den sista vinkeln i triangeln är 180^(∘)-30^(∘)-50^(∘)=100^(∘). Den är sidovinkel till v.
Det betyder att v=180^(∘)-100^(∘)=80^(∘).
security
report
code
L_1 och L_2 är parallella. Bestäm vinklarna v och x.
security
report
code
security
report
code
Vinkeln v är likbelägen med den nedre högra vinkeln i triangeln. Eftersom L_1 och L_2 är parallella är de vinklarna lika stora.
Den blå och gula vinkeln är sidovinklar så summan av dem är 180^(∘): v+x+10^(∘)=180^(∘). Den nedre vänstra vinkeln i triangeln är 180^(∘)-x eftersom den och den gröna vinkeln är sidovinklar.
Nu har vi uttryck för alla vinklar i triangeln. Om man summerar dem blir vinkelsumman 180^(∘): v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Nu har vi två samband mellan v och x. Det ger oss ett ekvationssystem: v+x+10^(∘)=180^(∘) v+70^(∘)+180^(∘)-x=180^(∘). Vi löser det med t.ex. substitutionsmetoden.
Vinklarna är alltså x=120^(∘) och v=50^(∘).
security
report
code
Sidorna i en fyrhörning har förlängts vid hörnen. Bestäm summan av de gröna vinklarna.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["360"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kallar de gröna vinklarna för a, b, c och d.
Paren av gröna och blå vinklar är sidovinklar så summan av varje par är 180^(∘). Det betyder att vi kan ta fram uttryck för de blå vinklarna.
De blå vinklarna är vinklar i en fyrhörning. Det betyder att summan av dem är 360^(∘).
Summan av a, b, c och d, dvs. de gröna vinklarna, är 360^(∘).
security
report
code
Beräkna summan av de markerade vinklarna.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"text":["360"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att namnge vinklarna vars summa vi vill beräkna, t.ex. a-f. Vi döper dessutom de återstående vinklarna i trianglarna till x, y och z. Dessa är vertikalvinklar till de tre vinklarna i den mittersta triangeln, vilket innebär att de också blir x, y och z.
De tre yttre trianglarna har vinkelsumman 3*180^(∘)=540^(∘), eftersom varje triangel har vinkelsumman 180^(∘). Vinkelsumman för de gröna trianglarna (a-f) blir 540^(∘)-(x+y+z). Men x, y och z är ju vinklarna i den mittersta triangeln så summan av dem är 180^(∘).
Summan av de gröna vinklarna är alltså 360^(∘).
security
report
code
Vinklar och månghörningar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll