System av olikheter

Olikheten är strikt så linjen längs med områdets rand ska vara streckad. x>2 innebär att x ska vara större än 2 så området till höger om x=2 ska markeras.

Olikheten är inte strikt så linjen längs med områdets rand ska vara heldragen. y≥ - 1 innebär att y ska vara större än eller lika med - 1 så vi ska även markera området ovanför y=- 1.

Olikheten y < - 3x+2 tolkas som området under den räta linjen y=- 3x+2. Eftersom olikheten är strikt är linjen streckad.

Vi ser att områdets rand är streckad vilket betyder att olikheten som beskriver området är strikt. Vi ser även att randen är en horisontell linje längs med y=2 och att området under randen har markerats. Olikheten beskriver alltså alla y mindre än 2, dvs. y< 2.

Nu är områdets rand heldragen så olikheten är inte strikt. Vi ser även att randen är en vertikal linje längs med x=- 4 och att området till höger har markerats. Olikheten beskriver alltså alla x större än eller lika med - 4, dvs. x ≥ - 4.

Områdets rand är heldragen så olikheten är inte strikt. Linjen kan skrivas på formen y=kx+m. Från koordinatsystemet ser vi att linjen skär y-axeln i y=- 1 och att den stiger ett steg för varje steg åt höger.

Den räta linjen är därför y=x-1 och eftersom området under linjen har markerats söker vi alltså alla y som är mindre än eller lika med y=x-1. Vi får olikheten y≤ x-1.

Vi börjar med att undersöka vilka linjer som ramar in området. Vi ser att randen på området består av en vertikal linje längs med y-axeln, en horisontell linje längs med x-axeln samt en rät streckad linje med negativ lutning. Vi ritar dessa.

Den horisontella linjen kan beskrivas med ekvationen y=0, och den vertikala linjen ligger på x=0. För linjen med negativ lutning läser vi av m-värdet som 4, och k-värdet som -1, vilket ger ekvationen y=- x+4.

Genom att undersöka på vilken sida om linjerna som området ligger kan vi nu avgöra olikheterna. Vi ser att det sökta området ligger under, men inte på, linjen y=- x+4, vilket innebär att första olikheten blir y < - x+4. Området ligger dessutom till höger om och på linjen x=0. I området ingår alltså bara x-värden som är större än eller lika med 0: x ≥ 0. Slutligen ligger området även ovanför och på linjen y=0. I området ingår alltså bara y-värden som är större än eller lika med 0: y ≥ 0. Dessa tre olikheter beskriver tillsammans området i figuren, så det system av olikheter vi söker är alltså y < - x+4 x ≥ 0 y ≥0.

När vi ritar en olikhet börjar vi med randen. Den första olikheten är inte strikt så randen är heldragen. Eftersom x ska vara större än eller lika med 2 ska vi markera området till höger om linjen.

Den andra olikheten är strikt så rand ska vara streckad. Enligt olikheten ska y vara större än 5 så vi markerar området ovanför randen.

När olikheterna är markerade har man hittat det område som uppfyller alla samtidigt. Det är det mörkaste området, dvs. området i figuren nedan.

Vi börjar med den första olikheten. x ska vara mindre än eller lika med 2 så vi drar randen heldragen och markerar området till vänster.

Olikheten y<3 innebär att y ska vara mindre än 3 och eftersom olikheten är strikt ritas den streckad.

Vi ritar även in den sista olikheten x>- 3 som säger att x ska vara större än - 3 och eftersom den är strikt ritas randen streckad.

Det punkter som uppfyller alla olikheter är det som överlappas av alla områden.