Logga in
| 15 sidor teori |
| 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
Sannolikhet mäter hur troligt det är att något kommer att inträffa. Sannolikheten för någonting kan uttryckas som ett värde mellan 0 och 1 eller 0% och 100%. När det är säkert att situationen inte kommer att inträffa är sannolikheten 0. På samma sätt, om en situation med säkerhet kommer inträffa, är sannolikheten 1.
Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Att rulla en trea med en sexsidig tärning är ett exempel på ett möjligt utfall.
En händelse är en kombination av ett eller flera specifika utfall. Till exempel, när man spelar kort, kan en händelse vara att dra en spader eller ett hjärta. För denna händelse är ett möjligt utfall att dra A♠ eller att dra 7♡.
Men dessa är inte de enda möjliga utfallen för denna händelse. Alla möjliga utfall som uppfyller händelsen listas nedan.
Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.
P=Antal mo¨jliga utfallAntal gynnsamma utfall
slå ett udda tal med en tärningär de gynnsamma utfallen 3 stycken: etta, trea och femma.
Räkna de gynnsamma utfallen och det totala antalet möjliga utfall.
Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.
Sätt in uttryck
Slå in på räknare
Avrunda till 2 decimal(er)
Experimentell sannolikhet är sannolikheten att en händelse inträffar baserat på data som samlats in från upprepade försök i ett experiment. För varje försök noteras utfallet. När alla försök är utförda beräknas den experimentella sannolikheten för en händelse genom att dividera antalet gånger händelsen inträffar med antalet försök.
Tänk på det som tidigare observationer: Räkna hur många gånger det regnade under 100 liknande dagar.
Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:
P(A eller B)=P(A)+P(B)
Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: Ac. För A är komplementhändelsen Ac att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.
Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, Ac. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.
P(A)+P(Ac)=1
Vad är motsatsen till att alla förlorar
?
Det finns många sätt att dra två kort som inte är par. Det är därför enklare att beräkna sannolikheten för komplementhändelsen, dvs. att man drar ett par. Det spelar ingen roll vilket kort man drar först. Frågan är hur sannolikhet det är att andra kortet ger par. Drar du en sjua, finns det 3 st. kvar bland 51 kort. Sannolikheten för par blir alltså P(par)=3/51. Summan av denna sannolikhet och sannolikheten att man drar olika kort måste vara 1, eftersom det inte finns några andra utfall. Vi sätter in detta i formeln för komplementhändelse.
Sannolikheten att man inte får par är 1617.
Hur kunde vi inse att det gick att förkorta 4851 med 3? Jo, siffersumman i både täljare och nämnare är delbara med 3, vilket innebär att talen är delbara med tre.
bake-off. Oddset för att Maria vinner har beräknats till 2,5. Hur sannolikhet är det att Maria vinner? Svara i hela procent.
Vi kallar händelsen att slå ett jämnt tal för A. Om vi ska beräkna oddset för att slå ett jämnt tal behöver vi veta P(A). När man kastar tärning finns det sex utfall och tre av dessa är gynnsamma (2, 4 och 6). Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.
Sannolikheten att slå jämnt är 0,5 vilket innebär att sannolikheten att slå udda också är 0,5. Vi sätter in dessa sannolikheter i formeln för att bestämma odds.
Oddset för att slå jämnt är alltså 1.
Vi kallar händelsen att Maria vinner baktävlingen för A. Händelsen att Maria inte vinner blir då
1-P(A).
Vi sätter in händelserna i formeln för att beräkna oddset, likställer med 2,5 och löser ut P(A).
Sannolikheten att Maria vinner är cirka 0,71 eller 71 %.
Om sannolikheten att Maria vinner är 71 % måste sannolikheten att Henrik vinner vara 29 %. Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna odds och förenklar.
Oddset för att Henrik vinner är cirka 0,41.
Om laget förlorar 60 % av alla matcher måste de spela oavgjort eller vinna 40 %. Av matcherna som inte förloras spelar de oavgjort 70 % och måste därmed vinna resten, dvs. 30 %. Vi kan beräkna 30 % av 40 % genom att multiplicera 0,4 med 0,3: 0,4* 0,3=0,12=12 %. Av det antal matcher som kommer spelas, som vi kan kalla a, kommer laget alltså vinna ca 12 % av dem. Multiplicerar vi a med 0,12 ska vi alltså få 100 vilket ger oss en ekvation för a.
Laget måste sannolikt spela ca 833 matcher för att komma upp i 100 vinster.
Det är 8 % chans att dra en vinstlott vilket kan skrivas P(vinst)= 8/100. Förkortar vi bråket till sin enklaste form kan vi bestämma det minsta antalet lotter och vinstlotter som lotteriet kan innehålla genom att läsa av talen i bråkets nämnare och täljare. Detta eftersom antalet lotter måste vara heltal.
Bråket kan nu inte förkortas mer och då kan det minsta antalet lotter läsas av i nämnaren: 25. I täljaren ser vi att 2 av dessa lotter ska ge vinst om vinstchansen är 8 %. Detta innebär att lotteriet måste innehålla minst 25-2=23 nitlotter.
Du får välja ett av lyckohjulets fält och om nålen hamnar på det valda fältet vinner du det som står på fältet. Låt oss anta att du enbart vill maximera din förväntade avkastning. Vilket fält bör du välja om bilen är värd 300000 kr, huset är värt 1 miljon kr och resan är värd 100000 kr?
För att beräkna den förväntade avkastningen behöver vi veta hur sannolikt det är att nålen hamnat på de olika fälten. Vi ser att det gröna fältet täcker en fjärdedel av hjulet så sannolikheten är 14 att nålen stannar här. Det röda fältet spänner upp en cirkelsektor med vinkeln 30^(∘) och eftersom hela hjulet är 360^(∘) blir sannolikheten P(hus)=30^(∘)/360^(∘)=1/12 att nålen stannar på det röda fältet. Det röda och gröna fältet utgör tillsammans 14+ 112 av hela cirkeln. Vi beräknar hur stor del det blå fältet utgör genom att subtrahera detta från 1.
Sannolikheten är 23 att nålen stannar på det blå fältet. Den förväntade avkastningen kan nu beräknas genom att multiplicera värdet av vinsterna med sannolikheterna.
Vinst | Värde | P | Förväntad avkastning | = |
---|---|---|---|---|
Bil | 300 000 | 1/4 | 300 000 * 1/4 | 75 000 |
Hus | 1 000 000 | 1/12 | 1 000 000 * 1/12 | ≈ 83 000 |
Resa | 100 000 | 2/3 | 100 000 * 2/3 | ≈ 67 000 |
Från tabellen ser vi att huset ger högst förväntad avkastning. Man bör alltså välja huset trots att det är väldigt osannolikt att nålen stannar här.
En 20-sidig tärning har mellan 1 och 6 prickar på sina sidor. Den kastas ett stort antal gånger, med resultatet som visas i nedanstående frekvenstabell.
Prickar | Frekvens |
---|---|
1 | 99 |
2 | 258 |
3 | 343 |
4 | 105 |
5 | 49 |
6 | 146 |
Vi uppskattar sannolikheten för varje sida. Vi börjar med att beräkna hur många gånger tärningen kastats genom att summera frekvenserna: 99+258+343+105+49+146=1 000. Nu kan vi uppskatta sannolikheten för varje sida genom att dividera varje frekvens med antalet kast.
Prickar | Frekvens | Antal lyckade kast/Antal kast | Sannolikhet |
---|---|---|---|
1 | 99 | 99/1000 | 0,099 |
2 | 258 | 258/1000 | 0,258 |
3 | 343 | 343/1000 | 0,343 |
4 | 105 | 105/1000 | 0,105 |
5 | 49 | 49/1000 | 0,049 |
6 | 146 | 146/1000 | 0,146 |
Ingen av sannolikheterna är i närheten av 0,5 eller mer så vi kan utesluta att ett visst antal prickar finns på mer än 0,5* 20=10 av tärningens sidor. Nu beräknar vi sannolikheten att tärningen skulle visa ett visst antal prickar givet att de finns representerade på 1-9 sidor.
Gynnsamma utfall | Möjliga utfall | P | = |
---|---|---|---|
1 | 20 | 1/20 | 0,05 |
2 | 20 | 2/20 | 0,10 |
3 | 20 | 3/20 | 0,15 |
4 | 20 | 4/20 | 0,20 |
5 | 20 | 5/20 | 0,25 |
6 | 20 | 6/20 | 0,30 |
7 | 20 | 7/20 | 0,35 |
8 | 20 | 8/20 | 0,40 |
9 | 20 | 9/20 | 0,45 |
Jämför vi de experimentella sannolikheterna med beräkningarna i tabellen kan vi konstatera att