Sannolikhet

Vi kallar händelsen att slå ett jämnt tal för A. Om vi ska beräkna oddset för att slå ett jämnt tal behöver vi veta P(A). När man kastar tärning finns det sex utfall och tre av dessa är gynnsamma (2, 4 och 6). Vi sätter in detta i sannolikhetsformeln.

Sannolikheten att slå jämnt är 0,5 vilket innebär att sannolikheten att slå udda också är 0,5. Vi sätter in dessa sannolikheter i formeln för att bestämma odds.

Oddset för att slå jämnt är alltså 1.

Vi kallar händelsen att Maria vinner baktävlingen för A. Händelsen att Maria inte vinner blir då 1-P(A). Vi sätter in händelserna i formeln för att beräkna oddset, likställer med 2,5 och löser ut P(A).

Sannolikheten att Maria vinner är cirka 0,71 eller 71 %.

Om sannolikheten att Maria vinner är 71 % måste sannolikheten att Henrik vinner vara 29 %. Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna odds och förenklar.

Oddset för att Henrik vinner är cirka 0,41.

Om laget förlorar 60 % av alla matcher måste de spela oavgjort eller vinna 40 %. Av matcherna som inte förloras spelar de oavgjort 70 % och måste därmed vinna resten, dvs. 30 %. Vi kan beräkna 30 % av 40 % genom att multiplicera 0,4 med 0,3: 0,4* 0,3=0,12=12 %. Av det antal matcher som kommer spelas, som vi kan kalla a, kommer laget alltså vinna ca 12 % av dem. Multiplicerar vi a med 0,12 ska vi alltså få 100 vilket ger oss en ekvation för a.

Laget måste sannolikt spela ca 833 matcher för att komma upp i 100 vinster.

Det finns totalt 5+42+3=50 godisar i skålen. Av dessa är 42 stycken sura nappar. Sannolikheten för att godisen är en sur napp är antal gynnsamma utfall (42 st.) dividerat med antalet möjliga utfall dvs. 50 stycken.

Sannolikheten att hon drar en sur napp är 84 %.

Komplementhändelsen är det som händer om hon inte drar en sur napp, eller annorlunda formulerat, att hon drar ett geléhallon eller en colaflaska. Summan av en händelse och dess komplementhändelse är alltid 1: P(A)+P(A^c)=1 I vårt fall är P(A) händelsen att hon får en napp, dvs. 0,84 som vi redan räknat ut. Vi sätter in detta i formeln och löser ut kompementhändelsen.

Det är 16 % sannolikhet att hon inte får en sur napp.

I det här fallet är det egentligen lika enkelt att beräkna komplementhändelsens sannolikhet genom att dividera antalet gynnsamma med antalet möjliga utfall. Antal gynnsamma utfall för komplementhändelsen A^c (inte sur napp) är 5+3=8 och antal möjliga är fortfarande 50.

Det är 8 % chans att dra en vinstlott vilket kan skrivas P(vinst)= 8/100. Förkortar vi bråket till sin enklaste form kan vi bestämma det minsta antalet lotter och vinstlotter som lotteriet kan innehålla genom att läsa av talen i bråkets nämnare och täljare. Detta eftersom antalet lotter måste vara heltal.

Bråket kan nu inte förkortas mer och då kan det minsta antalet lotter läsas av i nämnaren: 25. I täljaren ser vi att 2 av dessa lotter ska ge vinst om vinstchansen är 8 %. Detta innebär att lotteriet måste innehålla minst 25-2=23 nitlotter.

För att beräkna den förväntade avkastningen behöver vi veta hur sannolikt det är att nålen hamnat på de olika fälten. Vi ser att det gröna fältet täcker en fjärdedel av hjulet så sannolikheten är 14 att nålen stannar här. Det röda fältet spänner upp en cirkelsektor med vinkeln 30^(∘) och eftersom hela hjulet är 360^(∘) blir sannolikheten P(hus)=30^(∘)/360^(∘)=1/12 att nålen stannar på det röda fältet. Det röda och gröna fältet utgör tillsammans 14+ 112 av hela cirkeln. Vi beräknar hur stor del det blå fältet utgör genom att subtrahera detta från 1.

Sannolikheten är 23 att nålen stannar på det blå fältet. Den förväntade avkastningen kan nu beräknas genom att multiplicera värdet av vinsterna med sannolikheterna.

Från tabellen ser vi att huset ger högst förväntad avkastning. Man bör alltså välja huset trots att det är väldigt osannolikt att nålen stannar här.

Vi uppskattar sannolikheten för varje sida. Vi börjar med att beräkna hur många gånger tärningen kastats genom att summera frekvenserna: 99+258+343+105+49+146=1 000. Nu kan vi uppskatta sannolikheten för varje sida genom att dividera varje frekvens med antalet kast.

Ingen av sannolikheterna är i närheten av 0,5 eller mer så vi kan utesluta att ett visst antal prickar finns på mer än 0,5* 20=10 av tärningens sidor. Nu beräknar vi sannolikheten att tärningen skulle visa ett visst antal prickar givet att de finns representerade på 1-9 sidor.

Jämför vi de experimentella sannolikheterna med beräkningarna i tabellen kan vi konstatera att

• 1 prick finns på två sidor då 0,099 ≈ 0,10.
• 2 prickar finns på fem sidor då 0,258 ≈ 0,25.
• 3 prickar finns på sju sidor då 0,343 ≈ 0,35.
• 4 prickar finns på två sidor då 0,105 ≈ 0,10.
• 5 prickar finns på en sida då 0,049 ≈ 0,05.
• 6 prickar finns på tre sidor då 0,146 ≈ 0,15.