Sannolikhet

Det finns 3 klädda kort av varje färg och 2 av färgerna är svarta. Alltså måste kortleken innehålla 2* 3=6 svarta, klädda kort. Det dragna kortet är ett av dessa 6. Det totala antalet utfall är därför 6 och 1 av dessa är gynnsamt. Vi sätter in detta sannolikhetsformeln.

Sannolikheten är cirka 17 % att kortet är spader knekt.

Vi börjar med att beräkna hur stor andel av kulorna som inte är vita. 18 är svarta och 16 är gula så vi adderar dem.

724 av kulorna är gula eller svarta. Eftersom det totalt finns 24 kulor är detta 7 stycken. Det betyder att antalet vita kulor är 24-7=17.

Vi beräknar sannolikheten för att plocka upp en vit kula genom att dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet utfall.

Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.

I påsen finns det vita, svarta och gula kulor. Det betyder att sannolikheten för att plocka upp någon av de färgerna är 1. P(vit)+P(svart)+P(gul)=1 18 av kulorna är svarta så sannolikheten att plocka upp en sådan är 18. På samma sätt är sannolikheten att en slumpvis vald kula är gul 16.

Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.

Vi börjar med att bestämma antalet elever på skolan och hur många av dem som röker.

Det är alltså 189 elever som röker av totalt 893 stycken. Hur sannolikt är det då att en elev röker? Vi kan uppskatta det genom att tänka på antalet rökare som gynnsamma utfall och totala antalet elever som möjliga utfall. Eftersom det är en uppskattning kan vi inte använda likhetstecken när vi anger sannolikheten utan använder ungefär-lika-med-tecken.

Sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan är rökare är alltså ungefär 21 %.

Solman har uppskattat en sannolikhet utifrån tidigare erfarenheter. Antal försök, alltså antal dagar under juni till augusti, är 30+31+31=92. Antal lyckade försök var 69 st. Sannolikheten för sol kan då uppskattas.

Den uppskattade sannolikheten för sol är alltså 75 %. Av junis 30 dagar kan han då uppskatta antal soldagar.

Om man utgår ifrån att vädret kommer att vara ungefär likadant i år kommer alltså cirka 23 dagar att vara soliga.

Vi skall beräkna vilket medelvärde vi får när vi gör ett stort antal försök. För att beräkna medelvärde använder vi följande formel. Medelvärde=Summa av värden/Antal värden Om vi delar in den del av hjulet som ger utfallet 3 på mitten kommer hjulet få fyra lika stora delar. En del ger utfallet 1, en ger utfallet 2 och två ger utfallet 3. På fyra försök kommer vi i medeltal få en 1:a, en 2:a och två 3:or. Vi räknar ut medel för fyra försök som ger just dessa utfall.

Medelvärdet är alltså 94.

Vi vet att det finns 8 kvinnor och 10 män i en klass. Vi vill hitta den teoretiska sannolikheten att en slumpmässigt vald elev är kvinna. Vi kan börja med att komma ihåg formeln för den teoretiska sannolikheten. P(Händelse)=Gynnsamma Utfall/Möjliga Utfall Observera att antalet gynnsamma utfall är antalet kvinnor i klassen, 8. Vi kan också se att antalet möjliga utfall är summan av antalet kvinnor, 8, och antalet män, 10. Låt oss sätta in dessa värden i formeln!

Den teoretiska sannolikheten att en slumpmässigt vald elev är kvinna är lika med 49 eller ungefär 44 %.

Vi vet att det finns 8 kvinnor och 10 män i en klass. Vi vet också att en vecka senare finns det 27 elever i klassen. Låt oss skriva ekvationen för antalet elever i klassen där f representerar nya kvinnliga elever och m representerar nya manliga elever.

Vi kan se att 9 nya elever gick med i klassen. Därefter kan vi använda formeln för den teoretiska sannolikheten för att bestämma antalet kvinnor som gick med i klassen. P(Kvinna)=Gynnsamma Utfall/Möjliga Utfall Vi vet att den teoretiska sannolikheten att en slumpmässigt vald elev är kvinna är densamma som i del A, 49. Vi vet också att av 27 möjliga utfall är (8+f) gynnsamma.

Det finns 4 kvinnliga elever som gick med i klassen. Slutligen kan vi beräkna antalet män som gick med i klassen!

Det finns 5 män som gick med i klassen.

Vi vill beräkna den experimentella sannolikheten för att få två krona. Låt oss börja med att komma ihåg formeln för den experimentella sannolikheten! P(Händelse)=Antal gånger händelsen inträffar/Antal försök Nu kan vi beakta resultaten av att singla slant med två mynt.

Vi kan se att vår händelse inträffar 1 gång. Vi vet att vi singlar slant med två mynt 12 gånger vardera. Nu kan vi sätta in dessa värden i formeln.

Slutligen kan vi göra en förutsägelse om antalet gånger vi förväntar oss att få två krona i 600 försök. Vi kan göra det genom att multiplicera sannolikheten för att få två krona, 112, med antalet försök, 600.

Vi kan förvänta oss att få två krona ungefär 50 gånger.

Vi vill beräkna den experimentella sannolikheten för att få två krona. Låt oss börja med att komma ihåg formeln för den experimentella sannolikheten! P(Händelse)=Antal gånger händelsen inträffar/Antal försök Nu kan vi beakta resultaten av att singla slant med två mynt.

Vi kan se att vår händelse inträffar 22 gånger. Vi vet också att vi singlar slant med två mynt 100 gånger vardera. Nu kan vi sätta in dessa värden i formeln.

Slutligen kan vi göra en förutsägelse om antalet gånger vi förväntar oss att få två krona i 600 försök. Vi kan göra det genom att multiplicera sannolikheten för att få två krona, 1150, med antalet försök, 600.

Vi kan förvänta oss att få två krona ungefär 132 gånger.

Vi vill förklara varför det är viktigt att använda ett stort antal försök när man använder den experimentella sannolikheten. Vi kan börja med att titta på resultaten från del A och del B.

Observera att i båda fallen är den teoretiska sannolikheten densamma. Vi har 1 gynnsamt utfall, TT, och 4 möjliga utfall. Detta innebär att den teoretiska sannolikheten för att få två krona är 14.

Observera att den experimentella sannolikheten för 100 försök är jämförbar med den teoretiska sannolikheten för vår händelse. I det här fallet kan vi se att den experimentella sannolikheten närmar sig den teoretiska sannolikheten när antalet försök ökar.

Vi rullar ett par nummerkuber 60 gånger. Vi vill jämföra de teoretiska sannolikheterna och de experimentella sannolikheterna för att rulla varje summa. Vi kan göra det i tre steg.

1. Beräkna den teoretiska sannolikheten för varje rullning av varje summa.
2. Beräkna den experimentella sannolikheten för varje rullning av varje summa.
3. Jämför de teoretiska och experimentella sannolikheterna för att rulla varje summa.

Vi kan göra vart och ett av dessa steg ett i taget.

Teoretiska sannolikheter

Vi kan börja med att komma ihåg formeln för den teoretiska sannolikheten. P(Händelse)= Antal möjliga utfall/Antal gynnsamma utfall Nu kan vi betrakta de möjliga utfallen av att rulla en nummerkube. Låt oss titta på den givna tabellen!

Observera att det finns 36 möjliga utfall av att rulla en nummerkube. Nu kan vi beräkna varje möjlig summa som rullas genom att addera numret på den röda kuben till numret på den blå kuben.

Observera att de rullade summorna varierar från 2 till 12. Slutligen kan vi lista antalet gynnsamma utfall för varje summa.

Slutligen kan vi beräkna den teoretiska sannolikheten för varje summa. Vi kan göra det genom att beräkna kvoten av antalet gynnsamma utfall och antalet möjliga utfall, 36.

Experimentella sannolikheter

Vi kan börja med att komma ihåg formeln för den experimentella sannolikheten. P(Händelse)= Antal gånger händelsen inträffar/Antal försök Nu kan vi betrakta antalet gånger vi rullar varje summa. Låt oss titta på det givna stapeldiagrammet!

Observera att vi rullade summor som är heltal från 2 till 12. Nu kan vi lista antalet gånger varje summa inträffar.

Slutligen kan vi beräkna den experimentella sannolikheten för varje summa. Vi kan göra det genom att beräkna kvoten av antalet gånger varje summa inträffar och antalet försök, 60.

Jämförelse

Slutligen kan vi jämföra de teoretiska och experimentella sannolikheterna för att rulla varje summa. Låt oss göra det!

Vi vill bestämma vilken summa vi kan förvänta oss vara mest sannolik efter 500 försök och 1000 försök. Vi kan börja med att titta på tabellen från del A som jämför den teoretiska och experimentella sannolikheten för varje summa.

Observera att summan av 7 har den största experimentella sannolikheten lika med 1360 eller ungefär 0,216. I det här fallet är den mest sannolika summan efter 500 försök och 1 000 försök lika med 7.

Vi vill förutsäga den experimentella sannolikheten för att rulla varje summa efter 10 000 försök. Vi kan börja med att titta på tabellen från del A.

Vi kan komma ihåg att när vi upprepar ett experiment många gånger kommer resultatet att tendera mot den teoretiska sannolikheten för händelsen. Låt oss betrakta ett exempel på ett kast med ett rättvist mynt och händelsen att klave är resultatet. Nu kan vi simulera resultaten och beräkna den experimentella sannolikheten för olika antal försök.

Observera att den experimentella sannolikheten för klave som ett utfall ligger nära den teoretiska sannolikheten, som är 0,5. Det betyder att när vi rullar summan 10 000 gånger kan vi förvänta oss att den experimentella sannolikheten kommer att tendera mot den teoretiska sannolikheten för händelsen.