Logga in
| 13 sidor teori |
| 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Minispelare aktiv
Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.
P=Antal mo¨jliga utfallAntal gynnsamma utfall
Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.
Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.
Antalet gynnsamma utfall är 2 och det totala antalet 7. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.
Sätt in uttryck
Slå in på räknare
Avrunda till 2 decimal(er)
Sannolikheten att man är född en helg är ungefär 29%.
Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.
P≈Antal fo¨rso¨kAntal lyckade fo¨rso¨k
En väderprognos säger att sannolikheten för regn är 25 %. Tolka detta uttryck.
I tidigare situationer med liknande förutsättningar har det blivit regn 25 % av dagarna. Det innebär inte att det garanterat kommer att regna en fjärdedel av dagarna, men man kan uppskatta sannolikheten för regn som 25 %.
Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:
P(A eller B)=P(A)+P(B)
Om en händelse, kallad A, är att slå 4:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 4:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet c uppe till höger: Ac. För A är komplementhändelsen Ac att tärningen visar 1, 2, 3, 5 eller 6.
Antingen inträffar händelsen A eller dess komplementhändelse, Ac. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.
P(A)+P(Ac)=1
Eloise köper 5 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac, om A är händelsen att alla lotter är nitlotter?
Det finns 3 klädda kort av varje färg och 2 av färgerna är svarta. Alltså måste kortleken innehålla 2* 3=6 svarta, klädda kort. Det dragna kortet är ett av dessa 6. Det totala antalet utfall är därför 6 och 1 av dessa är gynnsamt. Vi sätter in detta sannolikhetsformeln.
Sannolikheten är cirka 17 % att kortet är spader knekt.
Kastar du ett häftstift hamnar det ungefär 75 % av gångerna med spetsen upp.
Antingen hamnar häftstiftet med spetsen ner eller upp. Det betyder att summan av dessa sannolikheter måste vara 1 vilket ger oss ekvationen P(ner)+P(upp)=1. Nu kan vi bestämma sannolikheten för att det landar med spetsen nedåt. Vi skriver om 75 % som 0.75.
Antalet gånger stiftet hamnar ner är 920 och enligt tidigare beräkningar förväntar vi oss att sannolikheten för detta ska vara 0.25. Vi kallar det totala antal kast för x vilket ger oss en ekvation.
Stiftet har uppskattningsvis kastats 3680 gånger vilket innebär att det hamnade med spetsen upp 3680-920=2760 gånger.
Vi börjar med att beräkna hur stor andel av kulorna som inte är vita. 18 är svarta och 16 är gula så vi adderar dem.
724 av kulorna är gula eller svarta. Eftersom det totalt finns 24 kulor är detta 7 stycken. Det betyder att antalet vita kulor är 24-7=17. Vi beräknar sannolikheten för att plocka upp en vit kula genom att dividera antalet gynnsamma utfall med det totala antalet utfall.
Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.
I påsen finns det vita, svarta och gula kulor. Det betyder att sannolikheten för att plocka upp någon av de färgerna är 1.
P(vit)+P(svart)+P(gul)=1
18 av kulorna är svarta så sannolikheten att plocka upp en sådan är 18. På samma sätt är sannolikheten att en slumpvis vald kula är gul 16.
Sannolikheten att plocka upp en vit kula är cirka 71 %.
När vi slår ihop kortlekarna ökar antalet ess men det gör ju även antalet kort. Efter sammanslagningen finns det 4* 3&=12 ess utav 52* 3&=156 kort. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln.
Sannolikheten att dra ett ess är oförändrad. Därmed har Henrik fel.
Tabellen nedan visar hur många av eleverna som röker och inte röker på en skola.
Kön | Röker | Röker inte |
---|---|---|
Pojkar | 79 | 341 |
Flickor | 110 | 363 |
Vi börjar med att bestämma antalet elever på skolan och hur många av dem som röker.
Kön | Röker | Röker inte | Summa |
---|---|---|---|
Pojkar | 79 | 341 | 420 |
Flickor | 110 | 363 | 473 |
Summa | 189 | 704 | 893 |
Det är alltså 189 elever som röker av totalt 893 stycken. Hur sannolikt är det då att en elev röker? Vi kan uppskatta det genom att tänka på antalet rökare som "gynnsamma utfall" och totala antalet elever som "möjliga utfall". Eftersom det är en uppskattning kan vi inte använda likhetstecken när vi anger sannolikheten utan använder "ungefär-lika-med-tecken".
Sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan är rökare är alltså ungefär 21 %.
Meterologen John Solman har sett i SMHI:s statistik för Karlstad att i juni-augusti förra året var 69 soliga. I nästa TV-sändning säger han: "I år kommer sannolikt 23 dagar i juni att vara soliga." Hur kan Solman ha resonerat?
Solman har uppskattat en sannolikhet utifrån tidigare erfarenheter. Antal försök, alltså antal dagar under juni till augusti, är 30+31+31=92. Antal lyckade försök var 69 st. Sannolikheten för sol kan då uppskattas.
Den uppskattade sannolikheten för sol är alltså 75 %. Av junis 30 dagar kan han då uppskatta antal soldagar.
Om man utgår ifrån att vädret kommer att vara ungefär likadant i år kommer alltså cirka 23 dagar att vara soliga.
Pyramiden nedan består av ett antal kulor.
Det finns totalt 10 kulor i högen och av dessa är 4 blå. Vi sätter in dessa värden i sannolikhetsformeln och förenklar.
Sannolikheten att ta en blå kula är 40 %.
Om sannolikheten att ta en blå kula ska vara 60 % måste de gröna kulorna utgöra 40 % av det totala antalet. De gröna kulornas antal (6) förändras inte. Vi sätter in andelen för de blå kulorna och deras antal i formeln för sannolikhet för att beräkna det totala antalet kulor.
Vi har alltså totalt 15 kulor. Om 6 av dessa är gröna måste 15-6=9 av dem vara blå. Vi måste alltså lägga till 5 blå kulor till högen.
Från början har vi 10 kulor, 6 gröna och 4 blå. Antalet blå kulor vi lägger till kallar vi x. Det totala antalet kulor blir nu 10+x och antalet blå blir 4+x. Sannolikheten för att plocka en blå kula blir därför P(blå)=4+x/10+x. Detta ska vara lika med 60 % dvs. 0.6. Det ger oss en ekvation som vi kan lösa ut x ur.
Eftersom x var antalet blå kulor behöver man lägga till 5 stycken.