Sannolikhet

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

Begrepp

Sannolikhet

En sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något inträffar. Det är ett värde mellan 0 och 1 och kan anges i decimal-, procent- eller bråkform. I en kortlek finns fyra färger (spader, hjärter, ruter och klöver) och sannolikheten att t.ex. slumpmässigt dra ett spader är därför en fjärdedel. Det brukar skrivas $P (spader) = \frac{1}{4} .$ $P$ kommer från engelskans Probability och det som står innanför parentesen är den händelse man undersöker. En händelse med sannolikheten $0$ inträffar aldrig, medan sannolikheten $1$ innebär att den inträffar vid varje försök.

Begrepp

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som har ett utfall som inte går att förutsäga, även om försöket gjorts tidigare. Två exempel på slumpförsök är en lott som dras eller en tärning som kastas.

Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Ett tärningskast kan t.ex. få utfallet 3. Detta ska inte förväxlas med de eventuella "mål" man kan ha med att slå tärningen, som "slå udda" eller "slå max 3". Sådana mål kallas händelser.

En händelse är en kombination av ett eller flera utfall. Exempelvis är att "slå minst 4 med en tärning" en händelse.

Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum.

Regel

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

$P = \frac{Antal gynnsamma utfall}{Antal m o ¨ jliga utfall}$

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Om händelsen exempelvis är att "slå ett udda tal med en tärning" är de gynnsamma utfallen $3$ stycken: etta, trea och femma. Antalet möjliga utfall är $6,$ eftersom det finns $6$ sidor på tärningen. Sannolikheten blir $P (udda) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0.5,$

alltså

50 % .

Hur sannolik är händelsen?

fullscreen

Uppgift

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Visa Lösning

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Antalet gynnsamma utfall är $2$ och det totala antalet $7 .$ Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.

P = \frac{Antal gynnsamma utfall}{Antal m o ¨ jliga utfall}

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

P (helg) = \frac{2}{7}

UseCalcSlå in på räknare

P (helg) = 0.285714 \dots

RoundDecAvrunda till

2

P (helg) = 0.29

Sannolikheten att man är född en helg är ungefär $29 % .$

Begrepp

Experimentell sannolikhet

Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.

$P \approx \frac{Antal lyckade f o ¨ rs o ¨ k}{Antal f o ¨ rs o ¨ k}$

Svaret blir inte tillförlitligt om man gör få försök. Sannolikheten är t.ex. inte 0 att få krona vid en slantsingling bara för att man kastar en gång och får klave. Ju fler försök man gör, desto bättre blir uppskattningen.

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?

fullscreen

Uppgift

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är 25 %. Tolka detta uttryck.

Visa Lösning

Lösning

I tidigare situationer med liknande förutsättningar har det blivit regn 25 % av dagarna. Det innebär inte att det garanterat kommer att regna en fjärdedel av dagarna, men man kan uppskatta sannolikheten för regn som 25 %.

Begrepp

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
Sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är $1 .$
Om $A$ och $B$ är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

$P (A eller B) = P (A) + P (B)$

Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad $A,$ är att slå $4$ :a med en tärning är händelsen att man inte slår en $4$ :a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet $c$ uppe till höger: $A^{c} .$ För $A$ är komplementhändelsen $A^{c}$ att tärningen visar $1,$ $2,$ $3,$ $5$ eller $6 .$

Antingen inträffar händelsen $A$ eller dess komplementhändelse, $A^{c}$ . Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med $1 .$

$P (A) + P (A^{c}) = 1$

Vad är komplementhändelsen?

fullscreen

Uppgift

Eloise köper $5$ lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, $A^{c},$ om $A$ är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Visa Lösning

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper $5$ lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till $5$ vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få $0, 1, 2, 3, 4 eller 5 vinstlotter .$ Vi vet att händelse $A$ är att alla är nitlotter, dvs. att hon får $0$ vinstlotter. Komplementhändelsen, $A^{c},$ består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får $1,$ $2,$ $3,$ $4$ eller $5$ vinstlotter. Enklare uttryckt är $A^{c}$ alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.