{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Sannolikhet & statistik

Välj kurs
( Matte 1b , Matte 1c )
Sannolikhet & statistik
Sannolikhet

Sannolikhet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Sannolikhet

En sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något inträffar. Det är ett värde mellan 0 och 1 och kan anges i decimal-, procent- eller bråkform. I en kortlek finns fyra färger (spader, hjärter, ruter och klöver) och sannolikheten att t.ex. slumpmässigt dra ett spader är därför en fjärdedel. Det brukar skrivas P(spader)=14. P(\text{spader})=\dfrac{1}{4}. PP kommer från engelskans Probability och det som står innanför parentesen är den händelse man undersöker. En händelse med sannolikheten 00 inträffar aldrig, medan sannolikheten 11 innebär att den inträffar vid varje försök.

Begrepp

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som har ett utfall som inte går att förutsäga, även om försöket gjorts tidigare. Två exempel på slumpförsök är en lott som dras eller en tärning som kastas.
Memo Utfall utfallsrum handelse.svg
Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Ett tärningskast kan t.ex. få utfallet 3. Detta ska inte förväxlas med de eventuella "mål" man kan ha med att slå tärningen, som "slå udda" eller "slå max 3". Sådana mål kallas händelser.
En händelse är en kombination av ett eller flera utfall. Exempelvis är att "slå minst 4 med en tärning" en händelse.
Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum.
Regel

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

P=Antal gynnsamma utfallAntal mjliga utfallo¨P=\dfrac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Om händelsen exempelvis är att "slå ett udda tal med en tärning" är de gynnsamma utfallen 33 stycken: etta, trea och femma. Antalet möjliga utfall är 6,6, eftersom det finns 66 sidor på tärningen. Sannolikheten blir P(udda)=36=12=0.5, P(\text{udda})=\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2}=0.5,

alltså 50%.50 \, \%.
Uppgift

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Skill berakna sannolikhet2.svg

Antalet gynnsamma utfall är 22 och det totala antalet 7.7. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.

P=Antal gynnsamma utfallAntal mjliga utfallo¨P=\dfrac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}
Sätt in uttryck
P(helg)=27P(\text{helg}) = \dfrac{2}{7}
Slå in på räknare
P(helg)=0.285714…P(\text{helg}) = 0.285714\ldots
Avrunda till 22
P(helg)=0.29P(\text{helg}) = 0.29

Sannolikheten att man är född en helg är ungefär 29%.29\,\%.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Experimentell sannolikhet

Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.

P≈Antal lyckade frsko¨o¨Antal frsko¨o¨P \approx \dfrac{\text{Antal lyckade försök}}{\text{Antal försök}}

Svaret blir inte tillförlitligt om man gör få försök. Sannolikheten är t.ex. inte 0 att få krona vid en slantsingling bara för att man kastar en gång och får klave. Ju fler försök man gör, desto bättre blir uppskattningen.
Uppgift

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är 25 %. Tolka detta uttryck.

Lösning

I tidigare situationer med liknande förutsättningar har det blivit regn 25 % av dagarna. Det innebär inte att det garanterat kommer att regna en fjärdedel av dagarna, men man kan uppskatta sannolikheten för regn som 25 %.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 1.1.
  3. Om AA och BB är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)

Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A,A, är att slå 44:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 44:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet cc uppe till höger: Ac.A^c. För AA är komplementhändelsen AcA^c att tärningen visar 1,1, 2,2, 3,3, 55 eller 6.6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen AA eller dess komplementhändelse, AcA^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Uppgift

Eloise köper 55 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac,A^c, om AA är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 55 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 55 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få 0,1,2,3,4 eller 5 vinstlotter. 0, 1, 2, 3, 4\text{ eller }5\text{ vinstlotter.} Vi vet att händelse AA är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 00 vinstlotter. Komplementhändelsen, Ac,A^c, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1,1, 2,2, 3,3, 44 eller 55 vinstlotter. Enklare uttryckt är AcA^c alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}