{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Sannolikhet & statistik

Välj kurs
( Matte 1b , Matte 1c )
Sannolikhet & statistik
Sannolikhet

Sannolikhet

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Sannolikhet

En sannolikhet är ett mått på hur troligt det är att något inträffar. Det är ett värde mellan 0 och 1 och kan anges i decimal-, procent- eller bråkform. I en kortlek finns fyra färger (spader, hjärter, ruter och klöver) och sannolikheten att t.ex. slumpmässigt dra ett spader är därför en fjärdedel. Det brukar skrivas P(spader)=14. P(\text{spader})=\dfrac{1}{4}. PP kommer från engelskans Probability och det som står innanför parentesen är den händelse man undersöker. En händelse med sannolikheten 00 inträffar aldrig, medan sannolikheten 11 innebär att den inträffar vid varje försök.

Begrepp

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som har ett utfall som inte går att förutsäga, även om försöket gjorts tidigare. Två exempel på slumpförsök är en lott som dras eller en tärning som kastas.
Memo Utfall utfallsrum handelse.svg
Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Ett tärningskast kan t.ex. få utfallet 3. Detta ska inte förväxlas med de eventuella "mål" man kan ha med att slå tärningen, som "slå udda" eller "slå max 3". Sådana mål kallas händelser.
En händelse är en kombination av ett eller flera utfall. Exempelvis är att "slå minst 4 med en tärning" en händelse.
Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum.
Regel

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

P=Antal gynnsamma utfallAntal mjliga utfallo¨P=\dfrac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Om händelsen exempelvis är att "slå ett udda tal med en tärning" är de gynnsamma utfallen 33 stycken: etta, trea och femma. Antalet möjliga utfall är 6,6, eftersom det finns 66 sidor på tärningen. Sannolikheten blir P(udda)=36=12=0.5, P(\text{udda})=\dfrac{3}{6}= \dfrac{1}{2}=0.5,

alltså 50%.50 \, \%.
Uppgift

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Skill berakna sannolikhet2.svg

Antalet gynnsamma utfall är 22 och det totala antalet 7.7. Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.

P=Antal gynnsamma utfallAntal mjliga utfallo¨P=\dfrac{\text{Antal gynnsamma utfall}}{\text{Antal möjliga utfall}}
Sätt in uttryck
P(helg)=27P(\text{helg}) = \dfrac{2}{7}
Slå in på räknare
P(helg)=0.285714…P(\text{helg}) = 0.285714\ldots
Avrunda till 22
P(helg)=0.29P(\text{helg}) = 0.29

Sannolikheten att man är född en helg är ungefär 29%.29\,\%.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Experimentell sannolikhet

Om man inte vet hur sannolikt något är kan man uppskatta det genom att undersöka hur ofta något inträffar. Därefter kan man bilda sig en uppfattning om hur sannolik händelsen är.

P≈Antal lyckade frsko¨o¨Antal frsko¨o¨P \approx \dfrac{\text{Antal lyckade försök}}{\text{Antal försök}}

Svaret blir inte tillförlitligt om man gör få försök. Sannolikheten är t.ex. inte 0 att få krona vid en slantsingling bara för att man kastar en gång och får klave. Ju fler försök man gör, desto bättre blir uppskattningen.
Uppgift

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är 25 %. Tolka detta uttryck.

Lösning

I tidigare situationer med liknande förutsättningar har det blivit regn 25 % av dagarna. Det innebär inte att det garanterat kommer att regna en fjärdedel av dagarna, men man kan uppskatta sannolikheten för regn som 25 %.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för att ett utfall ligger i utfallsrummet är 1.1.
  3. Om AA och BB är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

P(A eller B)=P(A)+P(B)P(A\text{ eller }B)=P(A)+P(B)

Regel

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad A,A, är att slå 44:a med en tärning är händelsen att man inte slår en 44:a den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet cc uppe till höger: Ac.A^c. För AA är komplementhändelsen AcA^c att tärningen visar 1,1, 2,2, 3,3, 55 eller 6.6.

Komplementhandelse rules 1.svg

Antingen inträffar händelsen AA eller dess komplementhändelse, AcA^c. Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med 1.1.

P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1

Uppgift

Eloise köper 55 lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, Ac,A^c, om AA är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper 55 lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till 55 vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få 0,1,2,3,4 eller 5 vinstlotter. 0, 1, 2, 3, 4\text{ eller }5\text{ vinstlotter.} Vi vet att händelse AA är att alla är nitlotter, dvs. att hon får 00 vinstlotter. Komplementhändelsen, Ac,A^c, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får 1,1, 2,2, 3,3, 44 eller 55 vinstlotter. Enklare uttryckt är AcA^c alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har fått sannoliketerna: 0,0.02, 0.997,0, \, 0.02, \ 0.997, och 11. Para ihop dem med lämplig händelse i tabellen.

Händelse Påstående
I Ett svenskt barn överlever till minst fem år.
II En myra kan flyga ett jetplan.
III Få spader ess när ett kort dras ur en kortlek.
IV En slantsingling ger krona eller klave.
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En vanlig tärning kastas och visar en 11:a. Hur stor är sannolikheten att få ytterligare en 11:a om den kastas en gång till? Avrunda till hela procent.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Yasmins favoritgodis är sura nappar. I en godisskål ligger 5 st geléhallon, 42 sura nappar och 33 colaflaskor. Hon tar slumpmässigt en godis ur skålen.


a

Vad är sannolikheten att hon får en sur napp?

b

Skriv komplementhändelsen till att dra en sur napp.

c

Beräkna sannolikheten för komplementhändelsen.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En sommardag står det i tidningen att sannolikheten för temperaturen 25∘^\circC eller mer är 38 %.


a

Ange komplementhändelsen till att det blir 25 ∘^\circC eller varmare.

b

Vad är sannolikheten för komplementhändelsen?

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Med en specialtillverkad tärning är sannolikheten för de olika utfallen inte samma. Bland annat är sannolikheten för att få en trea 30 %. Vad är sannolikheten för att få nåt annat än en trea? Svara i decimalform.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du kastar en vanlig sexsidig tärning. Beräkna sannolikheten för att följande händelser inträffar.


a

Du slår minst 2.2.

b

Du slår ett tal delbart med 2.2.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I skålen nedan ligger det lila, svarta och gula kulor.

Exercise 194 1.svg

Beräkna sannolikheten för följande händelser:


a

Du tar upp en svart kula.

b

Du tar upp en svart eller gul kula.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange komplementet till följande händelser.

Händelse Påstående
A Ett tärningskast ger 4, 5 eller 6
B Ett tärningskast ger minst 2
C I poker får du högst ett ess vid en giv
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sannolikheten att ett trafikljus visar rött eller gult ljus är 0.550.55 respektive 0.08.0.08. Vad är sannolikheten att trafikljuset visar grönt? Svara i procent.

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sannolikheten att vinna mer än tusen kr i lotteriet "VINSTCHANSEN" är 0.002.


a

Skriv komplementhändelsen till detta.

b

Vad är sannolikheten för komplementhändelsen?

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Innan du snurrar på hjulet nedan har du valt bokstäverna A, D och P. Vad är sannolikheten att hjulet inte stannar på en av dessa bokstäver? Avrunda svaret till hela procent.

Exercise199 1.svg
1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett lotteri finns tre typer av lotter: NIT, VINST 10 KR och VINST 20 KR. Vi låter händelsen AA vara att man vinner 10 kr. Vad är komplementhändelsen?

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tabellen visar provresultat för eleverna på en skola.

Betyg A B C D E F
Antal 53 98 135 210 369 82

Hur sannolikt är det att en slumpmässigt vald elev på skolan hade A eller B i betyg?

1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tabellen visar körkortsinnehavet bland eleverna i år 33 på en gymnasieskola.

Körkort Killar Tjejer
Inget 120 80
B 290 334
AB 41 5


a

Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald kille har ett AB-körkort?

b

Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald tjej har ett AB-körkort?

c

Någon påstår att sannolikheten för att en slumpmässigt vald elev har AB-körkort är cirka 10 %. Stämmer det? Motivera.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du drar ett kort ur en kortlek. Hur bedömer du sannolikheten att kortet är spader knekt, om du ser att det är ett svart, klätt kort (knekt, dam eller kung)?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Kastar du ett häftstift hamnar det ungefär 75 % av gångerna med spetsen upp.


a

Vad är sannolikheten att häftstiftet hamnar med spetsen ned när du kastar det?

b

Efter ett visst antal kast har häftstiftet hamnat med spetsen ner 920 gånger. Uppskatta det totala antalet kast som häftstiftet hamnar med spetsen upp.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det finns 2424 kulor i en påse. Av dessa är 18\frac 1 8 svarta, 16\frac 1 6 av dem är gula och resten är vita. Om du plockar upp en kula helt slumpmässigt, hur stor är sannolikheten att den är vit?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sannolikheten att dra ett ess i en kortlek är ca 0.08 0.08. Henrik påstår att om man slår ihop tre vanliga kortlekar ökar sannolikheten enligt 452+452+452=0.23. \dfrac{4}{52}+\dfrac{4}{52}+\dfrac{4}{52}=0.23. Stämmer Henriks påstående?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tabellen nedan visar hur många av eleverna som röker och inte röker på en skola.

Kön Röker Röker inte
Pojkar 7979 341341
Flickor 110110 363363

Uppskatta sannolikheten att en slumpmässigt vald elev på skolan röker. Avrunda till hela procent.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Meterologen John Solman har sett i SMHI:s statistik för Karlstad att i juni-augusti förra året var 6969 soliga. I nästa TV-sändning säger han: "I år kommer sannolikt 2323 dagar i juni att vara soliga." Hur kan Solman ha resonerat?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Pyramiden nedan består av ett antal kulor.

Exercise200 1.svg


a

Du tar en kula på måfå. Beräkna sannolikheten att den är blå?

b

Hur många blå kulor måste läggas till om sannolikheten att välja en blå kula ska vara 6060 %?

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du drar två kort slumpvis från en kortlek. Vad är sannolikheten att du inte drar par? Svara exakt.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oddset för en händelse A beräknas med formeln P(A intrffara¨)P(A intrffar eja¨). \dfrac{P(\text{A inträffar})}{P(\text{A inträffar ej})}.

a

Beräkna oddset för att slå ett jämnt tal när man kastar en vanlig sexsidig tärning.

b

Maria och Henrik tävlar i bakning, en så kallad "bake-off". Oddset för att Maria vinner har beräknats till 2.5.2.5. Hur sannolikhet är det att Maria vinner?

c

Vad är oddset för att Henrik vinner? Det kan inte bli oavgjort.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tina suckar och säger till sin arbetskollega Henrik att sannolikheten att hennes favoritlag förlorar en match är ca 60 %. Hon fortsätter klaga och säger att av de matcher som laget inte förlorar är sannolikheten att de spelar oavgjort 70 %. Uppskatta hur många matcher laget måste spela för att komma upp i 100 vunna matcher om de fortsätter spela på samma sätt.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I ett lotteri är vinstchansen 8%8 \, \%. Beräkna det minsta antalet nitlotter det kan finnas i lotteriet.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du får välja ett av lyckohjulets fält och om nålen hamnar på det valda fältet vinner du det som står på fältet. Låt oss anta att du enbart vill maximera din förväntade avkastning. Vilket fält bör du välja om bilen är värd 300000300 000 kr, huset är värt 11 miljon kr och resan är värd 100000100 000 kr?

Exercise209 3.svg

Den förväntade avkastningen är sannolikheten för en viss händelse multiplicerat med värdet av händelsen.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En 2020-sidig tärning har mellan 11 och 66 prickar på sina sidor. Den kastas ett stort antal gånger, med resultatet som visas i nedanstående frekvenstabell.

Prickar Frekvens
11 9999
22 258258
33 343343
44 105105
55 4949
66 146146

Beskriv hur tärningen ser ut.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}