1b
Kurs 1b Visa detaljer
1. Sannolikhet
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
Kapitel 
1. 

Sannolikhet

Sannolikhet är ett matematiskt begrepp som beskriver hur sannolikt det är att en viss händelse inträffar. Det kan appliceras på allt från tärningskast till väderprognoser. På lektionen utforskas olika aspekter av sannolikhet, inklusive grundläggande begrepp som utfall, gynnsamma utfall, och hur man räknar ut sannolikhet. Det finns också exempel på hur sannolikhet används i vardagen, som sannolikheten för regn eller att vinna i ett lotteri. Dessutom täcks mer avancerade ämnen såsom komplementhändelser.
Visa mer expand_more
Begrepp Modellering Problemlösning Procedur Resonemang och Kommunikation
Inställningar & verktyg för lektion
15 sidor teori
27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Sannolikhet
Sida av 15
Mathleaks Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
Mathleaks
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
  • Sannolikhet
  • Slumpförsök
  • Utfall utfallsrum händelse
  • Utfall
  • Händelse
  • Utfallsrum
  • Experimentel sannolikhet
  • Axiom för sannolikhet
  • Komplementhändelse

Förkunskaper

Utforska

Undersökning av tärningskast

Rulla tärningen och dokumentera resultaten i tabellen.
Tärningssimulator.
Om tärningen rullas gånger, hur många gånger kan man vänta sig att varje siffra rullas?
Teori

Sannolikhet

Sannolikhet mäter hur troligt det är att något kommer att inträffa. Sannolikheten för någonting kan uttryckas som ett värde mellan och eller och När det är säkert att situationen inte kommer att inträffa är sannolikheten På samma sätt, om en situation med säkerhet kommer inträffa, är sannolikheten

När sannolikheten är mindre än 0,5 är det osannolikt att händelsen inträffar, när sannolikheten är lika med 0,5 är det lika sannolikt att händelsen inträffar eller inte inträffar, när sannolikheten är större än 0,5 är det sannolikt att händelsen inträffar.
Teori

Slumpförsök

Ett slumpförsök är en process som används för att bestämma sannolikheten att en händelse inträffar i framtiden. När man undersöker sannolikheten för någonting är experiment med slumpförsök en åtgärd som kan upprepas oändligt många gånger. Resultaten av dessa slumpförsök är begränsade och kallas för utfall. Något så enkelt som att rulla en tärning kan betraktas som ett sådant experiment.
Applikation som låter en rulla en tärning.
När experiment upprepas flera gånger för att samla in data, kallas varje upprepning för ett försök. Till exempel, om tärningen kastas gånger, betraktas varje kast som ett försök.
Teori

Utfall

Ett utfall är ett möjligt resultat av ett slumpförsök. Att rulla en trea med en sexsidig tärning är ett exempel på ett möjligt utfall.

En tärning med 3 på ovansidan, 1 på framsidan och 2 på högersidan.
Observera att när man utför ett experiment är varje möjligt utfall unikt och varje försök kommer endast ha ett utfall.
Teori

Utfallsrum

Alla de utfall som ett slumpförsök kan ge kallas för försökets utfallsrum. När man slår en tärning kan man bara få något av talen till så utfallsrummet är
Eftersom det är en mängd tar man inte med upprepningar. Om sidan på en tärning exempelvis målas om till en till blir utfallsrummet för denna tärning Trots att det finns två på tärningen visar alltså utfallsrummet endast en
Teori

Händelse

En händelse är en kombination av ett eller flera specifika utfall. Till exempel, när man spelar kort, kan en händelse vara att dra en spader eller ett hjärta. För denna händelse är ett möjligt utfall att dra eller att dra

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Men dessa är inte de enda möjliga utfallen för denna händelse. Alla möjliga utfall som uppfyller händelsen listas nedan.

Teori

Formel för sannolikhet

Om alla utfall i ett slumpförsök är lika sannolika kan sannolikheten för en händelse bestämmas med följande formel.

Inom sannolikhet syftar gynnsamma utfall på de händelser man är intresserad av att bestämma sannolikheten för, oavsett om de upplevs som bra eller dåliga. Betrakta kastet av en vanlig sexsidig tärning. Det finns sex lika sannolika utfall i utfallsrummet. Eftersom varje utfall har samma sannolikhet, kallas detta en likformig sannolikhetsfördelning. Om händelsen exempelvis är att slå ett udda tal med en tärning är de gynnsamma utfallen stycken: etta, trea och femma.
Ett utfallsrum för att kasta en tärning: {1,2,3,4,5,6}; händelsen att få ett udda tal består av tre utfall {1,3,5}.
Antalet möjliga utfall är eftersom det finns sidor på tärningen. Sannolikheten blir
alltså
Exempel

Hur sannolik är händelsen?

Vad är sannolikheten att man är född på helgen? Svara i hela procent.

Ledtråd

Räkna de gynnsamma utfallen och det totala antalet möjliga utfall.

Lösning

Vi antar att dagen man är född på är helt slumpmässig, dvs. det är inte mer sannolikt att man är född på en dag jämfört med en annan. Det finns två dagar på helgen, lördag och söndag, och totalt sju dagar på en vecka.

Veckodagar listade från måndag till söndag, där lördag och söndag är markerade.
Antalet gynnsamma utfall är och det totala antalet Vi sätter in detta i formeln för sannolikhet.
Sannolikheten att man är född en helg är ungefär
Teori

Experimentell sannolikhet

Experimentell sannolikhet är sannolikheten att en händelse inträffar baserat på data som samlats in från upprepade försök i ett experiment. För varje försök noteras utfallet. När alla försök är utförda beräknas den experimentella sannolikheten för en händelse genom att dividera antalet gånger händelsen inträffar med antalet försök.

Genom att upprepa ett experiment många gånger kommer resultatet att närma sig den teoretiska sannolikheten för händelsen. Till exempel, betrakta ett myntkast och händelsen att utfallet blir en klave. Använd applikationen för att simulera resultaten och beräkna den experimentella sannolikheten.
Kasta ett mynt 100, 500 och 1000 gånger
Den experimentella sannolikheten att få en klave som utfall ligger nära den teoretiska sannolikheten
Exempel

Hur kan man tolka experimentell sannolikhet?

En väderprognos säger att sannolikheten för regn är Tolka detta uttryck.

Ledtråd

Tänk på det som tidigare observationer: Räkna hur många gånger det regnade under liknande dagar.

Lösning

Prognosen som påstår en chans för regn är baserad på faktiska observationer, liknande ett experiment. Detta innebär att av registrerade dagar med liknande väderförhållanden regnade det under av dessa dagar och regnade inte under de återstående dagarna.
Med andra ord indikerar en chans för regn att, i tidigare observationer av liknande väder, har regn förekommit gånger av Detta innebär inte att det kommer att regna under av dagen eller att av området kommer att påverkas. Istället speglar det helt enkelt hur ofta regn har inträffat under liknande förhållanden tidigare.
Teori

Axiom för sannolikhet

Den ryske matematikern Andrej Kolmogorov lade grunden för sannolikhetsläran med sina tre axiom:

  1. Sannolikheter är lika med noll eller är positiva.
  2. Sannolikheten för det kompletta utfallsrummet är
  3. Om och är två händelser som inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten att något av dem inträffar summan av deras enskilda sannolikheter.

Teori

Komplementhändelse

Om en händelse, kallad är att slå med en tärning är händelsen att man inte slår en den s.k. komplementhändelsen. Den brukar skrivas med ett litet uppe till höger: För är komplementhändelsen att tärningen visar eller

Antingen inträffar händelsen eller dess komplementhändelse, Utfallet kan inte vara något annat så den sammanlagda sannolikheten för dessa två händelser är lika med

Exempel

Vad är komplementhändelsen?

Eloise köper lotter i ett lotteri. Vad är komplementhändelsen, om är händelsen att alla lotter är nitlotter?

Ledtråd

Vad är motsatsen till att alla förlorar?

Lösning

För att lösa uppgiften måste vi veta vilka utfall som är möjliga när Eloise köper lotter. Har hon otur får hon ingen vinstlott alls. Men hon kan också ha tur och få upp till vinstlotter. Det innebär alltså att hon kan få
Vi vet att händelse är att alla är nitlotter, dvs. att hon får vinstlotter. Komplementhändelsen, består av alla andra möjliga utfall, dvs. att hon får eller vinstlotter. Enklare uttryckt är alltså att minst en av de fem lotterna är en vinstlott.
Avslut

Sannolikhetsgrunder

Denna lektion täckte viktiga sannolikhetskoncept som kvantifierar osäkra händelser. För att beräkna sannolikheter är det viktigt att känna till utfallsrummet, vilket inkluderar alla möjliga utfall, samt en händelse, som är en delmängd av utfallsrummet med specifika egenskaper. Komplementet till en händelse består av alla utfall som inte ingår i den händelsen.
En tärning med de jämna numren markerade.
Diagrammet visar alla möjliga utfall vid kast av en tärning, där händelse representerar att kasta ett jämnt nummer och dess komplement ett udda nummer. När tärningen kastas gånger, och siffran dyker upp gånger, så representerar kvoten dess experimentella sannolikhet — ett värde baserat på faktiska observationer snarare än teoretiska beräkningar.
När man beräknar sannolikheter måste tre grundläggande regler följas. Sannolikheter varierar från till inklusive, och den totala sannolikheten för utfallsrummet är alltid För händelser som är ömsesidigt uteslutande och inte kan inträffa samtidigt är den kombinerade sannolikheten summan av de individuella sannolikheterna.
Dessa regler utgör grunden för att analysera sannolikhetsscenarier och fatta välgrundade beslut under osäkerhet.


Sannolikhet
Övningar