Rotationskroppar

Först behöver vi skissa rotationskroppen som skapas då grafen roteras kring x-axeln. Vi ritar upp funktionen f(x)=sin(x) på intervallet 0 ≤ x ≤ 2π.

Sedan speglar vi denna i x-axeln och skissar in några linjer som ger oss en uppfattning av hur kroppen kommer se ut.

Vid färgläggning av figuren blir den ännu tydligare.

Nu ska denna kropp roteras kring y-axeln. På samma sätt som tidigare speglar vi först kroppen i y-axeln.

När just den här kroppen roteras kring y-axeln gör det ingen skillnad att den har djup — vi låter den plattas till för enkelhetens skull.

När sedan ytan och dess spegelbild binds ihop med hjälp av ellipser börjar den sökta rotationskroppen synas.

Vi ser nu ovansidan av rotationskroppen som bildas. Den ser ungefär ut som två vågor som rör sig ut från origo. Av symmetriskäl kommer även undersidan se ut på samma sätt. Vi har nu gjort en enkel skiss av rotationskroppen.

Först skissar vi rotationskropparna så att vi lättare kan jämföra dem. Vi börjar med den som bildas när område I roterar kring x-axeln, eftersom den är lättare att rita. Först markerar vi en spegling av grafen i x-axeln mellan gränserna a och b.

Vi binder nu ihop kurvorna med ellipser.

Till sist kan vi färglägga figuren för ytterligare djupkänsla.

Kroppen är alltså en typ av avsmalnande cylinder. Vi kallar den "kropp I" framöver. Vi gör nu samma sak för att skissa rotationskroppen när område II roterar kring x-axeln. Nu är det istället området mellan två kurvor som roterar, därför speglar vi först området i x-axeln.

Vi binder ihop områdena med hjälp av ellipser.

Det som bildas är återigen en avsmalnande cylinder, men den är urgröpt i mitten. Vi kallar den "kropp II".

Vi kan tänka oss att denna kropp är y = sqrt(2x) roterad kring x-axeln, med kropp I bortdragen. Vi har ingen direkt formel för att beräkna volymen av de här formerna, men vi kan ställa upp approximationer med hjälp av cylindrar. Vi kommer sedan kunna jämföra dessa approximationer för att svara på frågan. Vi börjar med kropp I.

Alla cylindrar har samma höjd, Δ x, och cylindrarnas radie ges av funktionsvärdet y = sqrt(x). De x-värden vi använder för att bestämma radierna kallar vi för x_1, x_2 osv. Vi får då radierna sqrt(x_1), sqrt(x_2) osv. Vi kan nu ställa upp summan av cylindrarnas volym, för att få ett uttryck för approximationen. \begin{aligned} V_\text{I} = \pi \cdot \left( \sqrt{x_1} \right)^2 \cdot \Delta x + \pi \cdot \left( \sqrt{x_2} \right)^2 \cdot \Delta x + \ldots + \pi \cdot \left( \sqrt{x_n} \right)^2 \cdot \Delta x \end{aligned} Alla termer i summan innehåller faktorerna π och Δ x så vi bryter ut dem. Vi vet även att talen x_1, x_2 osv. är positiva så vi kan kvadrera rötterna utan att behöva oroa oss över absolutbelopp.

Vi kan ta fram ett motsvarande uttryck för volymen av kropp II, V_\text{II}, genom att låta cylindrarnas radie vara sqrt(2x_1), sqrt(2x_2) osv. och sedan subtrahera V_\text{I}. Vi får då \begin{aligned} V_\text{II} = \pi \cdot \left( \sqrt{2x_1} \right)^2 \cdot \Delta x + \pi \cdot \left( \sqrt{2x_2} \right)^2 \cdot \Delta x + \ldots + \pi \cdot \left( \sqrt{2x_n} \right)^2 \cdot \Delta x - V_\text{I}. \end{aligned} Vi förenklar denna summa på samma sätt.

Titta nu på π * Δ x (x_1 + x_2 + ... + x_n). Det är ju V_I som vi tog fram tidigare! Vi använder det och förenklar.

Volymsapproximationen av kropp II, V_\text{II}, är alltså lika med volymsapproximationen av kropp I, V_\text{I}. Detta gäller så länge volymerna approximeras på samma sätt och oavsett hur litet Δ x man väljer. Om man låter Δ x gå mot 0 går de approximerade volymerna mot de faktiska volymerna. Vi kan använda detta för att bestämma kvoten mellan volymerna. \begin{gathered} V_\text{II} = V_\text{I} \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{V_\text{II}}{V_\text{I}} =1 \end{gathered}