Rotationskroppar

När en rotationskropp skapas genom att rotera runt en axel får kroppen rotationssymmetri runt denna axel. Om man t.ex. roterar en rektangel runt y-axeln får man en cylinder med rotationssymmetri kring axeln som går genom mitten på cylindern.

Nu när vi går igenom objekten undersöker vi alltså om de har någon axel som de har rotationsymmetri kring. Varken kuben eller pyramiden har någon del som är cirkulär, så det går inte att hitta någon rotationssymmetri där. Ringen, eller torus som den geometriska kroppen egentligen heter, är mer lovande. Man får en sådan genom att rotera en cirkel runt en axel.

Ringen är alltså en rotationskropp. Tekoppen ser också roterad ut, men handtaget förstör symmetrin. Det finns ju inte runt hela koppen, bara på ett ställe. Den är alltså inte en rotationskropp. Av de två schackpjäserna är det bara bonden som har rotationssymmetri. Det blir ett ganska komplicerat område som ska roteras, men det finns inget på pjäsen som avviker från det.

Bonden är alltså en rotationskropp. Basen på hästen har rotationssymmetri men själva huvudet är definitivt inte något som går att rotera fram. Av de sex objekten är det alltså bara ringen och bonden som är rotationskroppar.

För att skissa rotationskroppen som bildas börjar vi med att rita funktionen. Det är en rät linje där y-värdet alltid är 6.

Nästa steg blir att spegla funktionen kring rotationsaxeln, i det här fallet x-axeln. Speglingen ger funktionen y=-6, som ska ritas upp mellan gränserna x=1 och x=6.

För att bilda rotationskroppen binder vi ihop linjerna med ellipser.

Kroppen vi får är en cylinder. Vi fyller i den för att göra den tydligare.

För att räkna ut volymen av figuren använder vi alltså formeln för volymen av en cylinder: V = π r^2h. Radien r är avståndet från x-axeln till linjen y=6, dvs. r=6. Eftersom det är en liggande cylinder kommer höjden att vara avståndet mellan gränserna x=1 och x=6, alltså h=5. Vi beräknar nu volymen av figuren.

Rotationskroppen som bildas är alltså en cylinder med volymen 180π ve.

Vi skissar rotationskroppen på samma sätt som i förra deluppgiften. Först speglar vi funktionen i x-axeln och får y = 3. Vi ritar upp funktionen y=-3 och speglingen y=3 mellan gränserna x=1 och x=6.

Vi binder ihop funktionen och speglingen med ellipser.

För att tydligare se figuren kan vi färglägga den och en cylinder träder fram.

Volymen beräknas nu med formeln: V=π r^2h. Radien för den här cylindern är 3, eftersom avståndet från x-axeln till y = - 3 är just 3. Cylinderns höjd är avståndet mellan gränserna x=1 och x=6, alltså h=5.

Rotationskroppen är en cylinder med volymen 45π ve.

Vi börjar med att bestämma volymen för den kropp som bildas när y=3 roterar kring x-axeln. Vi speglar linjen i x-axeln mellan x=0 och x=10, samt ritar in ellipser för att skapa djup.

Nu ser vi att det skapas en cylinder med radien 3 cm och höjden 10 cm.

Vi beräknar volymen av cylindern.

Volymen av cylindern är alltså 90π cm^3. Det bildas även en cylinder när y=2.5 roterar kring x-axeln mellan 1 och 10.

Den har istället radien 2.5 cm och höjden 9 cm.

Nu subtraherar vi denna volym från den större cylinderns volym: 90π-56.25π=33.75π≈ 106. Det går alltså åt cirka 106 cm^3 material för att göra muggen.

När en funktion roteras kring en axel kommer funktionen synas i konturen av den kropp som bildas. Det innebär att den här rotationskroppen bildats av antingen den räta linjen på höger eller på vänster sida.

Vi bestämmer här båda dessa funktioner, men det räcker med att bestämma en för att svara på uppgiften.

Vänstra funktionen

Till att börja med undersöker vi funktionens k-värde genom att läsa av två punkter och sätta in dessa i k-formeln. Vi kan exempelvis använda punkterna (- 2, 0.5) och (- 1.5, 1.5).

Nu sätter vi in dem i k-formeln. k = Δ y/Δ x = 1/0.5 = 2 Vi sätter nu in en av punkterna, t.ex. (-2, 0.5), samt k=2 i räta linjens ekvation för att beräkna m-värdet.

Den vänstra funktionen är alltså y = 2x + 4.5. Vi avläser nu vilken bit av funktionen som används för att bilda rotationskroppen.

Rotationskroppen i uppgiften bildas alltså om man roterar y = 2x + 4.5, från x = - 1.5 till x = - 0.5, kring y-axeln.

Högra funktionen

Vi gör på samma sätt här och börjar med att läsa av två punkter, t.ex. (1.5,1.5) och (2,0.5).

Genom att sätta in dem i k-formeln får vi att k = - 1/0.5 = - 2. Vi sätter nu in (2, 0.5) och k=-2 i y=kx+m för att bestämma m.

Vi vet nu att funktionen är y = - 2x + 4.5. Till sist avläser vi vilken sektion av funktionen som används för att skapa rotationskroppen, uttryckt i x-värden.

Rotationskroppen kan alltså även ha bildats av en rotation av y = - 2x + 4.5, från x = 0.5 till x = 1.5, kring y-axeln.

Vi delar in uppgiften i två delar. Först skissar vi rotationskroppen och därefter beräknar vi dess volym.

Skiss av rotationskroppen

När man ska skissa en rotationskropp är första steget att rita upp funktionen i ett koordinatsystem. I vårt fall är det funktionen y=0.5x-3 som skär y-axeln i y=-3 och x-axeln i x=6.

Nästa steg är att spegla funktionen i rotationsaxeln, som i det här fallet är x-axeln. Det räcker att vi markerar den mellan x=-4 och x=-1 eftersom det är våra gränser.

Nu vet vi mellan vilka två linjer rotationen sker och nästa steg blir att binda ihop dessa. Rotationen kommer bilda olika stora cirklar mellan strecken. Vi ritar några ellipser för att få en bild av hur figuren ser ut.

Nu fyller vi i figuren och ser att det är en avhuggen kon som bildas.

Beräkning av volymen

Figuren är en avhuggen kon. Om vi förlänger figuren fram till då funktionen skär x-axeln, x=6, får vi en kon.

Konen kan vi beräkna volymen på. Om vi sedan tar bort volymen för toppen av konen får vi volymen av vår figur. Först beräknas volymen av konen med formeln: V= π r^2h3. Radien på basytan kan vi läsa av till r=5 eftersom det är y-värdet då x=-4. Eftersom konen ligger ner kommer höjden att vara avståndet från x=-4 till x=6 vilket är 10. Vi beräknar volymen på konen.

Nu har vi beräknat konens volym exakt och ska nu bestämma volymen av den kon vi ska ta bort. Den avhuggna konen har gränserna x=-4 och x=-1 så konen vi måste ta bort kommer gå från x=-1 till x=6.

Vi kan bestämma volymen på den konen vi ska ta bort. Från grafen läser vi av att konens basyta har radien 3.5 och höjden blir avståndet på x-axeln, alltså 7.

Nu använder vi värdena för att beräkna volymen på den röda konen.

Nu subtraherar vi volymen av den röda konen från hela konen.

Volymen av den avhuggna konen blir alltså 54.75π ve.