Rotationskroppar

Vi börjar med att skissa rotationskroppen. Först ritar vi upp grafen till funktionen f(x)=e^(0.5x) samt en spegling av funktionen i x-axeln. Det räcker att endast spegla den del av funktionen vi använder när vi skapar rotationskroppen, dvs. för intervallet 0≤ x ≤ 3.

Graferna ska nu knytas ihop med ellipser, för att skapa djupkänsla i bilden.

Kroppen som bildas ser ut som en trumpet. Vi förtydligar figuren genom att färglägga ytan.

Vi ska nu dela in kroppen i tre cylindrar och bestämma volymen av dem. För att approximationen garanterat ska vara mindre än rotationskroppens volym måste kroppen helt innesluta cylindrarna. Det uppnår vi här genom att låta cylindrarnas vänsterkant sammanfalla med funktionens graf.

För tydlighetens skull väljer vi här ett perspektiv från vänster. Nästa steg är att beräkna den sammanlagda volymen av de tre cylindrarna. Volymen av en cylinder beräknar vi med formeln V=π r^2 * h, där r är dess radie och h är höjden. Vi låter de tre cylindrarna ha samma höjd, 1 le. Radien, r, blir samma som funktionsvärdet där cylindern sammanfaller med grafen. Här blir radierna f(0), f(1) och f(2). Radien för den minsta av dem är f(0)=e^(0.5* 0)=e^0=1. Denna cylinders volym blir då V=π r^2 * h=π * 1^2 * 1=π. De övriga cylindrarnas volym beräknas på samma sätt.

Vi adderar nu de tre cylindrarnas volym. Den volym vi får då, V_\text{mindre}, är en underskattning av rotationskroppens volym. Summan är \begin{aligned} V_\text{mindre}=\pi+\pi\cdot e^{1}+\pi\cdot e^{2}=\pi \left( 1+e+e^{2} \right). \end{aligned}

Den här deluppgiften löser vi på liknande sätt som den föregående. Istället för att låta cylindrarnas vänsterkant sammanfalla med grafen låter vi cylindrarnas högerkant göra det. Vi får då en approximation som helt innesluter rotationskroppen.

Cylindrarnas höjder sätter vi även denna gång till 1 och deras radier blir f(1), f(2) och f(3). Vi beräknar den minsta av dessa cylindrars radie. f(1)=e^(0.5* 1)=e^(0.5) Denna cylinders volym är alltså V=π r^2 * h=π * ( e^(0.5) )^2 * 1=π * e. De övriga cylindrarnas volym beräknas på samma sätt.

Vi adderar nu de tre cylindrarnas volym. Den volym vi får då, V_\text{större}, är en överskattning av rotationskroppens volym. Vi får summan \begin{aligned} V_\text{större}=\pi\cdot e+\pi\cdot e^{2}+\pi\cdot e^{3}=\pi \cdot \left( e+e^2+e^3 \right). \end{aligned}

Vi vet att rotationskroppens faktiska volym, V, är större än V_\text{mindre} och mindre än V_\text{större}. Det sökta intervallet kan alltså skrivas som V_\text{mindre}

För att skissa kroppen börjar vi med att rita grafen till f(x)=2x-1.

Nu speglar vi grafen i x-axeln mellan x=-5 och x=10.

Vi sammanbinder kurvorna med ellipser för att få ett djup i bilden.

Till sist färglägger vi för att känslan av djup ska bli ännu starkare.

Rotationskroppen består alltså av två koner, en liten och en stor. Vi kan använda formeln för volymen av en kon för att bestämma volymen av respektive kropp: V_(kon)=π r^2h/3.

Volym av stor kon

För att bestämma volymen måste vi känna till radien, r, av bottenytan samt höjden, h, av konen. Radien ges av avståndet mellan punkterna (10,0) och (10,f(10)). Höjden ges av avståndet mellan (10,0) och konens högsta punkt, vilken motsvarar nollstället till f(x).

Vi bestämmer f(10) genom att sätta in x=10 i f(x).

Radien är alltså 19-0=19le. För att bestämma höjden börjar vi med att bestämma nollstället till f(x) genom att sätta f(x) lika med 0.

Höjden är alltså 10-0.5=9.5 le. Nu sätter vi in radien och höjden i volymformeln för att beräkna den stora konens volym.

Den stora konen har alltså volymen 6859π6 ve.

Volym av liten kon

Radien för den lilla konen ges av avståndet mellan punkterna (-5,0) och (-5,f(-5)), och höjden ges av avståndet mellan (-5,0) och (0.5,0).

Höjden av konen är alltså 0.5-(-5)=5.5le. För att bestämma radien måste vi bestämma f(-5), och det gör vi genom att sätta in x=-5 i f(x).

Radien är alltså 0-(-11)=11le. Nu sätter vi in dessa värden på höjden och radien i volymformeln.

Den lilla konen har alltså volymen 1331π6 ve.

Volym av hel rotationskropp

För att bestämma volymen av hela rotationskroppen summerar vi volymerna för de två konerna.

Rotationskroppens totala volym är alltså 1365π ve.

Nu ska vi istället rotera grafen från x=-5 till x=10 runt y-axeln. Vi börjar med skissa rotationskroppen som bildas genom att spegla denna del av grafen i y-axeln och rita in ellipser för att få ett djup i bilden.

Nu färglägger vi för att det ska bli ännu tydligare hur rotationskroppen ser ut.

Kroppen består precis som i föregående deluppgift av en större och en mindre kon, och vi bestämmer volymen av dem separat.

Volym av stor kon

Vi börjar med att bestämma bottenytans radie, r, samt konens höjd, h. Radien ges av avståndet mellan punkterna (10,19) och (0,19) och höjden ges av avståndet mellan (0,19) och punkten där f(x) skär y-axeln.

Radien är alltså 10-0=10le. y-värdet i skärningspunkten mellan f(x) och y-axeln motsvarar m-värdet för f(x), dvs. -1. Det ger att konens höjd är 19-(-1)=20le. Nu sätter vi in radien och höjden i volymformeln för att beräkna den stora konens volym.

Den stora konen har alltså volymen 2000π3 ve.

Volym av liten kon

Radien på den lilla konens basyta är avståndet mellan punkterna (5,-11) och (0,-11), och höjden är avståndet mellan (0,-11) och (0,-1).

Radien är alltså 5-0=5le. och höjden är -1-(-11)=10le. Nu sätter vi in dessa värden på höjden och radien i volymformeln.

Den lilla konen har alltså volymen 250π3 ve.

Volym av hel rotationskropp

Till sist summerar vi volymerna för de två konerna.

Rotationskroppens totala volym är alltså 750π ve.

Vi beräknar först den faktiska volymen och sedan approximationen av volymen för att kunna jämföra dessa.

Faktiska volymen

Den riktiga kroppen som bildas när funktionen roterar kring x-axeln blir en avhuggen kon.

För att beräkna volymen förlänger vi figuren fram till då funktionen skär x-axeln. Det är då y=0.

Vi förlänger figuren fram till x=8 och det bildas då en kon.

Vi beräknar volymen av konen ovan och tar sedan bort toppen på konen för att få vår avhuggna kon. Radien fås av y-värdet då x är 1, alltså r = 2 - 0.25 *1=1.75. Höjden kommer vara avståndet på x-axeln vilket är 7. Vi använder värdena för att beräkna volymen.

Vi avrundar svaret men behåller många decimaler för att undvika avrundingsfel i kommande beräkningar. Nu har vi volymen av hela konen och måste beräkna volymen av den del som ska bort.

Kroppen vi måste ta bort går mellan gränserna x=5 och x=8. Radien på dess basyta kommer vara y-värdet vid x=5, vilket blir: r=2-0.25*5=0.75. Höjden av konen är avståndet på x-axeln, h=3. Nu beräknar vi volymen av det röda konen.

Nu vet vi volymen får de två konerna och genom att subtrahera den mindre från den större får vi volymen av den sökta kroppen. 7.14583π-0.5625π=6.58333π Den faktiska volymen är alltså ungefär 6.58333π.

Approximation av volymen

För att beräkna volymen av approximationen summerar vi volymen av varje cylinder. Volymen av en cylinder räknas ut med formeln: V=π r^2h. Cylindrarna kommer ha samma höjd eftersom avståndet mellan varje cylinder är 1 på x-axeln, alltså h=1. Radien motsvarar funktionens y-värde och kommer variera beroende på x-värdet. Vi tar x-värdet där cylindern börjar och sätter in i funktionen för att få radien.

Nu kan vi beräkna volymen för varje cylinder med dess radie och höjden 1.

Om vi summerar volymen för alla cylindrar får vi volymen av approximationen. V_(tot)=3.065π+2.25π+1.5625π+π=7.8775π ve. Nu vet vi både den faktiska och den approximerade volymen. För att räkna ut hur många procent de skiljer sig dividerar vi volymen av approximationen med den faktiska volymen. 7.8775π/6.58333π=1.19658...≈1.2 Det betyder att approximationen är ca 20 % större än den faktiska volymen.

Dubblar vi antalet cylindrar ändras höjden från 1 le. till 0.5 le..

Vi behöver nu beräkna nya radier och volymer för cylindrarna. Totalt är det åtta cylindrar och x-värdena som radierna baseras på går från 1 till 4.5.

Volymerna beräknar vi på samma sätt som tidigare, men med höjden 0.5.

Summan av volymerna ger oss approximationen, vi får då \begin{aligned} V_\text{tot} \approx 7.21874 \pi \text{ ve.} \end{aligned} Återigen dividerar vi approximationen med den faktiska volymen för att ta reda på med hur många procent de skiljer. 7.21874π/6.58333π ≈ 1.1 Den nya approximationen är alltså ca 10 % större än kroppens faktiska volym, vilket är en förbättring från förra approximationen.

Ett annat sätt att approximera volymen av en rotationskropp är att först bestämma en volym man vet är en överskattning och en som är en underskattning. Sedan kan man ta medelvärdet av dessa för att få sin approximation. I första deluppgiften gjorde vi en överskattning — cylindrarna innesluter ju rotationskroppen helt. Vi ställer nu upp en underskattning.

Volymen för de tre första cylindrarna har vi redan beräknat i förra deluppgiften. De har samma radie och höjd som de tre sista cylindrarna i approximationen vi fick i uppgiftslydelsen.

Det betyder att vi endast måste beräkna volymen för den sista cylindern, C4. Volymerna vi har sedan tidigare är \begin{aligned} V_\text{C1} = 2.25\pi \text{ ve.}, \quad V_\text{C2}=1.5625\pi \text{ ve.} \quad \text{och} \quad V_\text{C3}=\pi \text{ ve.} \end{aligned} Radien av den sista cylinderna får vi genom att beräkna y-värdet vid x=5, r=2-0.25*5=0.75. Höjden är även nu 1, vilket ger \begin{aligned} V_\text{C4} = \pi \cdot 0.75^2 \cdot 1 = 0.5625 \pi \text{ ve.} \end{aligned} Vi summerar volymerna för att få den totala volymen av approximationen. \begin{aligned} V_\text{tot}=2.25\pi+1.5625\pi+\pi+0.5625\pi=5.375\pi \text{ ve.} \end{aligned} Den här volymen är som väntat mindre än kroppens faktiska volym. Vi beräknar nu medelvärdet av dessa två approximationer för att få vår slutliga approximation. 5.375π+7.8775π/2=6.62625π ve. Vi är nu väldigt nära den faktiska volymen — den nya approximation är inte ens 1 % för stor: 6.62625π/6.58333π ≈1.007.