{{ article.displayTitle }}

Vektorn som bildas när man adderar eller subtraherar vektorer kallas resultant. Grafiskt får man resultanten genom att lägga vektorerna på rad, alltså flytta dem så att där en vektor slutar börjar nästa. Man ritar sedan en ny vektor från den första vektorns startpunkt till sista vektorns slutpunkt. I rutnätet har $\vec{v},$ $\vec{u}$ och $\vec{z}$ adderats för att bilda resultanten $\vec{r}.$ Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger vektorerna. När man lägger dem efter varandra kommer de alltid att leda fram till samma slutpunkt, vilket ger samma resultant.

Eftersom vektorer har både storlek och riktning måste man ta hänsyn till båda dessa egenskaper när vektorer adderas. Vektorerna $\vec{u}=(4,0)$ och $\vec{v}=(5,0)$ har samma riktning, så resultanten $\vec{r}=\vec{u}+\vec{v}$ kommer också få samma riktning, och vara lika lång som deras sammanlagda längd.

Resultanten får koordinaterna $(9,0),$ dvs. summan av $\vec{u}$ och $\vec{v}\text{:s}$ respektive koordinater. Vid addition av två eller flera godtyckliga vektorer adderas $x\text{-}$ och $y\text{-}$koordinaterna var för sig. Denna regel för vektoraddition brukar skrivas på följande sätt.

Om vektorerna $\vec{w}=(4,2)$ och $\vec{z}=(2,3)$ adderas, kan man skriva resultanten som $\vec{w}+\vec{z}=(6,5).$ Det kan även göras grafiskt genom att rita ut resultanten av vektorerna som adderas och läsa av dess koordinater.

För att subtrahera två eller fler vektorer utnyttjas regeln för att addera vektorer. Differensen mellan två vektorer, t.ex. $\vec{u}=(-2,2)$ och $\vec{v}=(2,1),$ kan skrivas som en addition av $\vec{u}$ och den negativa vektorn $-\vec{v}:$ Vektorn $-\vec{v}$ har samma storlek som $\vec{v},$ men är riktad åt motsatt håll, vilket innebär att koordinaterna byter tecken. Genom att parallellförflytta en av vektorerna kan man addera dem. Resultanten $\vec{u}-\vec{v}$ blev alltså $(-4,1),$ dvs. differensen av $x\text{-}$ och $y\text{-}$koordinaterna för sig. Generellt skrivs regeln för subtraktion av vektorer på följande sätt.

När man multiplicerar en vektor med en skalär förlängs eller förkortas vektorn. Man kan säga att vektorn skalas baserat på vilket tal den multipliceras med. Exempelvis gör en multiplikation med $2$ att vektorn blir dubbelt så lång. Generellt kan man skriva detta som att vektorns båda koordinater multipliceras med skalären.

Om $\vec{v}=(4,2)$ multipliceras med talet $3$ får man den nya vektorn $3\vec{v}=(3\cdot 4,3\cdot 2)=(12,6).$ Detta kan visas grafiskt genom att se multiplikation som upprepad addition. $3\vec{v}$ är då lika med summan $\vec{v}+\vec{v}+\vec{v}.$ $3\vec{v}$ har alltså samma riktning som $\vec{v},$ men är tre gånger längre.