Räkna med vektorer

Vektorn 420 N är resultanten av de krafter som Emil respektive Nils drar med, dvs. komposanterna e respektive n. Vi ritar ut dessa vektorer.

Genom att parallellförflytta en av vektorerna får vi en rätvinklig triangel med hypotenusan 420 N och en vinkel som är 60^(∘).

Nu kan vi använda trigonometri för att beräkna |n| eller |e|. Vi använder definitionen för cosinus för att bestämma den kortare kateten.

Den kortare kateten är 210 N. När vi vet en av kateterna och hypotenusan kan vi beräkna den sista sidan med Pythagoras sats.

Längderna av vektorerna är alltså |n|=210 och |e|≈364. Det betyder att Nils drar med kraften 210 N och Emil med kraften 364 N. Vi får att Nils drar med 154 Newton mer än Emil.

För att hitta två komposanter som tillsammans bildar v börjar vi med att rita en första vektor som börjar i samma punkt som v. Slutpunkten spelar ingen roll och kan sättas var som helst i koordinatsystemet, så länge vektorn inte blir lordrät eller vågrät. Ett exempel visas nedan.

För att hitta den andra komposanten behöver man nu bara dra en vektor från första komposantens slutpunkt till slutpunkten för v. Reglerna för addition av vektorer ger att summan av dessa två komposanter kommer att vara vektorn v.

Till sist parallellförflyttar vi k_2 så att den hamnar i startpunkten till v, vilket ger ett svar på uppgiften. Hade vi satt ut ett annat k_1 hade vi fått ett annat k_2.

Med tre komposanter fungerar saker på samma sätt. Vi börjar med att sätta ut den första komposanten k_1 så att den börjar i startpunkten för u och slutar i valfri punkt. Nästa komposant k_2 börjar i denna punkt och slutar även den i en ny valfri punkt. Den sista vektorn k_3 fortsätter kedjan och slutar i ändpunkten för u. Nedan visas ett exempel.

Till sist parallellförflyttar vi k_2 och k_3 så att de hamnar i startpunkten till u.

Vi ritar vektorerna så att de börjar i samma punkt.

Det ser väldigt mycket ut som att vektorerna är vinkelräta, men det är ju inget bevis. Men låt oss då dra en vektor mellan pilspetsarna bildas en triangel som i nedanstående figur.

Om vi kan bestämma längden på alla vektorer kan vi avgöra om Pythagoras sats gäller för triangeln och gör den det är den rätvinklig. Vi beräknar längden på v och z.

Vektor v

Längden på v är sqrt(13).

Vektor z

Vektorerna v och z är båda sqrt(13) le. Hur lång är då den röda vektorn? Genom att läsa av förändringen i x- och y-led kan vi se att den har koordinatformen (-1, 5).

Vi kallar vektorn för r och bestämmer längden.

Är triangeln rätvinklig utgör sqrt(26) hypotenusa och övriga sidor kateter. Sätter vi in sidlängderna i Pythagoras sats kan vi undersöka om triangeln är rätvinklig.

Pythagoras sats gäller så vektorerna är rätvinkliga.

Vektorn v spänner upp en rätvinklig triangel med katetlängderna 2 och 3.

Den spetsiga blå vinkeln har därför tangensvärdet 23, vilket i sin tur innebär att vinkeln är arctan( 23). Vektorn z spänner också upp en rätvinklig triangel.

Den spetsiga gröna vinkelns tangensvärde blir 32, så vinkeln blir arctan( 32). Vinkeln mellan vektorerna är summan av den gröna och blå vinkeln.

Med räknaren summerar vi den blå och gröna vinkeln: arctan(2/3)+arctan(3/2)=90^(∘). Vektorerna är alltså vinkelräta mot varandra.

Vi kallar koordinaterna för vektorn v för a och b, dvs. v=(a,b). Det betyder att längden av den vektorn blir |v|=sqrt(a^2+b^2). För att bestämma längden av k* v börjar vi med att multiplicera båda led i likheten v=(a,b) med k.

Likheten gäller alltså.

Detta samband gäller endast om k är icke-negativt. Om det är negativt blir högerledet i likheten |k*v|=k*|v| negativt. Men |k*v| beskriver ju en längd, och längder kan inte vara negativa.