Räkna med vektorer

När vi multiplicerar en skalär med en vektor multipliceras både x- och y-koordinaten med skalären enligt a(b,c)=(ab,ac). Vi sätter in vektorernas koordinater och multiplicerar därefter enligt ovan.

Nu kan vi addera vektorernas x- och y-koordinater var för sig.

Resultantens koordinater är alltså (25,2).

Även här börjar vi med att multiplicera in skalären innan vi subtraherar vektorernas koordinater. Vanliga teckenregler gäller, t.ex. att 12-(-2)=12+2.

Denna resultant blir (14,-32).

Vi tänker på samma sätt här, och kommer ihåg reglerna för bråkräkning.

Resultanten blir alltså (9, 143).

-3v är vektorn v multiplicerad med -3 dvs. båda koordinater i v har multiplicerats med -3. Om vi kan bryta ut -3 från den givna vektorn kan vi bestämma dess koordinater.

v är alltså lika med (6,-4). Det betyder att den går 6 steg åt höger och 4 steg nedåt.

Vi börjar med att bestämma koordinaterna för v och w.

v är alltså lika med (-3,4) och w är (2,3). Vi beräknar differensen av dem genom att subtrahera koordinaterna för sig.

Resultantens koordinater är alltså (-5,1). Vad har Sten-Eriks resultant för koordinater?

Den har också koordinaterna (-5,1). Sten-Erik har alltså gjort rätt!

Vi kan börja med att testa att addera alla vektorer genom att lägga dem på rad.

Vi ser att vi inte får r. Men vi kan pröva att subtrahera vektorer. Att subtrahera en vektor är samma sak som att addera den negativa vektorn, dvs. den med samma storlek men motsatt riktning. Vi ser att vi kom för långt åt höger i x-led när vi adderade dem, så vi testar att subtrahera v_3 istället. Detta gör vi genom att addera -v_3.

Nu kom vi för långt åt vänster istället. Vi kan testa att även subtrahera v_1 och parallellförflytta -v_3 och v_2. Då ser vi att de tillsammans bildar resultanten r!

Vi kan nu använda -v_1, v_2 och -v_3 för att bilda resultanten på 6 olika sätt, genom att ändra ordningen på vektorerna. Vi visar ett av dessa sätt nedan.

Vektorn - u börjar där v slutar och genom att dra en resultant från v's startpunkt till - u's slutpunkt får vi summan av dem, dvs. v+(-u), vilket vi även kan skriva v-u=r. Nu har vi ett samband mellan de tre vektorerna. Låt oss ta reda på deras koordinatform genom att mäta förändringarna i x- och y-led.

När vi mätt förändringen i x- och y- led kan vi bestämma koordinatformen för v, - u och r. v&=(- 2, - 5), - u&=(4,1) &och r&=(2, - 4) Sedan skriver vi om - u fast utan minustecken.

Nu har vi skrivit om vektorerna på koordinatform kan vi bekräfta att de stämmer genom att sätta in dem i sambandet v - u = r.

Det stämmer!

Om ingen ska vinna får ringen inte röra sig. Det får alltså inte verka någon nettokraft på den. För att se om så är fallet summerar vi alla vektorer. Vi parallellförflyttar v så att dess startpunkt börjar i u slutpunkt och sedan flyttar vi w så att den ligger efter u på samma sätt.

Vi ser att när vi lägger ihop alla tre vektorer blir start- och slutpunkten samma. Det blir vektorn (0,0), som också kallas nollvektorn. Resultanten är alltså noll och de tre krafterna tar ut varandra. Ringen kommer inte att röra på sig.

Om lag w ger upp kommer ringen att flyttas så att de andra lagen drar åt rakt motsatt håll. De kommer inte längre dra åt samma håll som tidigare, men vi vet att kraften kommer att vara lika stor. Vektorerna för de andra lagen kommer alltså vara lika långa som innan lag w gav upp, men riktade motsatt varandra.

Vi behöver alltså veta vilken vektor som är längst för att veta vilket lag som vinner. Vi beräknar längderna för u och v i den ursprungliga bilden. Eftersom v är vågrät kan vi läsa av att dess storlek är 4 le. För att avgöra storleken på u behöver vi veta skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkten.

Koordinatformen för u kan avläsas som (- 3,- 2). Vi sätter in detta i formeln för att beräkna längden av en vektor.

v hade längden 4 och är alltså längre än u, vilket innebär att lag v vinner.