Utforska Logaritmer och Derivata av Absolutbelopp

Är funktionen

f (x) = ∣ 2 x + 5 ∣ - 2

deriverbar för

x = - 2.5 ?

Motivera med derivatans definition.

En funktion f(x) är deriverbar i en punkt a om gränsvärdet f'(a) = lim _(h→0)f(a + h) - f(a)/h

från derivatans definition existerar. Vi testar det genom att beräkna både höger- och vänstergränsvärdet. Om de har olika värde existerar inte gränsvärdet och funktionen är då inte deriverbar i x = a. För detta behöver vi bli av med absolutbeloppstecknet i funktionen. Vi börjar alltså genom att undersöka för vilka x som 2x + 5 är positivt.

Vår funktion kan alltså skrivas som f(x)=2x+5-2 eller f(x)=2x+3 då x ≥ - 2.5. Det här ger oss den uppdelade funktionen f(x) = |2x+5|-2, & x<- 2.5 2x+3, & x ≥ - 2.5. Eftersom 2x + 5 är negativt när x < - 2.5 tar vi bort absolutbeloppstecknet genom att byta tecken på uttrycket 2x + 5. |2x + 5| - 2 ⇔ -(2x + 5) - 2 Vi förenklar nu uttrycket.

Vår funktion motsvarar alltså f(x) = - 2x-7 & x<- 2.5 2x+3 & x ≥ - 2.5. Vi kan nu låta a = - 2.5 i gränsvärdet som vi ställde upp tidigare: f'(- 2.5) = lim _(h→ 0) f(- 2.5+h)-f(- 2.5)/h. Om det här gränsvärdet inte existerar har vi visat att funktionen inte är deriverbar i x = - 2.5. Vi börjar med att beräkna högergränsvärdet, vilket innebär att h ska hållas positivt. Funktionens andra rad ska användas eftersom både - 2.5 + h och - 2.5 är större än eller lika med - 2.5.

Vi beräknar nu även f(- 2.5).

Vi sätter in dessa värden för att beräkna högergränsvärdet.

Vi ska nu beräkna vänstergränsvärdet. Då blir - 2.5 + h mindre än - 2.5, eftersom vi håller h negativt. Alltså ska första raden i funktionen användas. Låt oss nu beräkna f(- 2.5+h).

Vi vet sedan tidigare att f(- 2.5) = - 2, vilket vi kan använda igen. Vi sätter nu in dessa värden för att bestämma vänstergränsvärdet.

Vi har nu beräknat att högergränsvärdet är 2 och att vänstergränsvärdet är - 2. Att de inte har samma värde innebär att gränsvärdet vi ställde upp med derivatans definition inte existerar, vilket i sin tur innebär att funktionen inte är deriverbar i x = - 2.5.

Grafen visar funktionen $y = ∣ g (x) ∣ .$

Bestäm

g (x)

om du vet att funktion skär

y -

axeln i

(0, - 4) .

Absolutbeloppet gör att när g(x) är negativt byter funktionsvärdet tecken och blir positivt. Från koordinatsystemet ser vi att grafen "studsar" på x-axeln vid x=4. Detta betyder att g(x) måste vara negativt och har speglats i x-axeln antingen när x är mindre än 4 eller när x är större än 4. Vi får alltså två separata fall som vi undersöker ett i taget.

g(x) är negativt för x<4

Om vi antar att g(x) är negativt för x mindre än 4 betyder det att absolutbeloppet har speglat grafen i x-axeln för alla x-värden under 4. Om vi speglar dessa punkter igen kommer vi att få grafen för den funktion som måste finnas innanför beloppstecknen.

g(x) måste alltså vara den räta linjen ovan. Den skär y-axeln i (0,- 4) vilket betyder att m-värdet är - 4. Man kan också se att linjen ökar med ett steg i y-led för varje steg i x-led, vilket innebär att k-värdet för linjen är 1. Sätter vi in detta i formeln för en rät linje får vi g(x)=x-4.

g(x) är negativt i intervallet x>4

Om g(x) istället är negativt när x>4 innebär det att den räta linjen speglas i x-axeln för dessa x-värden. På samma sätt som tidigare "speglar vi tillbaka" alla punkter på grafen som har ett x större än 4. Då får vi en graf som motsvarar g(x).

Vi bestämmer linjens funktion på samma sätt som tidigare, dvs. genom att läsa av lutningen och m-värdet. Grafen skär y-axeln vid 4, vilket alltså är m-värdet, och grafen sjunker med ett steg i y-led för varje steg i x-led, så k-värdet måste vara - 1. Det ger g(x) = - x + 4.

Slutsats

Eftersom funktionen ska skära y-axeln i (0,-4) så vet vi att funktionen är g(x) = x - 4

Avgör definitions- och värdemängd till funktionen $f (x) = l g (∣ x ∣)$ och rita sedan grafen.

Vi börjar med att undersöka funktionen y = lg(x) för att sedan resonera kring vilken påverkan absolutbeloppet har på funktionen. Logaritmfunktionen y = lg(x) har definitionsmängden D_y: x > 0 eftersom logaritmen av varken 0 eller negativa tal är definierade. Vad är då värdemängden? När man låter x gå mot 0 får man funktionsvärden som går mot negativa oändligheten. Om man istället låter x gå mot oändligheten får man funktionsvärden som går mot positiva oändligheten. Detta tillsammans med att funktionen är sammanhängande ger att dess värdemängd är V_y: - ∞ < y < ∞. Vad händer med definitions- och värdemängden när absolutbeloppet läggs till? Eftersom absolutbelopp byter tecken på alla negativa tal innebär det att |x| antingen är 0 eller positivt. Därför ingår alla x i definitionsmängden för f(x) förutom de som gör att |x| = 0, vilket endast är x = 0. Värdemängden är fortfarande alla tal, eftersom f(x) motsvarar lg(x) så länge x ≥ 0, vilket kan anta alla reella värden. D_f: x ≠ 0 och V_f: - ∞ < f(x) < ∞ Grafen till f(x) = lg(|x|) liknar y = lg(x), men de negativa x-värdena blir positiva. Därför ser grafen likadan ut till vänster som till höger om origo, fast spegelvänd.

Nedan ser du graferna till funktionerna $y = ln (0.25 x),$ $y = ln (0.5 x),$ $y = ln (x),$ $y = ln (3 x),$ $y = ln (8 x)$ samt $y = ln (28 x) .$

Sex stycken logaritmgrafer i ett koordinatsystem.

Stämmer det att grafen för

ln (x)

förskjuts vertikalt uppåt när koefficienten framför

x

ökar? Motivera ditt svar både grafiskt och algebraiskt.

Genom att skriva om y=ln(ax) med hjälp logaritmlagen av en produkt kan vi se att funktioner på denna form kan uttryckas som ln(x) plus en konstant: y=ln(ax)=ln(a)+ln(x). Konstanten ln(a) representerar alltså hur mycket funktionerna förskjuts i y-led.

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Logaritmfunktion

Logaritmfunktioners grafer

Exempel

Bestäm logaritmens bas

Absolutbeloppsfunktion

Exempel

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen

$x \leq 4$

$x > 4$

Grafen

Deriverbarhet

g(x) är negativt för x<4

g(x) är negativt i intervallet x>4

Slutsats

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Rekommenderade uppgifter

	6 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.