body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

4

Kurs 4 Visa detaljer

1. Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 4

1.

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Innehållet handlar om logaritmer och absolutbeloppsfunktioner. Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få )tillbaka talet. Absolutbeloppet av ett tal är alltid större än eller lika med noll. Om talet redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt blir det positivt. Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, kan grafen hamna både ovanför och under x-axeln. Sidan diskuterar också deriverbarhet, en funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid en slät graf.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Sida av 6

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av

1000

lika med

3

eftersom

1 0^{3} = 1000 .

Generellt kan man skriva detta samband som

1 0^{a} = b \Leftrightarrow a = l g (b) .

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex.

l g (250)

eller

lo g_{2} (19),

men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.

Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är

f (x) = lo g_{3} (x) och g (x) = ln (x),

där baserna är

3

respektive talet

e

. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna

x > 0 .

Däremot kan funktionsvärdena variera mellan

- \infty

och

\infty,

vilket innebär att värdemängden är alla reella tal. Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större

x

är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Bestäm logaritmens bas

fullscreen

I koordinatsystemet är grafen till $lo g_{a} (x)$ inritad, där basen $a$ är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten $a .$

Visa Lösning

Vi undersöker om det finns några punkter som är lätta att läsa av.

Det finns två sådana punkter:

(1, 0)

och

(7, 1) .

De ger oss följande samband.

lo g_{a} (1) = 0 och lo g_{a} (7) = 1 .

Från det första sambandet får vi veta att det tal man ska sätta som exponent på basen

a

för att få

1

är

0

dvs.

a^{0} = 1 .

Detta gäller ju för alla positiva heltal så det hjälper oss inte så mycket. Det andra sambandet innebär att om man höjer upp

a

till

1

får man

7

dvs.

a^{1} = 7 .

Eftersom alla tal upphöjda till

1

är sig själva blir

a = 7 .

Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal,

∣ a ∣,

blir resultatet alltid större än eller lika med

0 .

Om

a

redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man

- a,

vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion:

f (x) = ∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0 .

Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under

x

-axeln.

f (x) = ∣ x ∣ g (x) = ∣ ∣ ∣ x^{2} - 4 ∣ ∣ ∣ h (x) = 5 - ∣ x ∣

Exempelvis blir funktionen

h (x)

negativ för

x

-värden mindre än

- 5

och större än

5 .

Graferna till

f,

g

och

h

ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen

fullscreen

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen.

y = ∣ 4 - x ∣ - 2

Visa Lösning

När man undersöker absolutbeloppsfunktioner är det ofta bekvämt att dela upp dem på olika intervall, beroende på om det som står innanför absolutbeloppet är positivt eller negativt. I det här fallet står det

4 - x,

som är negativt när

x > 4

och positivt eller

0

när

x \leq 4 .

Vi undersöker hur funktionen ser ut på dessa intervall.

Exempel

$x \leq 4$

När

x \leq 4

är det som står innanför absolutbeloppet positivt eller

0 .

Då kan man ta bort absolutbeloppstecknen direkt. Vi får då

∣ 4 - x ∣ - 2 = 4 - x - 2 = 2 - x,

vilket betyder att

y = 2 - x, x \leq 4 .

Exempel

$x > 4$

Nu är

4 - x

negativt, så när vi tar bort absolutbeloppet måste vi byta tecken på det som står innanför. Då får vi

∣ 4 - x ∣ - 2 = - (4 - x) - 2 = x - 6 .

I det andra intervallet har vi alltså funktionsuttrycket

y = x - 6, x > 4 .

Exempel

Grafen

Fram till

x = 4

ritar vi alltså den räta linjen

y = 2 - x

och efter det byter vi till linjen

y = x - 6 .

Koncept

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter.

Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata,

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h},

existerar för varje punkt

x_{0}

i definitionsmängden.

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Övningar

Avgör i vilka intervall som funktionen

f (x) = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{( x - 3 ) ( 2 x ^{2} + 1 4 x + 1 2 ) ( 3 - 3 x ) ( x + 1 )}{( 4 x ^{2} + 1 2 x - 7 2 )} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

är deriverbar.

Det vi har är en rationell funktion innanför ett absolutbelopp. Rationella funktioner är deriverbara i alla punkter utom där de är odefinierade. Därför undersöker vi först om division med 0 sker för något x genom att lösa ekvationen vi får då vi likställer nämnaren med 0.

Vi vet nu att funktionen, och därmed också derivatan, är odefinierad för x=-6 och x=3. För en absolutbeloppsfunktion är derivatan odefinierad i punkter där uttrycket i absolutbeloppet går från positivt till negativt eller vice versa. För att undersöka om detta sker behöver vi faktorisera det rationella uttrycket. Vi börjar faktoriseringen av uttrycket genom att bryta ut en konstant ur faktorerna (2x^2+14x+12), (3-3x) och (4x^2+12x-72).

För att faktorisera uttrycket x^2+7x+6 kan vi ta hjälp av faktorsatsen genom att först hitta för vilka x-värden uttrycket blir 0.

Eftersom koefficienten framför x^2-termen i x^2+7x+6 är 1 och uttrycket antar värdet 0 då x=- 6 och x=- 1 kan det, enligt faktorsatsen, skrivas som (x-(- 6))(x-(- 1)) ⇔ (x+6)(x+1). Även x^2+3x-18 har koefficienten 1 framför x^2-termen och vi vet sedan tidigare att uttrycket har värdet 0 då x=- 6 och x=3. Det kan därför skrivas som (x-(- 6))(x-3) ⇔ (x+6)(x-3). Vi sätter in dessa faktoriseringar samt förkortar och skriver om vår funktion.

Vi måste nu ta reda på om vår funktions graf innehåller någon skarp kant, dvs. ifall uttrycket i absolutbeloppstecknet byter tecken. Samtliga faktorer i vår förenklade funktion är positiva för alla värden på x förutom (1-x), som byter tecken i x=1. Där har grafen alltså en skarp kant och är då heller inte deriverbar.

Funktionen är inte deriverbar i sammanlagt 3 stycken punkter, nämligen c x = - 6, x = 1 och x = 3.

Överallt annars är den deriverbar, vilket ger intervallen - ∞ < x& <- 6 - 6 < x& < 1 1 < x& < 3 3 < x& < ∞.

Betrakta funktionen

f (x) = ∣ ∣ ∣ ∣ x^{2} + 2 ∣ ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ ∣ x^{2} - 2 ∣ ∣ ∣ ∣ .

Bestäm funktionens definitions- och värdemängd.

<subexercise id="a"> Vi har funktionen f(x)=|x^2+2|-|x^2-2|. Vi skriver först om funktionen så att den står utan absolutbeloppstecken. Den första delen, |x^2+2|, är större än 0 för alla värden på x. Vi kan därför ta bort absolutbeloppet utan att det påverkar funktionen. f(x)=x^2+2-|x^2-2| Det som står innanför andra absolutbeloppet kan dock bli negativt, vilket vi måste tänka på innan vi tar bort absolutbeloppstecknen. Vi använder denna omskrivning nu när vi skall bestämma funktionens definitions- och värdemängd. f(x) = 2x^2, & - sqrt(2)

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll