Dashboard

Kurs 4 Visa detaljer

1. Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

Matematik 4 /

Kapitel 4

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Innehållet handlar om logaritmer och absolutbeloppsfunktioner. Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få )tillbaka talet. Absolutbeloppet av ett tal är alltid större än eller lika med noll. Om talet redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt blir det positivt. Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, kan grafen hamna både ovanför och under x-axeln. Sidan diskuterar också deriverbarhet, en funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid en slät graf.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	7 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Sida av 7

Logaritmen av ett tal är den exponent som man måste sätta på en viss bas för att få tillbaka talet. Exempelvis är tiologaritmen av 1000 lika med 3 eftersom 10^3 = 1000. Generellt kan man skriva detta samband som 10^a=b ⇔ a=lg(b).

När man använder ordet logaritm kan man mena ett specifikt värde, t.ex. lg(250) eller log_2(19), men man kan också syfta på den generella funktionen som beskriver alla logaritmer för en given bas.

Begrepp

Logaritmfunktion

Hur logaritmfunktionen ser ut beror på basen. Två exempel är f(x)=log_3(x) och g(x)=ln(x), där baserna är 3 respektive talet e. Eftersom man enbart kan beräkna logaritmer för positiva tal är definitionsmängden för funktionerna x>0. Däremot kan funktionsvärdena variera mellan -∞ och ∞, vilket innebär att värdemängden är alla reella tal. Hur grafen till en logaritmfunktion ser ut beror på vilken bas som används, men alla logaritmfunktioner har liknande utseende. Ju större x är, desto större blir funktionsvärdet, men med avtagande lutning.

Bestäm logaritmens bas

fullscreen

I koordinatsystemet är grafen till log_a(x) inritad, där basen a är ett positivt heltal.

Bestäm konstanten a.

Visa Lösning

Vi undersöker om det finns några punkter som är lätta att läsa av.

Det finns två sådana punkter: (1,0) och (7,1). De ger oss följande samband. log_a(1)=0 och log_a(7)=1. Från det första sambandet får vi veta att det tal man ska sätta som exponent på basen a för att få 1 är 0 dvs. a^0=1. Detta gäller ju för alla positiva heltal så det hjälper oss inte så mycket. Det andra sambandet innebär att om man höjer upp a till 1 får man 7 dvs. a^1=7. Eftersom alla tal upphöjda till 1 är sig själva blir a=7.

Begrepp

Absolutbeloppsfunktion

När man beräknar absolutbeloppet av ett tal, |a|, blir resultatet alltid större än eller lika med 0. Om a redan är positivt ändras det inte, men om det är negativt får man - a, vilket är positivt. Absolutbeloppet kan även ses som en funktion: f(x)=|x|= x, & x ≥ 0 - x, & x < 0. Absolutbeloppsfunktionen är aldrig negativ, men om man kombinerar den med andra funktioner, t.ex. polynom, kan grafen hamna både ovanför och under x-axeln. f(x) = |x| g(x) = | x^2 -4 | h(x) = 5 - |x| Exempelvis blir funktionen h(x) negativ för x-värden mindre än -5 och större än 5. Graferna till f, g och h ser ut på följande sätt.

Typiskt för funktioner med absolutbelopp är att de har grafer som vänder skarpt.

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen

fullscreen

Rita grafen till absolutbeloppsfunktionen. y = |4 - x|-2

Visa Lösning

När man undersöker absolutbeloppsfunktioner är det ofta bekvämt att dela upp dem på olika intervall, beroende på om det som står innanför absolutbeloppet är positivt eller negativt. I det här fallet står det 4-x, som är negativt när x > 4 och positivt eller 0 när x ≤ 4. Vi undersöker hur funktionen ser ut på dessa intervall.

Exempel

x ≤ 4

När x≤4 är det som står innanför absolutbeloppet positivt eller 0. Då kan man ta bort absolutbeloppstecknen direkt. Vi får då |4 - x|-2 =4-x-2=2-x, vilket betyder att y = 2-x, x ≤ 4.

Exempel

x > 4

Nu är 4-x negativt, så när vi tar bort absolutbeloppet måste vi byta tecken på det som står innanför. Då får vi |4 - x|-2=- (4-x)-2 = x-6. I det andra intervallet har vi alltså funktionsuttrycket y = x-6 , x > 4.

Exempel

Grafen

Fram till x = 4 ritar vi alltså den räta linjen y = 2-x och efter det byter vi till linjen y = x-6.

Koncept

Deriverbarhet

En funktion som är deriverbar kan deriveras i alla punkter och har alltid "slät" graf, dvs. den saknar skarpa kanter. Exempelvis är polynomfunktioner alltid deriverbara, medan diskontinuerliga funktioner och de flesta funktioner med absolutbelopp är exempel på funktioner som inte är deriverbara i alla punkter.

Den formella definitionen av deriverbarhet är att gränsvärdet som definierar funktionens derivata, f'(x_0)=lim_(h→ 0)f(x_0+h)-f(x_0)/h,

existerar för varje punkt x_0 i definitionsmängden.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Uppgift 2.1

Är funktionen f(x)=|2x+5|-2 deriverbar för x=- 2,5? Motivera med derivatans definition.

En funktion f(x) är deriverbar i en punkt a om gränsvärdet f'(a) = lim _(h→0)f(a + h) - f(a)/h från derivatans definition existerar. Vi testar det genom att beräkna både höger- och vänstergränsvärdet. Om de har olika värde existerar inte gränsvärdet och funktionen är då inte deriverbar i x = a. För detta behöver vi bli av med absolutbeloppstecknet i funktionen. Vi börjar alltså genom att undersöka för vilka x som 2x + 5 är positivt.

Vår funktion kan alltså skrivas som f(x)=2x+5-2 eller f(x)=2x+3 då x ≥ - 2,5. Det här ger oss den uppdelade funktionen f(x) = |2x+5|-2, & x < - 2,5 2x+3, & x ≥ - 2,5. Eftersom 2x + 5 är negativt när x < - 2,5 tar vi bort absolutbeloppstecknet genom att byta tecken på uttrycket 2x + 5. |2x + 5| - 2 ⇔ -(2x + 5) - 2 Vi förenklar nu uttrycket.

Vår funktion motsvarar alltså f(x) = - 2x-7 & x < - 2,5 2x+3 & x ≥ - 2,5. Vi kan nu låta a = - 2,5 i gränsvärdet som vi ställde upp tidigare: f'(- 2,5) = lim _(h→ 0) f(- 2,5+h)-f(- 2,5)/h. Om det här gränsvärdet inte existerar har vi visat att funktionen inte är deriverbar i x = - 2,5. Vi börjar med att beräkna högergränsvärdet, vilket innebär att h ska hållas positivt. Funktionens andra rad ska användas eftersom både - 2,5 + h och - 2,5 är större än eller lika med - 2,5.

Vi beräknar nu även f(- 2,5).

Vi sätter in dessa värden för att beräkna högergränsvärdet.

Vi ska nu beräkna vänstergränsvärdet. Då blir - 2,5 + h mindre än - 2,5, eftersom vi håller h negativt. Alltså ska första raden i funktionen användas. Låt oss nu beräkna f(- 2,5+h).

Vi vet sedan tidigare att f(- 2,5) = - 2, vilket vi kan använda igen. Vi sätter nu in dessa värden för att bestämma vänstergränsvärdet.

Vi har nu beräknat att högergränsvärdet är 2 och att vänstergränsvärdet är - 2. Att de inte har samma värde innebär att gränsvärdet vi ställde upp med derivatans definition inte existerar, vilket i sin tur innebär att funktionen inte är deriverbar i x = - 2,5.

Grafen visar funktionen y=|g(x)|.

Bestäm g(x) om du vet att funktion skär y-axeln i (0,-4).

Absolutbeloppet gör att när g(x) är negativt byter funktionsvärdet tecken och blir positivt. Från koordinatsystemet ser vi att grafen "studsar" på x-axeln vid x=4. Detta betyder att g(x) måste vara negativt och har speglats i x-axeln antingen när x är mindre än 4 eller när x är större än 4. Vi får alltså två separata fall som vi undersöker ett i taget.

g(x) är negativt för x<4

Om vi antar att g(x) är negativt för x mindre än 4 betyder det att absolutbeloppet har speglat grafen i x-axeln för alla x-värden under 4. Om vi speglar dessa punkter igen kommer vi att få grafen för den funktion som måste finnas innanför beloppstecknen.

g(x) måste alltså vara den räta linjen ovan. Den skär y-axeln i (0,- 4) vilket betyder att m-värdet är - 4. Man kan också se att linjen ökar med ett steg i y-led för varje steg i x-led, vilket innebär att k-värdet för linjen är 1. Sätter vi in detta i formeln för en rät linje får vi g(x)=x-4.

g(x) är negativt i intervallet x>4

Om g(x) istället är negativt när x > 4 innebär det att den räta linjen speglas i x-axeln för dessa x-värden. På samma sätt som tidigare speglar vi tillbaka alla punkter på grafen som har ett x större än 4. Då får vi en graf som motsvarar g(x).

Vi bestämmer linjens funktion på samma sätt som tidigare, dvs. genom att läsa av lutningen och m-värdet. Grafen skär y-axeln vid 4, vilket alltså är m-värdet, och grafen sjunker med ett steg i y-led för varje steg i x-led, så k-värdet måste vara - 1. Det ger g(x) = - x + 4.

Slutsats

Eftersom funktionen ska skära y-axeln i (0,-4) så vet vi att funktionen är g(x) = x - 4

Betrakta funktionen f(x)=lg(|x|).

Vad är definitionsmängden för f(x)?

Vad är värdemängden för f(x)?

Vi börjar med att undersöka funktionen y = lg(x) för att sedan resonera kring vilken påverkan absolutbeloppet har på funktionen. Logaritmfunktionen y = lg(x) har definitionsmängden D_y: x > 0 eftersom logaritmen av varken 0 eller negativa tal är definierade. Eftersom |x| är icke-negativt kan lg(|x|) dock anta negativa värden. Den kan fortfarande inte ta x=0, så definitionsmängden för f(x)=lg(|x|) är D_f:x ≠ 0

När man låter x gå mot 0 får man funktionsvärden som går mot negativa oändligheten. Om man istället låter x gå mot oändligheten får man funktionsvärden som går mot positiva oändligheten. Detta tillsammans med att funktionen är sammanhängande ger att dess värdemängd är V_f: - ∞ < f(x) < ∞.

Nedan ser du graferna till funktionerna y=ln(0,25x), y=ln(0,5x), y=ln(x), y=ln(3x), y=ln(8x) samt y=ln(28x).

Stämmer det att grafen för ln(x) förskjuts vertikalt uppåt när koefficienten framför x ökar? Motivera ditt svar.

Genom att skriva om y=ln(ax) med hjälp logaritmlagen av en produkt kan vi se att funktioner på denna form kan uttryckas som ln(x) plus en konstant: y=ln(ax)=ln(a)+ln(x). Konstanten ln(a) representerar alltså hur mycket funktionerna förskjuts i y-led.

Logaritm- och absolutbeloppsfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan