body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 1a /

Kapitel 6

Linjära och exponentiella förändringar

Lektionen behandlar linjära och exponentiella förändringar, två viktiga koncept inom matematiken. Linjära förändringar beskriver situationer där förändringen är konstant över tid, som kostnaden för lösviktsgodis baserat på vikt. Exponentiella förändringar, å andra sidan, beskriver situationer där förändringen är proportionell mot den aktuella storleken, som ränta på ett sparkonto. Dessa två typer av förändringar används för att modellera och förutsäga många olika typer av verkliga fenomen, från ekonomi till naturvetenskap.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Linjära och exponentiella förändringar

Sida av 6

För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Proportionalitet
Linjära förändringar
Exponentiella förändringar

Förkunskaper

Funktioner och grafer

Teori

Linjära förändringar

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är

7, 90 kr / hg

beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera

7, 90

med antalet hg. Om vikten i hg är

x

ska man betala

7, 90 \cdot x kronor .

Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

$x$	$7, 90 x$	Beräkning
$0$	$7, 90 \cdot 0$	$0$
$1$	$7, 90 \cdot 1$	$7, 90$
$2$	$7, 90 \cdot 2$	$15, 8$
$3$	$7, 90 \cdot 3$	$23, 7$

Ett proportionellt samband ger alltid

0

om man sätter in

0 .

Men om man t.ex. måste betala

2 kr

för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset:

7, 90 x + 2 kronor .

Både

7, 90 x

och

7, 90 x + 2

är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen

7, 90 kr

för varje extra hg man köper.

Exempel

Tolka den linjära funktionen

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen $k (x) = 450 x kr,$ där $x$ är antalet dagar som man hyr stugan.

a Hur mycket är kostnaden per dag?

b Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på

300 kr ?

Ledtråd

a Hitta talet som multipliceras med

x .

Hur påverkar detta värde den totala kostnaden när

x

ökar?

b Lägg till den fasta avgiften till kostnaden baserad på antalet dagar.

Lösning

a Tittar vi på funktionen ser vi att

x,

som är antalet dagar, multipliceras med talet

450 .

Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är

450 kr .

Om man ökar

x

med

1,

alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med

450 kr .

Vi ser t.ex. att

k (0) = 450 \cdot 0 = 0 och k (1) = 450 \cdot 1 = 450 .

b Om det även finns en bokningsavgift på

300 kr

måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla

f (x),

genom att addera

300

till

450 x .

f (x) = 450 x + 300

Teori

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in

10000 kr

på ett konto med

5 %

ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn

1, 05,

kommer det efter ett år att finnas

10000 \cdot 1, 05 = 10500 kr .

Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare

5 %

nästa år, vilket gör att det kommer att finnas

10500 10000 \cdot 1, 05 \cdot 1, 05 = 10500 \cdot 1, 05 = 11025 kr .

Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med

500 kr

första året och

525 kr

andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter

t

år kan beskrivas av

s (t) = 10000 \cdot 1, 0 5^{t},

vilket är en exponentialfunktion.

Exempel

Tolka exponentialfunktionen

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen

f (t) = 24000 \cdot 0, 9 3^{t},

där

t

är antalet år efter

1985 .

a Hur många personer bodde i kommunen

1990

enligt modellen? Avrunda till närmaste tusental.

b Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Ledtråd

a Bestäm hur många år efter

1985

det givna året är. Beräkna sedan funktionen med det värdet för

t .

b Talet som upphöjs till

t

representerar förändringsfaktorn. Skriv det i procentform.

Lösning

1990

är

5

år efter

1985 .

Vi sätter därför in

t = 5

i funktionen och beräknar.

f (t) = 24000 \cdot 0, 9 3^{t}

Substitute

$t = 5$

f (5) = 24000 \cdot 0, 9 3^{5}

UseCalc

Slå in på räknare

f (5) = 16696, 52086 \dots

Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det:

f (5) = 16696, 52086 \dots \approx 17000 .

År

1990

beräknas alltså befolkningen ha varit cirka

17000

personer.

b För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen:

f (t) = 24000 \cdot 0, 93^{t} .

För varje år som går ökar exponenten,

t,

med

1 .

Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn

0, 93 .

Den kan även skrivas som

93 % .

För varje år är det alltså kvar

93 %

av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med

7 % .

Övning

Hitta saknade skillnader mellan en linjär och en exponentiell modell

Appletet visar en tabell med värden för funktionerna $f$ och $g .$ Den ena funktionen följer ett linjärt mönster, medan den andra är exponentiell. För att bestämma den saknade skillnaden kan det faktum att kvoten mellan på varandra följande värden i en exponentiell funktion är konstant användas. Svaret ska avrundas till närmaste heltal.

En tabell som visar värden för två funktioner, en linjär och en exponentiell, med en uppgift att beräkna en specifik differens, såsom f(4) - g(4) eller g(10) - f(10), med hjälp av de givna uppgifterna.

Linjära och exponentiella förändringar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.