Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Linjära och exponentiella förändringar

För att beskriva verkliga fenomen, t.ex. hur en kopp te svalnar eller hur långt en häst har sprungit, kan man använda funktioner. Det finns flera olika typer av funktioner som kan beskriva sådana förlopp, exempelvis linjära funktioner och exponentialfunktioner. Med dessa kan man bl.a. uppskatta vad som kommer att hända efter en viss tid eller sträcka.
Begrepp

Proportionalitet

När man handlar lösviktsgodis beror kostnaden på hur mycket man köper. Om priset är 7.907.90 kr/hg beräknar man den totala kostnaden genom att multiplicera 7.907.90 med antalet hg. Om vikten i hg är xx ska man betala 7.90x  kronor. 7.90 \cdot x \ \ \text{kronor.} Den här typen av förhållande kallas proportionalitet. Det innebär att resultatet påverkas på samma sätt som variabeln: om man köper dubbelt så mycket godis kommer det att kosta dubbelt så mycket och så vidare.

Begrepp

Linjära förändringar

Ett proportionellt samband ger alltid 00 om man sätter in 0.0. Men om man t.ex. måste betala 22 kr för påsen till godiset får man en liknande, men inte samma, situation. Den totala kostnaden blir då summan av påsen och godiset: 7.90x+2  kronor. 7.90x + 2 \ \ \text{kronor}.

Både 7.90x7.90x och 7.90x+27.90x + 2 är exempel på linjära förändringar och de förändras alltid med lika mycket. I det här fallet är den förändringen 7.907.90 kr för varje extra hg man köper.
Uppgift

Familjen Svebjörk ska hyra en stuga i Hassela under sportlovet. Kostnaden kan beskrivas av funktionen k(x)=450xk(x) = 450x kr, där xx är antalet dagar som man hyr stugan. Hur mycket är kostnaden per dag? Hur skulle funktionen se ut om det även fanns en bokningsavgift på 300 kr?

Lösning

Tittar vi på funktionen ser vi att x,x, som är antalet dagar, multipliceras med talet 450.450. Detta kan vi direkt tolka som att kostnaden per dag är 450450 kr. Om man ökar xx med 1,1, alltså en dag, ökar ju den totala kostnaden med 450450 kr. Vi ser t.ex. att k(0)=4500=0ochk(1)=4501=450. k(0) = 450 \cdot 0 = 0 \qquad \text{och} \qquad k(1) = 450 \cdot 1 = 450. Om det även finns en bokningsavgift på 300300 kr måste kostnaden öka med denna summa, oavsett hur många dagar som man hyr stugan. Vi får den nya funktionen, som vi kan kalla f(x),f(x), genom att addera 300300 till 450x.450x. f(x)=450x+300 f(x) = 450x + 300

info Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Exponentiella förändringar

Om man har pengar på ett sparkonto kommer dessa pengar att öka varje år enligt räntan på kontot. Sätter man t.ex. in 1000010\,000 kr på ett konto med 5%5\,\% ränta, vilket motsvarar förändringsfaktorn 1.05,1.05, kommer det efter ett år att finnas 100001.05=10500  kr. 10\,000 \cdot 1.05 = 10\,500 \; \text{kr.} Låter man pengarna vara kvar kommer de att öka med ytterligare 5%5\,\% nästa år, vilket gör att det kommer att finnas 100001.05105001.05=105001.05=11025  kr. \underbrace{10\,000 \cdot 1.05}_{10\,500}\cdot 1.05 = 10\,500 \cdot 1.05 = 11\,025 \; \text{kr}. Detta är inte någon linjär förändring eftersom summan ökar med 500500 kr första året och 525525 kr andra året. Den ökar dock med lika många procent varje år, vilket kallas exponentiell förändring. Summan på kontot efter tt år kan beskrivas av s(t)=100001.05t, s(t) = 10\,000 \cdot 1.05^t,

vilket är en exponentialfunktion.
Uppgift

Befolkningen i Badholmsta kommun kan beskrivas med funktionen f(t)=240000.93t, f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t, där tt är antalet år efter 1985.1985. Hur många personer bodde i kommunen 19901990 enligt modellen? Med hur många procent minskar befolkningen varje år?

Lösning
19901990 är 55 år efter 1985.1985. Vi sätter därför in t=5t=5 i funktionen och beräknar.
f(t)=240000.93tf(t)=24\,000 \cdot 0.93^t
f(5)=240000.935f({\color{#0000FF}{5}})=24\,000 \cdot 0.93^{{\color{#0000FF}{5}}}
f(5)=16696.52086f(5)=16\,696.52086\ldots
Här får vi ett långt decimaltal, men befolkning brukar anges i tusental så vi avrundar till det: f(5)=16696.5208617000. f(5)=16\,696.52086\ldots\approx 17\,000. År 19901990 beräknas alltså befolkningen ha varit cirka 1700017\,000 personer. För att bestämma den årliga procentuella förändringen tittar vi på funktionsuttrycket igen: f(t)=240000.93t. f(t)=24\,000 \cdot 0.93^t. För varje år som går ökar exponenten, t,t, med 1.1. Det betyder att varje år multipliceras befolkningen med förändringsfaktorn 0.93.0.93. Den kan även skrivas som 93%.93\,\%. För varje år är det alltså kvar 93%93\,\% av föregående års befolkning, vilket motsvarar en årlig minskning med 7%.7\,\%.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward