{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
arrow_back
eKurser /
( Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Likformighet
  • Likformiga trianglar
  • Kongruens
  • Kongruenta trianglar

Förkunskaper
Utforska

Undersöker likhet

Applet nedan visar en spiralformad tessellering av en yta med fyrhörningar i olika storlekar.

  • Att flytta den vänstra reglaget förstorar eller förminskar den skuggade fyrhörningen med centrum som utgångspunkt.
  • Att flytta det högra reglaget roterar den skuggade fyrhörningen runt centrum.
Flytta reglagen för att matcha fyrhörningarna i tesselleringen.
En spiralformad tessellering av fyrhörningar i olika storlekar. Reglage justerar storlek och rotation av en skuggad fyrhörning för att matcha andra i mönstret.
Jämför den blå fyrhörningen med fyrhörningarna i tesselleringen:
  • Vilka mått är desamma?
  • Vilka mått är proportionella mellan de två fyrhörningarna?
Koncept

Likformighet

Två geometriska figurer med samma form men inte nödvändigtvis samma storlek kallas likformiga. Om två figurer är likformiga gäller följande.

  • Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
  • Kvoten, dvs. förhållandet, mellan två motsvarande sidor i figurerna är lika stor för alla sidor.
Med motsvarande menas vinklar och sidor som har samma relativa placering i figurerna, t.ex. hypotenusan i två likformiga rätvinkliga trianglar. Fyrhörningarna är likformiga med varandra.
Två likformiga trianglar
Detta kan anges genom att skriva vilket utläses är likformig med eller och är likformiga med varandra.
Exempel

Bestäm de okända sidorna med likformighet

Figurerna är likformiga med längder angivna i meter.

två likformiga fyrhörningar
a Bestäm de okända sidorna
b Bestäm de okända sidorna

Ledtråd
a Identifiera de motsvarande sidorna hos de liknande fyrhörningarna. Kom ihåg att sidorna hos de liknande figurerna är proportionella.
b Identifiera de motsvarande sidorna hos de liknande fyrhörningarna. Kom ihåg att sidorna hos de liknande figurerna är proportionella.

Lösning
a För att lättare kunna se vilka sidor som motsvarar varandra roterar vi den mindre figuren.
två likformiga fyrhörningar
Sidorna längst till vänster är kända i båda figurerna, så vi kan använda dem för att bestämma kvoten mellan motsvarande sidor. Vi väljer att dividera sidan i den större figuren med motsvarande sida i den mindre figuren.
Man kan också dela den kortare sidan med den längre, men då måste man tänka på att göra det även i resten av uppgiften. Eftersom fyrhörningarna är likformiga ska vi få kvoten ovan oavsett vilka motsvarande sidor vi dividerar. Detta kan vi använda för att bestämma och och vi börjar med att ställa upp en ekvation med
MultEqn

UseCalc

Slå in på räknare

b Nu sätter vi den kända kvoten lika med för att lösa ut
CrossMult

Korsmultiplicera

DivEqn

UseCalc

Slå in på räknare

Sida är alltså och sida är
Regel

Likformiga trianglar

För att avgöra om två trianglar är likformiga behöver man inte känna till alla sidor och vinklar exakt. Det räcker att vissa vinklar eller förhållanden mellan sidor stämmer. Det finns tre olika likformighetsfall:

Om något av dessa fall är uppfyllt, innebär det att trianglarna är likformiga — och då gäller också de andra likformighetsvillkoren.

Övning

Öva på att lösa problem med likformiga trianglar

För det givna diagrammet, hitta den saknade längden.

Koncept

Kongruens

Om två geometriska figurer både är likformiga och har samma storlek, dvs. är kopior av varandra, säger man att de är kongruenta. Så länge dessa krav är uppfyllda spelar det ingen roll hur de är ritade, vilket innebär att även spegelvända och roterade figurer kan vara kongruenta med varandra.

Tre kongruenta fyrhörningar
Trots att den blå figuren är spegelvänd och den röda har roterats jämfört med den gröna är de alltså alla kongruenta med varandra. Man kan ange att fyrhörningarna ovan är kongruenta genom att skriva vilket utläses och är kongruenta med varandra.
Regel

Kongruenta trianglar

För att avgöra om två trianglar är kongruenta med varandra behöver man inte veta att alla sidor och alla vinklar överensstämmer med varandra. Det finns tre kongruensfall där det räcker att man känner till en kombination av tre vinklar eller sidor. Om något av följande fall är uppfyllda gäller automatiskt även de andra kongruensvillkoren.

Om något av dessa fall är uppfyllt, innebär det att trianglarna är kongruenta — och då gäller också de andra kongruensvillkoren.

Exempel

Vilka trianglar är kongruenta?

Vilka av trianglarna och kan du med säkerhet säga är kongruenta med triangeln

Fem trianglar varav vissa är kongruenta

Ledtråd

Kom ihåg de tre kriterierna för triangelkongruens: SVS, SSS och VSV. Dessa bygger på specifika kombinationer av sidor och vinklar. Räcker det med att alla vinklar är lika för att garantera kongruens — eller bara likformighet?

Lösning

Vi jämför trianglarna med en i taget.

Triangel

Vi ser att och har en vinkel som är lika stor. Vi vet även att sidorna som bildar den vinkeln är lika stora i båda trianglarna.

Fem trianglar varav vissa är kongruenta

Detta innebär att trianglarna blir kongruenta enligt sida-vinkel-sida-fallet (SVS).

Triangel C

Triangel har lika stora vinklar som men detta innebär inte nödvändigtvis att de är kongruenta.

Fem trianglar varav vissa är kongruenta

De är likformiga och skulle kunna vara kongruenta men det vet vi inte säkert.

Triangel

Vi ser att har en lika stora vinkel som och även att två av sidorna är lika stora. Men vinkeln som är lika stor ligger mellan "fel" sidor.

Fem trianglar varav vissa är kongruenta

Trianglarna kan alltså inte vara kongruenta.

Triangel

Trianglarna har lika stora sidor och då kan vi vara säkra på att trianglarna är kongruenta enligt sida-sida-sida-fallet (SSS).

Fem trianglar varav vissa är kongruenta

Sammanfattning

De trianglar som är kongruenta med är och

{{ grade.displayTitle }}
Laddar innehåll