Likformighet och kongruens

I likformiga figurer är kvoten mellan motsvarande sidor lika stora. Det innebär att vi får samma kvot när vi dividerar den stora triangelns bas med den lilla triangelns bas som när vi dividerar den stora triangelns högra sida med den lilla triangelns högra sida: z/4=20/5. Vi löser nu ekvationen.

Den okända sidan z är alltså 16 le.

Vi använder samma lösningsmetod som i föregående deluppgift och börjar med att ställa upp ekvationen x/9=99/11. Denna visar att kvoten mellan motsvarande sidor i trianglarna är lika. Genom att lösa ekvationen bestämmer vi x.

Sidan x är alltså 81 le.

Eftersom rektanglarna är likformiga är förhållandet mellan motsvarande sidor likadant. Vi vrider den mindre rektangeln för att enklare se hur kort- och långsidor förhåller sig till varandra.

Vi får samma förhållande om vi delar den stora rektangelns långsida med den lilla rektangels långsida som om vi delar den stora rektangelns kortsida med kortsidan för den lilla. Gör vi det får vi sambandet 15/x = 9/6. Nu har vi en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Den okända sidan x är alltså 10 le.

För att lättare se vilka sidor som motsvarar varandra roterar vi den stora femhörningen.

Här vill vi gärna ha x i täljaren, så vi dividerar den stora femhörningens sidor med motsvarande sidor i den lilla femhörningen. Det ger oss ekvationen x1 = 52, som vi kan lösa ut x ur.

Längden på den okända sidan x är 2,5 le.

Om Annas flagga är likformig med den stora flaggan ska förhållandet mellan långsidan och kortsidan vara samma för båda flaggor. Vi bestämmer förhållandet för den stora flaggan genom att dividera långsidan med kortsidan. Stor långsida/Stor kortsida = 160/100 Vi ska få samma förhållande om vi dividerar långsidan för den lilla flaggan med kortsidan. Vi känner dock inte till långsidan, så vi kallar den x. Liten långsida/Liten kortsida = x/8 Nu kan vi sätta dessa förhållanden lika med varandra och lösa ut x för att bestämma långsidan på den lilla flaggan.

Långsidan ska alltså vara 12.8 cm för att Annas flagga ska vara likformig med den svenska flaggan.

För att lättare se vilka sidor som motsvarar varandra vrider vi figurerna så att motsvarande sidor har samma relativa position. Det enklaste är att identifiera de längsta eller kortaste sidorna och vrida en eller båda figurer så att dessa sidor hamnar på samma ställe. Vi vrider båda figurer.

Nu kan vi para ihop motsvarande sidor i figurerna: a → x, b → y, c → z, d → w.

Vi vrider figurerna så att de längsta sidorna, dvs. e och u ligger längst ner. För att få figurerna att matcha spegelvänder vi även den mindre femhörningen.

Nu kan vi para ihop motsvarande sidor i figurerna: a → w, b → z, c → y, d → z, e → u.

Vi vet inget om femhörningarnas vinklar så enda sättet att avgöra om de är likformiga är med sidlängderna. Vi vänder den ena så att de får samma position.

Vi avgör sedan likformighet på två sätt.

Avgör likformighet med beräkningar

Om figurerna är likformiga ska kvoten mellan alla motsvarande sidor vara lika stor. Det räcker att vi hittar två kvoter som inte är samma för att veta att de inte är likformiga. Vi bestämmer kvoten mellan de minsta sidorna i figuren och går sedan medurs i figurerna: 0,48/0,8=0,6, 0,6/1=0,6, 0,63/1=0,63. Kvoten mellan 0,63 och 1 är större än övriga kvoter som beräknades. Detta innebär att figurerna inte är likformiga.

Avgör likformighet med resonemang

I den större femhörningen är två sidor 1 men i den mindre är motsvarande sidor 0,6 respektive 0,63. Om de är likformiga ska sidorna 0,6 och 0,63 vara lika stora eftersom de motsvarande sidorna i den större femhörningen är det. De är alltså inte likformiga.

Vi vet att fyrhörningarna är likformiga och att den stora har sidlängder som är 2.5 gånger så långa som den lilla. Det innebär till exempel att sidan 4 på den stora fyrhörningen är 2.5 gånger så stor som x på den lilla. Det kan vi skriva som 2,5 * x = 4.

Dividerar vi båda sidor med 2,5 får vi x = 4/2,5 = 1,6. Den okända sidan x är alltså 1,6 m.

För likformiga figurer får man samma kvot om man dividerar motsvarande sidor med varandra. Vi får alltså samma kvot om vi dividerar stora triangelns bas med lilla triangelns bas som om vi dividerar stora triangelns högra sida med samma sida på den lilla. Det ger oss att 10/x = 8/6. Det hade gått lika bra att dela sidlängderna för den lilla triangeln med de för den stora, så länge man gör på samma sätt på båda sidor om likhetstecknet: x/10 = 6/8. Båda dessa ekvationer ger samma svar, men vi väljer att lösa den andra där x redan står i täljaren.

Den okända sidan x har längden 7,5 le.

Vi känner till basen för båda trianglarna, vilket gör att vi kan ställa upp en kvot för att bestämma de båda okända sidorna. Vi delar basen för den stora triangeln med basen för den lilla och sätter det lika med samma division för den högra sidan i trianglarna. 15/10 = y/9,2. Vi löser nu ut y.

Nu har vi bestämt y: y = 13,8 le.

Eftersom figurerna är likformiga gäller att om vi dividerar basen i den stora triangeln med basen i lilla kommer denna kvot vara samma som om vi dividerar någon av de andra sidorna i stora triangeln med motsvarande den lilla. Vi använder detta samband ställa upp ekvationen x/2,4=4,2/1,05. Vi löser nu ekvationen för att bestämma x.

Vi använder samma metod igen för att bestämma y. Ekvationen blir då y/2,1=4,2/1,05. Genom att lösa denna kan vi bestämma y.

Sidornas längder är x=9,6 le. och y=8,4 l.e.

Vi utnyttjar även här att kvoten mellan motsvarande sidor i likformiga figurer är lika. Vi börjar med att dividera x med motsvarande sida 2,5 i den mindre fyrhörningen och likställa det med 18 dividerat på 6. Då får vi ekvationen x/2,5=18/6. Vi löser denna för att bestämma x.

Vi fortsätter nu med att bestämma y, och gör det med samma metod som tidigare. Vi använder återigen den kända kvoten mellan figurernas ovansida.

Nu återstår bara att bestämma z. För att få variabeln i täljaren vänder vi på sambandet och delar den lilla figurens sidor med motsvarande i den stora.

Vi kan alltså konstatera att sida x är 7,5 le., sida y är 6 le. och sida z är 5 le.

Eftersom kongruenta trianglar har lika långa sidor och lika stora vinklar kan vi bestämma de saknade sidorna och vinklarna genom att läsa av motsvarande vinklar i triangeln bredvid. Det innebär alltså att vi genom att jämföra med den gula triangeln ser att x= 4 le. och u=125,1^(∘) i den gröna triangeln. På motsvarande sätt kan vi bestämma den gula triangelns sidor och vinklar och får då två trianglar som är helt identiska med avseende på vinklar och sidor.

Övriga okända sidor och vinklar är alltså: z=5 le., u=125,1^(∘), v=30,8^(∘) och w=24,1^(∘).

Vi vet att rektanglarna är likformiga. Vi kallar långsidan på B för x.

Vi delar stora långsidan med lilla långsidan och sätter detta lika med samma kvot för kortsidorna, vilket ger en ekvation som vi kan lösa ut x ur.

Långsidan för rektangel B är alltså 18 cm.

Två figurer är kongruenta om de är identiska, dvs. kopior av varandra. För att vara det måste

• motsvarande vinklar i figurerna vara lika stora och
• motsvarande sidor i figurerna vara lika stora.

Figur A

Figur A har lika stora sidor som den gröna parallellogrammen, men är inte kongruent med den eftersom den har vinklarna 90^(∘) i varje hörn och inte 63^(∘) och 117^(∘).

Figur B

I figur B är alla vinklar lika stora, men sidorna är inte lika långa. Den är alltså inte kongruent med den gröna parallellogrammen.

Figur C

Figur C har samma sidlängder och samma vinklar som den gröna parallellogrammen. Alltså är den kongruent med den. Att den är roterad spelar ingen roll.

För att avgöra om två figurer är likformiga måste följande krav vara uppfyllda:

• Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
• Kvoten mellan två motsvarande sidor i figurerna är likadan för alla sidor.

Med denna information kan vi komplettera den första texten.

1. Om två figurer har identiska vinklar och kvoten mellan motsvarande sidor är lika stora är figurerna likformiga.

Det finns tre specialfall som gör att man direkt kan avgöra kongruens i trianglar:

• Trianglar med två lika sidor och lika stor vinkel mellan dem är kongruenta (SVS).
• Trianglar med två lika vinklar och lika stor mellanliggande sida är kongruenta (VSV).
• Trianglar med lika stora sidor är kongruenta (SSS).

Endast i SSS-fallet har vi tre av en och samma sak som ska överensstämma för att ge kongruenta trianglar. Vi kan nu komplettera den andra texten.

2. Trianglar är kongruenta om deras tre sidor är identiska.

Likformiga figurer har samma form men kan vara större eller mindre. Är de lika stora kallar man de likformiga figurerna för kongruenta. Vi kompletterar nu den sista texten.

3. Likformiga figurer är förminskningar eller förstoringar av varandra. Om likformiga figurer även är lika stora är de också kongruenta.

Eftersom trianglarna har tre lika långa sidor uppfyller de kongruensfallet sida-sida-sida (SSS), och är därför kongruenta.

Vi undersöker fallet SSS. Vi vet två sidor i varje triangel, och ser att dessa längder är olika. Det innebär att trianglarna kan ha maximalt en sida som är lika. Därför kan trianglarna inte uppfylla kongruensfallet sida-sida-sida. Då vi visat att ett av kongurensfallen inte gäller innebär det att de andra inte heller gäller, så trianglarna är inte kongruenta.

I figuren ser vi att trianglarna har två motsvarande sidor som är lika långa. Dessutom kan vi med hjälp av triangelns vinkelsumma bestämma den okända vinkeln i högra triangeln till 120^(∘), eftersom 180^(∘)-42^(∘)-18^(∘)=120^(∘).

Det innebär att trianglarna har två motsvarande sidor som är lika långa samt en mellanliggande vinkel som är lika stor. Kongruensfallet sida-vinkel-sida (SVS) är alltså uppfyllt, så trianglarna är kongruenta.

Om trianglarna är kongruenta ska de vara exakt lika stora, vilket kan visas genom att kontrollera att deras uppsättning av sidor är likadana (SSS). För tillfället saknas en sida i båda trianglar, men eftersom de är rätvinkliga kan vi räkna ut dem med hjälp av Pythagoras sats. Vi kallar den okända sidan i triangel A för a och bestämmer den.

Den okända kateten i triangel A är alltså 4 och eftersom vi ser att även triangel B har kateterna 3 och 4 så måste hypotenusan också vara 5 enligt Pythagoras sats. Trianglarna har därmed samma sidlängder och är därför kongruenta enligt SSS.

För att två trianglar ska vara kongruenta måste de ha identiska vinklar, men även lika långa sidor. De har samma vinklar — men är de lika stora? Det ser ut så, men om ena figuren bara är lite större eller mindre är trianglarna inte kongruenta. Vi har ingen information om sidlängderna så man vet inte om trianglarna är kongruenta. Oskar har alltså fel.

Vi roterar den ena triangeln för att kunna jämföra dem.

Nu ser vi att trianglarna inte är lika stora och därmed inte kongruenta.