Likformighet och kongruens

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Likformighet

Två geometriska figurer med samma form men inte nödvändigtvis samma storlek kallas likformiga. Om två figurer är likformiga gäller följande.

  • Motsvarande vinklar i figurerna är lika stora.
  • Kvoten, dvs. förhållandet, mellan två motsvarande sidor i figurerna är lika stor för alla sidor.

Med "motsvarande" menas vinklar och sidor som har samma relativa placering i figurerna, t.ex. hypotenusan i två likformiga rätvinkliga trianglar.

Två likformiga trianglar

Notation

Likformighet: \sim
Regel

Likformiga trianglar

För att avgöra om två trianglar är likformiga räcker det med att undersöka om två par av motsvarande vinklar är likadana. Om detta gäller måste även vinklarna i det tredje paret vara lika stora eftersom vinkelsumman är 180180^\circ i alla trianglar.

Två likformiga trianglar
För tre givna vinklar går det bara att rita upp en typ av triangel, vilket innebär att förhållandet mellan de motsvarande sidorna måste vara likadant. Delar man sidorna i en av trianglarna med motsvarande sidor i den andra triangel får man alltså en konstant kvot.

ABDE=BCEF=ACDF\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF}

Uppgift

Figurerna är likformiga med längder angivna i meter. Bestäm de okända sidorna xx och y.y.

två likformiga fyrhörningar
Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Kongruens

Om två geometriska figurer både är likformiga och har samma storlek, dvs. är kopior av varandra, säger man att de är kongruenta. Så länge dessa krav är uppfyllda spelar det ingen roll hur de är ritade, vilket innebär att även spegelvända och roterade figurer kan vara kongruenta med varandra.

Tre kongruenta fyrhörningar

Trots att den blå figuren är spegelvänd och den röda har roterats jämfört med den gröna är de alltså alla kongruenta med varandra.

Notation

Kongruens: \cong
Regel

Kongruenta trianglar

För att avgöra om två trianglar är kongruenta med varandra behöver man inte veta att alla sidor och alla vinklar överensstämmer med varandra. Det finns tre kongruensfall där det räcker att man känner till en kombination av tre vinklar eller sidor. Om något av följande fall är uppfyllda gäller automatiskt även de andra kongruensvillkoren.

Sida-Sida-Sida (SSS)

Trianglar med lika stora sidor är kongruenta.

Sida-Vinkel-Sida (SVS)

Trianglar med två lika stora sidor och lika stor vinkel mellan dem är kongruenta.

Vinkel-Sida-Vinkel (VSV)

Trianglar med två lika stora vinklar och lika stor mellanliggande sida är kongruenta.
Uppgift

Vilka av trianglarna B,C,DB,\,C,\,D och EE kan du med säkerhet säga är kongruenta med triangeln A?A?

Fem trianglar varav vissa är kongruenta
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna nedan är likformiga. Bestäm de okända sidorna. Observera att figurerna inte är skalenliga.

a
likformiga trianglar
b
likformiga trianglar
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att figurerna är likformiga, bestäm de okända sidorna.

a
Två likformiga rektanglar
b
Två likformiga femhörningar
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En svensk flagga med långsidan 160160 cm och kortsidan 100100 cm uppfyller gällande flagglag. Anna vill göra en liten bordsflagga med kortsidan 88 cm.

ID2559NoText.svg

Hur lång ska Anna göra sin flagga för att den ska vara likformig med den stora flaggan?

Nationella provet bedömningsexempel 2c/2b
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange motsvarande sidor i de likformiga figurerna.

a
Två likformiga blå fyrhörningar
b
två likformiga gröna femhörningar
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om femhörningarna är likformiga.

två fyrhörningar som inte är likformiga
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Noppe ska bygga en pool på en del av sin tomt. Han vill väldigt gärna att poolen ska vara likformig med den delen av tomten så att det ser fint ut när han flyger över den i sin helikopter.

Bestäm de okända sidorna på poolen om den större fyrhörningen har 2.52.5 gånger så långa sidor.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Givet att trianglarna är likformiga, bestäm de okända sidorna.

a
Två likformiga trianglar
b
Två likformiga trianglar
1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figurerna nedan är likformiga. Bestäm de okända sidorna. Figurerna är inte skalenliga.

a
likformiga trianglar
b
likformiga fyrhörningar
1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna är kongruenta. Bestäm sidorna xx, yy och zz samt vinklarna uu, vv och ww.

kongruenta trianglar
1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två likformiga rektanglar har olika mått. Rektangel AA har sidorna 44 cm och 66 cm. Rektangel BB har en sida som är 1212 cm. Vilka mått kan den andra sidan hos rektangel BB ha?

Nationella provet VT12 2b/2c
1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av figurerna ACA-C är kongruenta med den gröna parallellogrammen? Motivera ditt svar.

Fyra fyrhörningar
1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Fyll i de saknade orden i texterna:

a

Om två figurer har identiska ...... och kvoten mellan ...... sidor är lika stora är figurerna likformiga.

b

Trianglar är kongruenta om deras tre ...... är ......

c

Likformiga figurer är ...... eller ...... av varandra. Om likformiga figurer även är lika stora är de också ......

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är paren av trianglar kongruenta?

a
kongruenta trianglar
b
ej kongruenta trianglar


c
kongruenta trianglar
1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är nedanstående trianglar kongruenta? Motivera.

Två rätvinkliga trianglar med sidorna 3,4 och 5
1.15
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Oskar menar att nedanstående trianglar är kongruenta. "Vi ser ju att de har samma vinklar och även att de är lika stora," säger han. Har Oskar rätt?

två likformiga trianglar som inte är kongruenta
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande trianglar är likformiga. Bestäm okända vinklar och sidor i båda trianglar. Längderna är angivna i cm.

två likformiga och liksidiga trianglar med sidorna 4 respektive 5
2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm xx om de två rektanglarna är likformiga.

Två likformiga rektanglar
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Parallellogrammen är likformiga. Bestäm samtliga sidor i båda figurerna om måtten är i mm.

Två likformiga parallellogram
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren finns tre trianglar T1,T_1, T2T_2 och T3T_3 utritade.

Tre likformiga trianglar med sidlängder och vinklar markerade
a

Vilka av trianglarna är likformiga?

b

Är några av trianglarna kongruenta?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I rektangeln har man dragit diagonaler från AA till CC och från BB till D.D. Motivera att de gröna respektive röda trianglarna är kongruenta.

Fyrhörning med två diagonaler utsatta
2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skyler ska lösa följande uppgift: "En triangel med sidorna 7,7, 55 och 33 cm är likformig med en annan triangel som har sidorna 14,14, xx och yy cm. Vad kan xx och yy vara?" Hon har löst uppgiften på följande vis.

Rutat papper med uträkningar om likformighet

Hennes lärare säger att hon inte har löst uppgiften helt korrekt. Vad har Skyler gjort för fel?

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna är likformiga. Bestäm sidorna xx och yy.


a
Två likformiga rätvinkliga trianglar
b
Två likformiga rätvinkliga trianglar
2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Trianglarna i figuren är likformiga. Bestäm yy.

Två likformiga trianglar där ena triangeln är 4 gånger så stor
2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I triangel ABCABC är sidorna ACAC och BCBC lika långa och bisektrisen CDCD delar triangeln i två nya, rätvinkliga, trianglar. Visa att dessa två trianglar, dvs. ACD\triangle ACD och BCD,\triangle BCD, är kongruenta.

kongruenta trianglar
2.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Finns det tillräckligt mycket information om de två trianglarna för att avgöra om de är kongruenta?

a
ej kongruenta trianglar
b
möjligen kongruenta trianglar
c
ej kongruenta trianglar
2.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att XYZ\triangle XYZ är likformig med XYU.\triangle XYU.

Inskriven rätvinklig triangel i en annan rätvinklig triangel
2.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I en rätvinklig triangel ABCABC finns en grå kvadrat AEFDAEFD inritad. Sträckan BEBE är 44 cm och sträckan CDCD är 22 cm. Se figur.

Rätvinklig triangel med inskriven kvadrat

Visa att den grå kvadratens area är 88 cm2.^2.

Nationella provet VT15 2b/2c
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I den stora femhörningen finns en likformig femhörning inskriven. Bestäm de okända sidorna xx och y.y.

Två likformiga femhörningar, varav en är inskriven i den andra
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm ett uttryck för höjden hh i triangeln beroende på sidlängderna xx och z.z.

Inskriven rätvinklig triangel i en annan rätvinklig triangel
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Två satelliter, S1S_1 och S2,S_2, kretsar runt jorden i cirkulära banor. Bortser man från månens gravitation kan S1S_1 befinna sig i en omloppsbana 320320 km ovanför jordens mitt och S2S_2 220000220\,000 km ovanför mittpunkten. Vid vissa tidpunkter bildas en rät vinkel mellan satelliterna och solens yta.

solen och två satelliter som kretsar runt jorden

Bestäm avståndet mellan solens yta och jorden.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Motivera varför VSS (Vinkel-Sida-Sida) inte garanterar kongruens mellan två trianglar.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

ABCDABCD är ett vitt rektangelformat pappersark med grå baksida (se övre figuren). Arket viks så att vikningslinjen går genom hörnet AA och så att hörnet BB hamnar på sidan CDCD (se undre figuren).

Figur från uppgift 18 NP MaB 00


NP-papper.svg

Beräkna arean av den uppvikta (grå) delen av pappersarket. Beräkningar som bygger på uppmätta värden godtas ej.

Nationella provet HT00 MaB
3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren har två par parallella linjer ritats ut: L1L_1 och L2L_2 samt L3L_3 och L4.L_4. Visa att x=y.x = y.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sträckan ACAC är diameter i cirkeln och ACAC och BDBD skär varandra i en rät vinkel.

cirkel med diameter och korda med rät vinkel

Visa att ACAC delar BDBD på mitten.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}