Likformighet och kongruens

Två av den mindre triangelns sidor är 4cm och en vinkel är 60^(∘). Två sidor är lika långa vilket betyder att triangeln är likbent. Detta innebär att triangelns okända vinklar måste vara lika stora.

Låt oss kalla de okända vinklarna för v. Triangelns vinkelsumma är 180^(∘) vilket ger oss en ekvation med v.

Samtliga vinklar i den mindre triangeln är alltså 60^(∘) vilket innebär att den är liksidig så även den sista sidan är 4cm. Om den större triangeln är likformig måste den också ha vinklar på 60^(∘) och därmed också vara liksidig.

Vi vet att de två rektanglarna är likformiga, dvs. förhållandet mellan motsvarande sidor ska vara likadant. Vrider vi den lilla rektangeln ser vi tydligare hur kort- och långsidor förhåller sig till varandra.

Vi delar långsidan 12 för den stora rektangeln med långsidan x för den lilla rektangeln och sätter det lika med kortsidan x för den stora rektangeln dividerat med kortsidan 3 för den lilla. 12/x = x/3 Multiplicerar vi båda led med x får vi en vanlig andragradsekvation.

Variabeln x är en längd, så den måste vara positiv, vilket ger x = 6 le.

I en parallellogram är motstående sidor lika långa. Därför vet vi att även den vänstra sidan i den lilla parallellogrammet är 10mm.

Det gör att vi kan använda likformighet för att ställa upp en ekvation som innehåller x: 2x+3/10=9/x. Det kommer att bli en andragradsekvation med både x^2-term, x-term och konstantterm så vi skriver om den på pq-form.

Nu löser vi ekvationen med pq-formeln.

Eftersom en sträcka alltid är positiv förkastar vi den negativa roten. Det ger att x=6mm. Om vi vill kan vi nu beräkna den andra sidan, 2x+3, som då blir 2 * 6+3=15 mm. Den stora parallellogrammen har alltså sidorna 9 och 15mm och den lilla har sidorna 6 och 10mm.

I triangeln T_1 känner vi till samtliga vinklar och sidlängder. Vi använder alltså denna triangel för att avgöra om T_2 och T_3 är likformiga. Vi börjar med att vrida trianglarna T_2 och T_3 så att motsvarande sidor har samma relativa position som i triangel T_1.

I T_2 känner vi endast till sidlängderna. Om förhållandet mellan motsvarande sidor i T_1 och T_2 är lika stora är trianglarna likformiga. Vi delar sidorna i T_1 med motsvarande sidor i T_2: 2,25/3=0,75, 1,35/1,8=0,75, 1,5/2=0,75. Förhållandet mellan sidlängderna är alltså 0,75 för alla tre sidor, vilket innebär att T_1 och T_2 är likformiga. För T_1 och T_3 är två vinklar i trianglarna är identiska, och då måste även den tredje vinkeln vara identisk eftersom vinkelsumman i T_3 ger att den sista vinkeln är 180^(∘) - 36^(∘) - 40^(∘) = 104^(∘). Alla tre vinklar i T_1 och T_3 är likadana, vilket innebär att de är likformiga. Eftersom T_1 och T_2 är likformiga har även de identiska vinklar, samma som T_3. Därför måste även T_2 och T_3 vara likformiga med varandra, vilket betyder att alla tre trianglar är likformiga.

För att visa kongruens mellan trianglar räcker det med att man känner till att vissa kombinationer av vinklar och sidor är likadana. För båda par trianglar i figuren känner vi till en sida som är likadan: de som är rektangelns kort- och långsidor. Det tyder på att vi kan visa fallet VSV, alltså att en sida samt de närliggande vinklar är likadana i två trianglar, för att bevisa kongruens.

Gröna trianglar

Rektangelns långsidor har samma längd, markerad med x, och är parallella. Det betyder att alternatvinklarna ∧ ACB och ∧ CAD är lika stora. Av samma anledning är ∧ BDA och ∧ CBD lika stora.

Vi kan nu se att två vinklar samt den mellanliggande långsidan är identiska i de två gröna trianglarna. Därför är trianglarna kongruenta enligt VSV.

Röda trianglar

Vi motiverar kongruensen för de röda trianglarna på precis samma sätt. En sida i varje triangel utgörs av en kortsida i rektangeln, som vi kan ge längden y. Dessa är parallella, vilket betyder alternatvinklarna som bildas av diagonalerna är lika stora.

Återigen ser vi att två vinklar och deras mellanliggande sida är identiska. De röda trianglarna är kongruenta enligt VSV.

Skyler har gjort alla uträkningar korrekt, och dessutom svarat med rätt enhet. Felet ligger i hur hon har valt att placera ut sidorna i trianglarna. Det finns inget i uppgiftstexten som talar om vilken sida som motsvarar vilken. Det hade varit lika korrekt att exempelvis rita någon av följande trianglar.

Sidan 14cm i den större triangeln skulle alltså lika gärna kunna motsvara sidan 5 eller 3cm. Vi hade då fått kvoterna 14/5=2,8 eller 14/3 ≈ 4,67. Genom att multiplicera övriga sidor i den mindre triangeln med antingen kvoten 2, 2,8 eller 4,67 får vi tre olika möjliga trianglar.

För att lösa uppgiften helt korrekt hade hon alltså behövt svara med alla möjliga lösningar.

Vi söker hypotenusan i den lilla triangeln, men för att använda likformighet behöver vi veta hypotenusan i den stora. Eftersom triangeln är rätvinklig kan vi beräkna den med Pythagoras sats.

Kateterna är 8,1 le. och 10,8 le.

Eftersom c är en längd förkastar vi den negativa roten. Nu kan vi bestämma x genom att vi vet att förhållandet mellan de kända kateterna och hypotenusorna ska vara samma.

Det ger oss ekvationen x13,5= 38,1.

Den okända kateten är alltså 5 le. Det hade även gått bra att först använda likformighet för att beräkna den okända kateten i den lilla triangeln och därefter använda Pythagoras sats på den.

Vi börjar med att rita av dem åt samma håll. Vi kallar den sista sidan i den stora triangeln för b. Nu kan vi på motsvarande sätt som i förra deluppgiften beräkna motsvarande sida till den okända med Pythagoras sats.

Den sista kateten är 6 le.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och ställer upp en ekvation som innehåller y, med hjälp av likformighet.

Den okända kateten är 5 le.

Det går att ställa upp ett uttryck med hjälp av likformighet som beskriver skalan mellan trianglarna. Delar vi basen för den den stora triangeln med basen för den lilla triangel ska vi få ett uttryck som anger hur många gånger större längderna i den stora triangeln är jämfört med de i den lilla: 2x/x/2. Detta uttryck innehåller x i både täljare och nämnare, vilket innebär att det kan förkortas bort.

Den stora triangeln har 4 gånger så långa sidor jämfört med den lilla triangeln. Det innebär att sidan y måste vara en fjärdedel av 124. Vi får alltså y = 124/4 = 31. Sidan y är alltså 31m lång.

Två kongruenta trianglar uppfyller samtliga kongruensfall för trianglar. Vi behöver dock endast undersöka ett av fallen för att vara säkra på om trianglarna är kongruenta, för i så fall gäller även de andra. Vi kan t.ex. visa vinkel-sida-vinkel (VSV). Då sidorna AC och BC är lika långa är triangeln ABC likbent. Därför är även basvinklarna DAC och CBD lika stora.

Dessutom är de två toppvinklarna ACD och DCB lika stora eftersom de bildats av en bisektris.

Trianglarna ACD och BCD har alltså en följd av vinkel-sida-vinkel som är lika, så de är kongruenta.

I detta fall vet vi endast något om trianglarnas sidor, inget om deras vinklar, så det är eventuellt kongruensfallet sida-sida-sida (SSS) som vi skulle kunna visa att trianglarna uppfyller.

Två sidor i varje triangel är utritade och de är olika långa. Den tredje sidan i trianglarna skulle kunna vara lika, men det räcker inte för att trianglarna ska uppfylla SSS. Därför har vi tillräckligt med information för att avgöra om de är kongruenta (vilket de alltså inte är).

Även i detta fall är det endast trianglarnas sidor vi har någon information om. Men går det att avgöra om kongruensfallet SSS är uppfyllt?

I den vänstra triangeln känner vi till en sida, 9, och i den högra triangeln två sidor, 2 och 4. Den tredje sidan i den högra triangeln skulle kunna vara 9, och de två okända sidorna i den vänstra skulle kunna vara just 2 och 4. Men det vet vi ingenting om. Därför kan vi inte avgöra om trianglarna är kongruenta eller inte.

Båda trianglar har en rät vinkel och en katet med längd 14. Den vänstra triangeln har en katet med längd 22 och den högra en hypotenusa med längd 25.

Eftersom båda trianglar är rätvinkliga kan man räkna ut de okända katetlängderna med Pythagoras sats, och efter det avgöra om de är kongruenta enligt SSS-fallet. Det finns alltså tillräckligt med information för att avgöra om de är kongruenta eller inte.

Vi använder Pythagoras sats för att beräkna om hypotenusan i den vänstra triangeln är 25.

Hypotenusan i den vänstra triangeln är ca 26. Eftersom 26≠25 innebär det att trianglarna inte är kongruenta.

Ett sätt att undersöka likformighet är att kolla om de två trianglarna har lika stora vinklar. Vi tittar på △ XYZ och △ XYU för att se vilka vinklar som är gemensamma. Både △ XYZ och △ XYU har en rät vinkel. Vidare innehåller båda trianglarna hörnet X, vilket innebär att de delar den tillhörande vinkeln.

Vi delar upp figuren i de två △ XYZ och △ XYU. Vi roterar och spegelvänder △ XYU så att den har samma orientering som △ XYZ.

I båda trianglarna känner vi till två vinklar som är likadana. Med hjälp av att vinkelsumman ska vara 180^(∘) går det att bestämma de sista vinklarna, som då också kommer att vara lika. Alla tre vinklar i de två trianglarna är likadana, vilket innebär att trianglarna är likformiga.

För att beräkna kvadratens area måste vi först bestämma sidlängden, som vi kan kalla för x. Sedan undersöker vi om de två mindre gröna trianglarna som bildas är likformiga. För detta krävs att vi kan visa att två vinklar är lika stora.

Vi vet redan att båda har en rät vinkel. Dessutom är vinkeln ∧ EBF är lika stor som ∧ DFC eftersom de är likbelägna vinklar vid de två parallella sträckorna AB och DF. Därmed vet vi att alla motsvarande vinklar är lika i de två trianglarna, vilket ger att de är likformiga.

Vi kan alltså utnyttja likformighet för att ställa upp ett samband mellan deras sidor. Vi delar basen för den stora triangeln med basen för den lilla och sätter detta lika med kvoten för de stående kateterna. Vi får då x/2 = 4/x. Vi korsmultiplicerar.

Nu skulle vi kunna dra roten ur detta för bestämma kvadratens sidlängd till sqrt(8)cm, men egentligen behöver vi inte göra det. Vi söker kvadratens area som ges av sidlängden i kvadrat, alltså x^2. Den vet vi är 8, dvs. kvadratens area är 8cm^2.