Kordasatsen och bisektrissatsen

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Korda
Kordasatsen
Bisektris
Bisektrissatsen

Förkunskaper

Cirkel
Likformiga trianglar
Förhållande
Ekvation

Koncept

Korda

En rät linje som går från en punkt på en cirkels rand till en annan punkt på randen kallas korda.

En korda genom cirkelns mittpunkt kallas för diameter.

Regel

Kordasatsen

När två kordor skär varandra delas de i fyra kortare sträckor: $a,$ $b,$ $c$ och $d .$

Förhållandet mellan längderna på de fyra sträckor som bildas ges av kordasatsen.

$a b = c d$

Produkten av den ena kordans delträckor är alltså lika med produkten den andra kordans delsträckor. Man kan bevisa detta samband med bl.a. randvinkelsatsen.

Bevis

Betrakta hjälplinjerna $A C$ och $B D .$

Eftersom $\land C A B$ och $\land C D B$ är randvinkel som spänner över samma båge $C B,$ är de kongruenta vinklar. På samma sätt är $\land A C D$ och $\land A B D$ inskrivna vinklar som spänner över samma båge $A D .$ Därför är de också kongruenta vinklar.

Följaktligen, enligt vinkel-vinkel-likformighetsfallet, är

△ A E C

och

△ D E B

likformiga trianglar. Denna relation innebär att följande förhållande kan ställas upp.

\frac{a}{d} = \frac{c}{b}

Slutligen erhålls det önskade resultatet genom korsmultiplikation.

$a b = c d$

Exempel

Bestäm längden med kordasatsen

Vad är cirkelns radie? Måtten är i cm.

Två kordor i en cirkel, varav en är en diameter

Ledtråd

Använd kordasatsen för att hitta längden av det saknade segmentet av diametern. Radien är hälften av diametern.

Lösning

Två kordor är dragna i cirkeln. Tre av de delsträckor som bildas är kända. Vi kallar den okända för $x .$

Kordasatsen ger sambandet

x \cdot 1 x = 2 \cdot 1, 5 ⇕ = 3 .

x

är lika med

3

cm, vilket betyder att kordan som går genom mittpunkten, alltså diametern, har längden

3 + 1 = 4

cm.

Radien är hälften av diametern, dvs. $2$ cm.

Koncept

Bisektris

En bisektris är en stråle som delar en vinkel i två lika stora delvinklar.

Utforska

Undersöker vinkelbisektriser i trianglar

Nästa del av denna lektion fokuserar på trianglar. Diagrammet visar en triangel med en av dess vinkelbisektriser ritad. Flytta triangelns hörn och hitta ett samband mellan de visade segmentmåtten.

Regel

Bisektrissatsen

En bisektris genom en av vinklarna i en triangel kommer att dela motstående sida i två mindre delsträckor.

Enligt bisektrissatsen är förhållandet mellan dessa mindre delsträckor samma som förhållandet mellan de andra sidorna i triangeln.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Detta samband kan bevisas med hjälp av likformighet.

Bevis

När en bisektris dras från en vinkel i en triangel delas den motstående sidan in i två nya delsträckor.

Enligt bisektrissatsen är förhållandet mellan dem samma som för de andra sidorna i triangeln.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Genom att förlänga bisektrisen tills den möter en sträcka som utgår från triangelns övre hörn och har längden $b$ skapas fler trianglar.

Den blå triangeln har två lika långa sidor, $b,$ så den är likbent. Det betyder att basvinklarna är lika stora. Det bildas också två vertikalvinklar där bisektrisen möter triangelsidan. Dessa är alltid lika stora.

I den gröna och blå triangeln är två motsvarande vinklar lika stora. Det betyder att de är likformiga. Förhållandet mellan

a

och

b

är därför lika stort som förhållandet mellan

c

och

d .

Då kan man ställa upp

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} .

Detta är bisektrissatsen.

Q.E.D.

Övning

Öva på triangelns bisektrissatsen

Hitta måttet på segmentet enligt vad som anges i appletprogrammet.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Bevis

Ledtråd

Lösning

Bevis