Kordasatsen och bisektrissatsen

Vi använder kordasatsen, som säger att om två kordor skär varandra så ska produkten av deras delsträckor ska vara lika. Vi får då en ekvation som vi kan lösa ut a ur.

Sträckan a=2,1 cm.

Vi gör på samma sätt här.

Sträckan x är alltså lika med 12 cm.

Den ena kordan kan vi beräkna direkt genom att addera delsträckorna 2,5 och 7 mm: 2,5+7=9,5 mm. Den andra kordan beräknar vi med kordasatsen. Vi kallar den okända delsträckan för x.

Kordasatsen ger oss då en ekvation vi kan lösa.

För att få hela kordans längd adderar vi de två delsträckorna: 2,1875+8=10,1875 ≈ 10,2. Den andra kordan är alltså ca 10,2 mm.

Den ena kordan går genom cirkelns medelpunkt, och är därför en diameter. För att bestämma radien måste vi först beräkna diametern och därefter dividera med 2. Vi kallar den okända delsträckan för x.

Vi bestämmer vi den med kordasatsen.

Diametern är alltså 6,4+3,75 = 10,15 mm, vilket ger att radien blir 10,15/2=5,075 ≈ 5,1 mm.

Vi ritar en cirkel och markerar medelpunkten.

Cirkelns rand är den svarta omkretsen på cirkeln. Vi markerar två godtyckliga punkter på randen och förbinder dessa med en sträcka.

Det vi ritat kallas för en korda.

Om vi drar en korda som måste gå igenom cirkelns medelpunkt kommer den alltid att utgöra cirkelns diameter, hur vi än drar den.

För att bestämma längden av kordorna behöver vi bestämma längden på delsträckorna. Den ena kordan blir 3+4=7 le. För att bestämma längden på den andra behöver vi värdet på x. Med hjälp av kordasatsen kan vi ställa upp en ekvation där vi löser ut x.

Eftersom x är en längd måste den vara positiv, så den negativa lösningen till ekvationen är därför inte intressant. Svaret är alltså x=2. Vi går vidare och bestämmer kordans längd också. Delsträckorna på den andra kordan blir 2 och 3*2=6 le.

Den ena kordans längd har vi redan räknat ut, 7 le. Den andra blir 2+6=8

Låt oss analysera den givna figuren.

Eftersom vi har en triangel med ett segment som delar en av vinklarna i två lika delar, kan vi använda triangelns bisektrissats.

Denna sats säger oss att de två segmenten mittemot den delade vinkeln är proportionella mot triangelns två andra sidor. Vi har fått uttrycken för längderna på dessa sidor och segment, så vi kan skriva en proportion. 12/16 = x/20 Låt oss lösa den!

Låt oss analysera den givna figuren.

Eftersom vi har en triangel med ett segment som delar en av vinklarna i två lika delar, kan vi använda bisektrissatsen.

Denna sats säger oss att de två segmenten mittemot den delade vinkeln är proportionella mot de två andra sidorna av triangeln. Vi har fått uttrycken för längderna på dessa sidor och segment, så vi kan skriva en proportion. 5/x = 10/12 Låt oss lösa den med hjälp av korsmultiplikation.

För en given punkt och en cirkel är produkten av längderna av de två segmenten från punkten till cirkeln konstant längs varje linje genom punkten och cirkeln.

I vårt diagram är punkten som kommer att följa denna regel skärningspunkten mellan de visade kordasegmenten. Därför är produkterna av längderna av kordasegmenten lika. x * 8= 20 * 6 Låt oss lösa denna ekvation för x.

Låt oss analysera den givna figuren.

Eftersom vi har fått en triangel med ett segment som delar en av vinklarna i två lika delar, kan vi använda satsen om triangelns vinkelbisetris.

Denna sats säger oss att en vinkelbisetris i en triangel delar den motsatta sidan i två segment som är proportionella mot längderna på de andra två sidorna. Vi har fått uttrycken för längderna på dessa sidor och segment, så vi kan skriva en proportion. 4/x = 10/15 Låt oss lösa den med hjälp av korsproduktsegenskapen.

Vi fann att x=6.