Regel

Derivatan av $l g (x)$

Derivatan av tiologaritmen av

x

är kvoten av

1

och

x ln (10) .

$D (l g (x)) = \frac{1}{x ln ( 1 0 )}$

Denna regel kan härledas på två sätt.

Regel

Härledning med kedjeregeln

För att härleda derivatan kan man använda definitionen av tiologaritmen:

x = 1 0^{l g (x)} .

Eftersom leden är lika måste även deras derivator vara lika.

D (x) = D (1 0^{l g (x)})

Vänsterledet är lika med

1

och högerledet kan deriveras med kedjeregeln.

D (x) = D (1 0^{l g (x)})

DeriveX

$D (x) = 1$

1 = D (1 0^{l g (x)})

DeriveExpChain

$D (a^{u}) = a^{u} \cdot ln (a) \cdot D (u)$

1 = 1 0^{l g (x)} \cdot ln (10) \cdot D (l g (x))

LgIdII

$1 0^{l g (a)} = a$

1 = x \cdot ln (10) \cdot D (l g (x))

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x \cdot ln (10) \cdot D (l g (x)) = 1

DivEqn

$VL / x = HL / x$

ln (10) \cdot D (l g (x)) = \frac{1}{x}

DivEqn

$VL / ln (10) = HL / ln (10)$

D (l g (x)) = \frac{1}{x ln ( 1 0 )}

Derivatan blir alltså

\frac{1}{x l n ( 1 0 )} .

Regel

Härledning med naturliga logaritmen

Genom att göra an omskrivning med den naturliga logaritmen går det att hitta derivatan till

l g (x)

på ett annat sätt. Då behövs inte kedjeregeln, men däremot derivatan av

ln (x) .

Utgångspunkten är samma: definitionen för en tiologaritm.

x = 1 0^{l g (x)}

Nu kan man ta den naturliga logaritmen av båda led och använda logaritmlagar för att lösa ut

l g (x) .

x = 1 0^{l g (x)}

LnEqn

$ln (VL) = ln (HL)$

ln (x) = ln (1 0^{l g (x)})

LnPow

$ln (a^{b}) = b \cdot ln (a)$

ln (x) = l g (x) \cdot ln (10)

DivEqn

$VL / ln (10) = HL / ln (10)$

\frac{ln ( x )}{ln ( 1 0 )} = l g (x)

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

l g (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( 1 0 )}

Högerledet kan nu deriveras med deriveringsregeln för

ln (x) .

l g (x) = \frac{ln ( x )}{ln ( 1 0 )}

MoveNumRight

$\frac{a}{b} = \frac{1}{b} \cdot a$

l g (x) = \frac{1}{ln ( 1 0 )} \cdot ln (x)

Derive

Derivera funktion

D (l g (x)) = D (\frac{1}{ln ( 1 0 )} \cdot ln (x))

DeriveLnCoII

$D (a ln (x)) = a \cdot \frac{1}{x}$

D (l g (x)) = \frac{1}{ln ( 1 0 )} \cdot \frac{1}{x}

MultFrac

Multiplicera bråk

D (l g (x)) = \frac{1}{ln ( 1 0 ) \cdot x}

RearrangeFac

Omarrangera faktorer

D (l g (x)) = \frac{1}{x ln ( 1 0 )}

Derivatan av lg x