Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Derivatan av lg x

Teori

Derivatan av lg(x)\lg(x)

Derivatan av tiologaritmen av xx är kvoten av 11 och xln(10).x\ln(10).

D(lg(x))=1xln(10)D\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{x\ln(10)}

Denna regel kan härledas på två sätt.

Teori

Härledning med kedjeregeln

För att härleda derivatan kan man använda definitionen av tiologaritmen: x=10lg(x).x=10^{\lg(x)}. Eftersom leden är lika måste även deras derivator vara lika. D(x)=D(10lg(x)) D(x)=D\left(10^{\lg(x)}\right) Vänsterledet är lika med 11 och högerledet kan deriveras med kedjeregeln.
D(x)=D(10lg(x))D(x)=D\left(10^{\lg(x)}\right)
1=D(10lg(x))1=D\left(10^{\lg(x)}\right)
1=10lg(x)ln(10)D(lg(x))1=10^{\lg(x)}\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))
1=xln(10)D(lg(x))1=x\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))
xln(10)D(lg(x))=1x\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))=1
ln(10)D(lg(x))=1x\ln(10)\cdot D(\lg(x))=\dfrac{1}{x}
D(lg(x))=1xln(10)D(\lg(x))=\dfrac{1}{x\ln(10)}
Derivatan blir alltså 1xln(10).\frac{1}{x\ln(10)}.
Teori

Härledning med naturliga logaritmen

Genom att göra an omskrivning med den naturliga logaritmen går det att hitta derivatan till lg(x)\lg(x) på ett annat sätt. Då behövs inte kedjeregeln, men däremot derivatan av ln(x).\ln(x). Utgångspunkten är samma: definitionen för en tiologaritm. x=10lg(x) x=10^{\lg(x)} Nu kan man ta den naturliga logaritmen av båda led och använda logaritmlagar för att lösa ut lg(x).\lg(x).
x=10lg(x)x=10^{\lg(x)}
ln(x)=ln(10lg(x))\ln(x)=\ln\left(10^{\lg(x)}\right)
ln(x)=lg(x)ln(10)\ln(x)=\lg(x)\cdot \ln(10)
ln(x)ln(10)=lg(x)\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}=\lg(x)
lg(x)=ln(x)ln(10)\lg(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}
Högerledet kan nu deriveras med deriveringsregeln för ln(x).\ln(x).
lg(x)=ln(x)ln(10)\lg(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}
lg(x)=1ln(10)ln(x)\lg(x)=\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \ln(x)
D(lg(x))=D(1ln(10)ln(x))D\left(\lg(x)\right)=D\left(\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \ln(x)\right)
D(lg(x))=1ln(10)1xD\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \dfrac{1}{x}
D(lg(x))=1ln(10)xD\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{\ln(10)\cdot x}
D(lg(x))=1xln(10)D\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{x\ln(10)}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward