Regel

Derivatan av lg(x)

Derivatan av tiologaritmen av x är kvoten av 1 och xln(10).

D(lg(x))=1/xln(10)

Denna regel kan härledas på två sätt.

Regel

Härledning med kedjeregeln

För att härleda derivatan kan man använda definitionen av tiologaritmen: x=10^(lg(x)). Eftersom leden är lika måste även deras derivator vara lika. D(x)=D(10^(lg(x))) Vänsterledet är lika med 1 och högerledet kan deriveras med kedjeregeln.

D(x)=D(10^(lg(x)))

DeriveX

D(x) = 1

1=D(10^(lg(x)))

DeriveExpChain

D( a^u ) = a^u * ln(a) * D(u)

1=10^(lg(x))* ln(10)* D(lg(x))

LgIdII

10^(lg(a))=a

1=x* ln(10)* D(lg(x))

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x* ln(10)* D(lg(x))=1

DivEqn

.VL /x.=.HL /x.

ln(10)* D(lg(x))=1/x

DivEqn

.VL /ln(10).=.HL /ln(10).

D(lg(x))=1/xln(10)

Derivatan blir alltså 1xln(10).

Regel

Härledning med naturliga logaritmen

Genom att göra an omskrivning med den naturliga logaritmen går det att hitta derivatan till lg(x) på ett annat sätt. Då behövs inte kedjeregeln, men däremot derivatan av ln(x). Utgångspunkten är samma: definitionen för en tiologaritm. x=10^(lg(x)) Nu kan man ta den naturliga logaritmen av båda led och använda logaritmlagar för att lösa ut lg(x).

x=10^(lg(x))

LnEqn

ln(VL)=ln(HL)

ln(x)=ln(10^(lg(x)))

LnPow

ln(a^b)= b*ln(a)

ln(x)=lg(x)* ln(10)

DivEqn

.VL /ln(10).=.HL /ln(10).

ln(x)/ln(10)=lg(x)

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation