Derivatan av tiologaritmen av
x är kvoten av
1 och
xln(10).
Denna regel kan härledas på två sätt.
För att härleda kan man använda definitionen av :
x=10lg(x). Eftersom leden är lika måste även deras derivator vara lika.
D(x)=D(10lg(x))
Vänsterledet är lika med
1 och högerledet kan deriveras med .
D(x)=D(10lg(x))
1=D(10lg(x))
1=10lg(x)⋅ln(10)⋅D(lg(x))
1=x⋅ln(10)⋅D(lg(x))
x⋅ln(10)⋅D(lg(x))=1
ln(10)⋅D(lg(x))=x1
D(lg(x))=xln(10)1
Derivatan blir alltså
xln(10)1.
Genom att göra an omskrivning med den går det att hitta derivatan till
lg(x) på ett annat sätt. Då behövs inte kedjeregeln, men däremot derivatan av
ln(x). Utgångspunkten är samma: definitionen för en tiologaritm.
x=10lg(x)
Nu kan man ta den naturliga logaritmen av båda led och använda för att lösa ut
lg(x).
x=10lg(x)
ln(x)=ln(10lg(x))
ln(x)=lg(x)⋅ln(10)
ln(10)ln(x)=lg(x)
lg(x)=ln(10)ln(x)
Högerledet kan nu deriveras med deriveringsregeln för
ln(x).
lg(x)=ln(10)ln(x)
lg(x)=ln(10)1⋅ln(x)
D(lg(x))=D(ln(10)1⋅ln(x))
D(lg(x))=ln(10)1⋅x1
D(lg(x))=ln(10)⋅x1
D(lg(x))=xln(10)1