Teori

Derivatan av lg(x)\lg(x)

Derivatan av tiologaritmen av xx är kvoten av 11 och xln(10).x\ln(10).

D(lg(x))=1xln(10)D\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{x\ln(10)}

Denna regel kan härledas på två sätt.

Teori

Härledning med kedjeregeln

För att härleda derivatan kan man använda definitionen av tiologaritmen: x=10lg(x).x=10^{\lg(x)}. Eftersom leden är lika måste även deras derivator vara lika. D(x)=D(10lg(x)) D(x)=D\left(10^{\lg(x)}\right) Vänsterledet är lika med 11 och högerledet kan deriveras med kedjeregeln.
D(x)=D(10lg(x))D(x)=D\left(10^{\lg(x)}\right)
1=D(10lg(x))1=D\left(10^{\lg(x)}\right)
1=10lg(x)ln(10)D(lg(x))1=10^{\lg(x)}\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))
1=xln(10)D(lg(x))1=x\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))
xln(10)D(lg(x))=1x\cdot \ln(10)\cdot D(\lg(x))=1
ln(10)D(lg(x))=1x\ln(10)\cdot D(\lg(x))=\dfrac{1}{x}
D(lg(x))=1xln(10)D(\lg(x))=\dfrac{1}{x\ln(10)}
Derivatan blir alltså 1xln(10).\frac{1}{x\ln(10)}.
Teori

Härledning med naturliga logaritmen

Genom att göra an omskrivning med den naturliga logaritmen går det att hitta derivatan till lg(x)\lg(x) på ett annat sätt. Då behövs inte kedjeregeln, men däremot derivatan av ln(x).\ln(x). Utgångspunkten är samma: definitionen för en tiologaritm. x=10lg(x) x=10^{\lg(x)} Nu kan man ta den naturliga logaritmen av båda led och använda logaritmlagar för att lösa ut lg(x).\lg(x).
x=10lg(x)x=10^{\lg(x)}
ln(x)=ln(10lg(x))\ln(x)=\ln\left(10^{\lg(x)}\right)
ln(x)=lg(x)ln(10)\ln(x)=\lg(x)\cdot \ln(10)
ln(x)ln(10)=lg(x)\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}=\lg(x)
lg(x)=ln(x)ln(10)\lg(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}
Högerledet kan nu deriveras med deriveringsregeln för ln(x).\ln(x).
lg(x)=ln(x)ln(10)\lg(x)=\dfrac{\ln(x)}{\ln(10)}
lg(x)=1ln(10)ln(x)\lg(x)=\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \ln(x)
D(lg(x))=D(1ln(10)ln(x))D\left(\lg(x)\right)=D\left(\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \ln(x)\right)
D(lg(x))=1ln(10)1xD\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{\ln(10)}\cdot \dfrac{1}{x}
D(lg(x))=1ln(10)xD\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{\ln(10)\cdot x}
D(lg(x))=1xln(10)D\left(\lg(x)\right)=\dfrac{1}{x\ln(10)}

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}