Regel

Derivatan av $e^{k x}$

Derivatan av en exponentialfunktion på formen

f (x) = e^{k x}

är lika med funktionsuttrycket multiplicerat med koefficienten framför

x .

D (e^{k x}) = k e^{k x}

Man kan visa denna derivata med hjälp av derivatans definition:

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} .

Uttrycket

f (x + h)

får vi genom att ersätta

x

med

x + h

i funktionsuttrycket.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

f (x + h) = e^{k (x + h)}

,

f (x) = e^{k x}

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k (x + h)} - e ^{k x}}{h}

DistrMultiplicera in

k

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x + k h} - e ^{k x}}{h}

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x}}{h}

SplitIntoFactorsDela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} \cdot e ^{k h} - e ^{k x} \cdot 1}{h}

e^{k x}

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{k x} ( e ^{k h} - 1 )}{h}

\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{k x} \cdot \frac{e ^{k h} - 1}{h})

Eftersom

e^{k x}

inte innehåller något

h

påverkas inte denna faktor av att

h

går mot

0 .

Man kan därför lyfta ut det från gränsvärdet, vilket ger

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{k h} - 1}{h}

är lika med

k

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot k = k e^{k x} .

Alternativ härledning med kedjeregeln

Istället för att använda derivatans definition kan man härleda denna regel med kedjeregeln om man är bekväm med den. Här är den yttre funktionen

e^{u}

och den inre

u = k x .

f^{'} (x) = D (e^{k x})

D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot D (k x)

D (a x) = a

f^{'} (x) = e^{k x} \cdot k

RearrangeFacOmarrangera faktorer

f^{'} (x) = k e^{k x}

Man får alltså samma resultat som med derivatans definition, men man behöver inte beräkna något gränsvärde.