Grundpotensform och Prefix: Förståelse av Tiopotens och Potensform i Matte

Tiopotens	Värde	Exponent	Antal nollor
$1 0^{2}$	$100$	$2$	$2$
$1 0^{1}$	$10$	$1$	$1$
$1 0^{0}$	$1$	$0$	$0$
$1 0^{- 1}$	$0, 1$	$- 1$	$1$
$1 0^{- 2}$	$0, 01$	$- 2$	$2$

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ och $3$	$10000$	$5, 3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4,$ $3,$ och $2$	$100$	$4, 32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ och $4$	$0, 001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ och $1$	$0, 00001$	$7, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Prefix större än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
mega	M	miljon — $1000000$
kilo	k	tusen — $1000$
hekto	h	hundra — $100$
deka	da	tio — $10$

Prefix mindre än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
deci	d	en tiondel — $0, 1$
centi	c	en hundradel — $0, 01$
milli	m	en tusendel — $0, 001$
mikro	μ	en miljonedel — $0, 000001$

Beräkna nedanstående uttryck utan räknare genom att skriva om talen i grundpotensform.

\frac{6 0 0 0 \cdot 0 , 0 0 0 2 0}{0 , 0 0 0 3}

Vi skriver om talen i nämnaren och täljaren till grundpotensform genom att dela upp dem i lämpliga faktorer, en större än 1 och mindre än 10 samt en som kan skrivas om till en tiopotens.

Tal	Dela upp i faktorer	Skriv i grundpotensform
6 000	6 * 1 000	6 * 10^3
0,00020	2* 0,0001	2 * 10^(-4)
0,0003	3* 0,0001	3 * 10^(-4)

Då ersätter vi talen i bråket med deras motsvarande grundpotensform. Beräkningen underlättas om vi arrangerar om så att tiopotenserna står sist.

Svaret är alltså 4 * 10^3.

Utför följande uträkningar utan räknare och svara i grundpotensform.

en tredjedel av 9 \cdot 1 0^{3}

2 \cdot 1 0^{3} upph \ddot{o} jt till 3

tredje roten ur 8 \cdot 1 0^{3}

För att beräkna en tredjedel av talet dividerar vi med 3.

Vi använder potenslagen för produkter för att förenkla talet efter vi upphöjt det till 3.

Tredje roten ur ett tal kan man beräkna genom att höja upp det till en tredjedel. Vi gör det och förenklar med potenslagarna.

Galaxen Andromeda är en av de närmsta galaxerna. Avståndet dit från Vintergatan är cirka

778

kpc (

1

pc är ungefär

31

Pm). Hur många kilometer är det?

Prefixet kilo har tiopotensen 10^3 och Peta har 10^(15). Vi använder det för att beräkna hur långt bort Andromeda befinner sig i meter och gör sedan om det till km.

Nu står uttrycket i meter. Vi skriver om det till km.

Andromeda befinner sig alltså cirka 2,4*10^(19) km bort.

Ett ljusår anger hur långt ljuset färdas under ett år. Beräkna hur långt ett ljusår i km är om ljusets hastighet är $300000$ km/s. Svara i grundpotensform.

För att beräkna antalet km ett ljusår är måste vi först veta hur många sekunder det går på ett år.

Antal sekunder på ett år

På ett år går det 365 dygn, och på ett dygn går det 24 timmar. Varje timme består av 60 minuter, och varje minut består av 60 sekunder. Det innebär att ett år består av 365 * 24 * 60 * 60 = 31 536 000 sekunder För att få detta i grundpotensform plockar vi ut värdesiffrorna 31 536 och placerar en decimal mellan första trean och ettan. Decimaltecknet har då flyttats 7 steg åt vänster. Det betyder att talet skrivs 3,1536 * 10^7 på grundpotensform.

Ljusår

Ljuset färdas med 3 * 10^5 km varje sekund. Vi vet hur många sekunder det går på ett år, och då kan vi räkna ut hur många km ljuset färdas på ett år genom att multiplicera hastigheten med tiden.

Ett ljusår är alltså cirka 9 * 10^(12) km.

Förenkla nedanstående bråk utan räknare och skriv på grundpotensform.

\frac{8 \cdot 1 0 ^{12} \cdot 4 \cdot 1 0 ^{- 2}}{2 \cdot 1 0 ^{5}}

\frac{3 \cdot 1 0 ^{3} \cdot 2 \cdot 1 0 ^{- 2}}{8 \cdot 1 0 ^{- 6}}

Vi börjar med att gruppera faktorerna och ställa tiopotenserna för sig. Det kan också hjälpa att dela upp i två separata bråk. Först förenklar vi talen framför tiopotenserna.

Nu kan vi slå ihop tiopotenserna med hjälp av potenslagarna. När tiorna multipliceras så adderas exponenterna och när de divideras subtraheras nämnarens exponent från täljarens exponent.

I grundpotensform ska talet framför tiopotenserna vara mellan 1 och 10, vilket innebär att vi måste skriva om vårt resultat.

Uttrycket blir alltså 1,6* 10^6 på grundpotensform.

Vi gör som tidigare och börjar med att grupperar tiopotenserna för sig och sedan förenkla.

I grundpotensform ska talet framför tiopotensen vara mellan 1 och 10, vilket innebär att vi måste skriva om 0,75 som 7,510

Uttrycket blir alltså 7,5 * 10^6 på grundpotensform.

En laserskrivare använder cirka

2

pikoliter bläck per droppe. Skriver du ut tre sidor går det åt

4

ml bläck. Hur många droppar rymmer en bläckpatron om den kan skriva ut cirka

270

sidor innan den är slut? Svara i miljarder droppar.

Om tre sidor kräver 4 ml innebär det att en sida kräver 43 ml. Multiplicerar vi mängden bläck per sida med antalet sidor kan vi beräkna hur många ml bläckpatronen rymmer.

Slutligen dividerar vi den totala mängden bläck i en patron med mängden bläck i en droppe. Vi ersätter prefixen med tiopotenser.

Bläckpatronen innehåller 180 miljarder droppar.

Hur många timmar går det på ett millennium? Svara i grundpotensform.

Det går 365 dygn på ett år och varje dygn har 24 timmar. Det betyder att det går 24*365 timmar på ett år. Ett millennium är 1 000 år så totalt blir det 24*365*1 000 timmar Vi multiplicerar dessa och skriver därefter om produkten i grundpotensform.

Det går 8,76 *10^6 timmar på ett millennium.

Hår växer ungefär med hastigheten

5, 2

nm per sekund. Hur långt växer håret om man inte klipper sig på

10

år? Svara i hela centimeter.

Vi börjar med att bestämma antalet sekunder på ett år. På en timme går det 60 * 60 = 3 600 sekunder. På ett dygn går det 24 timmar och varje år är 365 dygn (vi räknar inte med skottdagar). På ett år går det alltså 3 600 * 24 * 365 = 31 536 000 sekunder. På 10 år går det 10 gånger fler sekunder dvs. är 315 360 000 s. För att beräkna hur mycket håret växer under den tiden multiplicerar vi detta med hastigheten.

Håret växer alltså cirka 1,64 meter. Det går 100 cm på en meter så 1,64 m är lika med 164 cm.

Antalet arbetande människor i Sverige är $4, 8$ miljoner. De totala skatteintäkterna uppgår till $1760$ miljarder kronor och av dessa kommer ca $1056$ miljarder ifrån skatt på arbete.

Skriv skatteintäkterna från arbete i grundpotensform.

Hur mycket skatt betalar varje sysselsatt (arbetande) svensk i genomsnitt per år? Svara i grundpotensform.

De aktuella skatteintäkterna är 1 056 miljarder, och miljard innebär 10^9. Eftersom talet 1 056 inte ligger mellan 1 och 10 måste vi göra lite omskrivningar.

Så antalet arbetande människor är 4,8 * 10^6 personer och skatteintäkterna från arbete är 1,056 * 10^(12) kr.

För att beräkna vad varje anställd betalar i snitt per år dividerar vi de totala skatteintäkterna på arbete med antalet som jobbar.

Varje arbetande person betalar alltså i genomsnitt 2,2 * 10^5 eller 220 000 kr skatt på sin lön per år.

Ett land med

20

miljoner hushåll förbrukar tillsammans cirka

96

TWh el varje år. Hur stor blir landets årliga elförbrukning i TWh om varje hushåll minskar sin månatliga förbrukning med

25

kWh?

Låt oss börja med att bestämma den årliga minskningen av hushållens elförbrukning. Vi multiplicerar besparingen i kWh med antalet månader på ett år (12) och antalet hushåll (20 miljoner).

Landets hushåll sparar alltså 6* 10^9 kWh. Innan vi beräknar den nya energiförbrukningen skriver vi om 96 TWh till kWh.

Den nya elförbrukningen kan nu beräknas genom att subtrahera hushållens besparing från den totala elförbrukningen.

Efter att hushållen minskat sin elanvändning är den nu 90 TWh.

Står

10 \cdot 1 0^{2, 5}

på grundpotensform?

Skriv talet på grundpotensform utan att använda räknare.

Tal på grundpotensform står på formen a*10^b, där a är ett tal som är minst 1, men mindre än 10. Eftersom sqrt(10)≈ 3,16 är a ett tal mellan 1 och 10. Men b måste vara ett heltal. Eftersom 2,5 inte är ett heltal står talet inte på grundpotensform.

Vi skriver om sqrt(10) som en potens och kan därefter multiplicera potenserna eftersom de har samma bas.

Talet skrivs i grundpotensform som 1*10^3.

Sveriges yta är ungefär

450000

^{2}

och befolkningen var i slutet på år

2000

cirka

9

miljoner. Beräkna Sveriges befolkningstäthet år

2000

utan räknare.

För att beräkna befolkningstätheten ska vi dividera antalet invånare med landets area. Det är ganska stora siffror så vi skriver om båda till grundpotensform innan vi dividerar. 9 miljoner är samma sak som 9*10^6.

Sveriges befolkningstäthet var alltså cirka 20 inv./km^2.

Talet $5, 83 \cdot 1 0^{- 3}$ är skrivet i grundpotensform. Vilket tal ska du subtrahera med för att ”åttan” ska ändras till en sexa? Svara i decimalform.

Nationella provet VT10 MaA

Låt oss börja med att skriva ut talet. Eftersom exponenten är negativ kommer vi få ett decimaltal.

Nu ser vi att åttans platsvärde är tiotusendelar så om den ska ändras till en sexa måste vi minska talet med 8-6=2 tiotusendelar, dvs. 2/10 000=0,0002.

Grundpotensform och prefix

Förkunskaper

Tiopotens

Skriv ett stort tal med tiopotens

Ledtråd

Lösning

Skriv ett litet tal med tiopotens

Ledtråd

Lösning