body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

9. Grundpotensform och prefix

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 1

11.

Grundpotensform och prefix

Denna lektion förklarar konceptet med grundpotensform och prefix i matematik. När man har ett mycket stort eller litet tal kan det vara lättare att skriva det i grundpotensform, vilket innebär att man använder tiopotenser. Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva mycket stora eller mycket små tal. Man delar upp talet i ett tal mellan 1 och 10, som anger värdesiffrorna, och en tiopotens som anger storleken. Detta gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Med tiopotenser kan man också beskriva tals storleksordning, det vill säga om de är hundratals, tusentals, etc. Man kan även ersätta tiopotensen med en bokstav som representerar dess storleksordning, ett så kallat prefix.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	36 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Grundpotensform och prefix

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Tiopotens
Grundpotensform
Prefix

Förkunskaper

Naturliga tal
Potens
Hela tal
Faktor
Decimaltal
Enheter

Teori

Tiopotens

En tiopotens är en potens med bas $10,$ t.ex. $1 0^{2} .$ Värdet av tiopotenser följer alltid samma struktur: en $1$ :a med ett visst antal nollor till höger eller vänster om $1$ :an. Hur många nollor samt på vilken sida om $1$ :an de ska skrivas anges av exponenten.

Tiopotens	Värde	Exponent	Antal nollor
$1 0^{2}$	$100$	$2$	$2$
$1 0^{1}$	$10$	$1$	$1$
$1 0^{0}$	$1$	$0$	$0$
$1 0^{- 1}$	$0, 1$	$- 1$	$1$
$1 0^{- 2}$	$0, 01$	$- 2$	$2$

Om exponenten är positiv ska man skriva nollorna till höger om

1

:an.

Positiva krafter på 10 upp till en miljon

Om den är negativ ska man skriva nollorna till vänster om

1

:an, vilket innebär att man får ett decimaltal.

Negativa potenser på 10 upp till en miljondel

Exempel

Skriv ett stort tal med tiopotens

Skriv talet $2000000$ med hjälp av en tiopotens.

Ledtråd

Tänk på att $2000000$ kan delas upp i två faktorer: en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många nollor som finns i $1000000$ för att bestämma exponenten i tiopotensen.

Lösning

Talet

2000000

har ingen egen tiopotens. Vi skriver därför om det som

2 \cdot 1000000

så att vi kan utnyttja tiopotensen som motsvarar

1000000 .

Eftersom det är

6

nollor i talet är det tiopotensen med exponenten

6

som ska användas, dvs.

1 0^{6} .

Vi kan alltså skriva om talet på följande sätt.

2000000 = 2 \cdot 1000000 = 2 \cdot 1 0^{6}

Exempel

Skriv ett litet tal med tiopotens

Skriv talet $0, 0003$ med hjälp av en tiopotens.

Ledtråd

Fundera på hur $0, 0003$ kan skrivas som en produkt av en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många decimaler som behövs för att skriva om $0, 0001$ som en negativ tiopotens.

Lösning

Vi börjar med att skriva om talet

0, 0003

som

3 \cdot 0, 0001

eftersom vi då kan använda att

0, 0001

motsvarar tiopotensen

1 0^{- 4} .

Talet kan alltså skrivas om på följande sätt.

0, 0003 = 3 \cdot 0, 0001 = 3 \cdot 1 0^{- 4}

Teori

Grundpotensform

Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva väldigt stora eller väldigt små tal. När man skriver om ett tal i grundpotensform delar man upp det i ett tal mellan 1 och 10 som anger värdesiffrorna och en tiopotens som anger storleken. Det gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Till exempel kan talet 4 miljarder skrivas som

4000000000 = 4 \cdot 1 0^{9} .

Detta gäller även för mycket små decimaltal där det finns många nollor innan värdesiffrorna, vilket ger en negativ exponent på tiopotensen. Exempelvis är

0, 0000000234 = 2, 34 \cdot 1 0^{- 7} .

Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ , $3$	$10000$	$5.3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4$ , $3$ , $2$	$100$	$4.32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ , $4$	$0.001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ , $1$	$0.00001$	$7, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större $23740000000$ är jämfört med $457300000$ , men det är lättare att se att $2, 374 \cdot 1 0^{10}$ och $4, 573 \cdot 1 0^{8}$ skiljer sig åt med en faktor som är ungefär $1 0^{2} = 100 .$ Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.

Extra

Intuitiv metod: Skriva om ett nummer i grundpotensform

Ett intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än $10,$ flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan $1$ och $10 .$ Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i $10 -$ potensen.

På motsvarande sätt, för tal mindre än

1,

till exempel

0, 000022,

flyttar vi decimalkommat åt höger tills talet är mellan

1

och

10 .

Antalet steg som decimalkommat flyttas anger då den negativa exponenten i

10 -

potensen.

Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att uttrycka besvärliga tal; det underlättar också jämförelsen av numeriska ordningsstorlekar. Genom att titta på exponenten är det tydligt vilket nummer som är större eller mindre. Till exempel,

3 \cdot 1 0^{7}

är större än

4 \cdot 1 0^{6}

eftersom

1 0^{7}

är större än

1 0^{6} .

Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att skriva stora eller små tal; det gör det också enklare att jämföra talens storleksordning. Genom att jämföra exponenterna kan vi direkt se vilket tal som är störst eller minst. Till exempel är

3 \cdot 1 0^{7}

större än

4 \cdot 1 0^{6}

eftersom

1 0^{7}

är större än

1 0^{6} .

3 \cdot 1 0^{7} > 4 \cdot 1 0^{6}

Det hjälper oss att snabbt få en uppfattning om talets storlek, även när det är väldigt stort eller litet.

Teori

Grundpotensform på räknare

Räknaren har ett annorlunda sätt att skriva grundpotensform. Istället för att skriva *10^ anges symbolen $E .$ Vill man själv använda detta sätt att skriva in tiopotenser trycker man på knappen $E E$ (2nd + ,).

Symbolen $E$ betyder alltså gånger $10$ upphöjt till...

Det ger ett kompakt sätt att skriva beräkningar som innehåller grundpotensform. Den stora fördelen är också att räknaren tolkar grundpotensformen som "helheter" och inte uppdelade i tal, gångertecken och tiopotens. Exempelvis kan beräkningen

\frac{2 0 0 0 0 0 0 0 0 0}{0 , 0 0 5} = 400000000000

skrivas som nedan.

Man kan också använda knappen $1 0^{x},$ men då måste man sätta parenteser runt täljare och nämnare. Annars kommer räknaren bara dividera talen närmast divisionstecknet, och exemplet tolkas som $2 \cdot \frac{1 0 ^{9}}{5} \cdot 1 0^{- 3} .$

Exempel

Skriv ett stort tal i grundpotensform

Skriv talet $893400$ på grundpotensform.

Ledtråd

Fundera på hur $893400$ kan skrivas som en produkt av en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många decimaler som behövs för att skriva om $800000$ som en positiv tiopotens.

Lösning

893400

står i storleksordningen "hundratusental" så tiopotensen i talets grundpotensformen blir

1 0^{5}

. Vi ser även att talet har fyra värdesiffror

(8, 9, 3

och

4)

så framför tiopotensen ska vi sätta decimaltalet

8, 934 .

Grundpotensformen blir:

8, 934 \cdot 1 0^{5}

Exempel

Skriv ett litet tal i grundpotensform

Skriv talet $0, 002016$ på grundpotensform.

Ledtråd

För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran.

Lösning

Decimaltalet har fyra värdesiffror och den första av dessa är

2 .

För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran och vi ser då att det sitter tre nollor framför

2 .

Talets storleksordning är alltså "tusendel" så tiopotensen vi ska använda är

1 0^{- 3}

. Framför tiopotensen sätter vi decimaltalet

2, 016

vilket ger oss:

2, 016 \cdot 1 0^{- 3}

Teori

Prefix

Ett prefix är ett ord som läggs till framför en enhet, oftast en grundenhet, och används för att visa en multipel av den enheten. Alla prefix är potenser av

10 .

Prefix kan ses som ett alternativ till grundpotensform. Exempelvis kan

7, 3 \cdot 1 0^{3}

gram kan skrivas som

7, 3

kilogram, eftersom prefixet kilo betyder

1 0^{3} .

7, 3 \cdot 1 0^{3} gram = 7, 3 k i l o gram

Varje prefix har en unik symbol som kan sättas framför vilken enhetssymbol som helst.

Prefix större än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
mega	M	miljon — $1000000$
kilo	k	tusen — $1000$
hekto	h	hundra — $100$
deka	da	tio — $10$

De prefix som är mindre än $1$ visas i följande tabell.

Prefix mindre än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
deci	d	en tiondel — $0, 1$
centi	c	en hundradel — $0, 01$
milli	m	en tusendel — $0, 001$
mikro	μ	en miljonedel — $0, 000001$

Notera att prefixnamnen inte kan användas tillsammans.

0, 000002 meter \to 2 mikrometer 2 centimillimeter

En annan viktig sak att lägga märke till är att SI-grundenheten för massa, kilogram, redan innehåller ett prefix. Eftersom flera prefix inte är tillåtna så används de prefixnamn som visas i tabellerna med enheten gram (g), istället för kilogram.

0, 000001 kilogram \to 1 milligram 1 microkilogram

Extra

Användbart diagram

Följande diagram visar relationerna mellan olika prefix. Det kan användas vid omvandling från ett prefix till ett annat. Exempelvis är $1$ kilogram lika med $10$ hektogram. När man går ner ett steg i tabellen ska talet framför enheten alltså multipliceras med $10,$ och när man går upp ett steg i tabellen ska talet divideras med $10 .$

Tänk även på att diagrammet inte stämmer helt för grundenheten kilogram, eftersom den redan har ett prefix. I det fallet är det istället gram som ska stå i mittenrutan.

Övning

Välj rätt prefix

Efter varje mått med en viss enhet visas ett likhetstecken följt av samma mått med en okänd prefix. Välj det prefix som gör likheten korrekt.

Grundpotensform och prefix

Övningar

För ett tal

a

gäller

a = 2, 5 \cdot 1 0^{2 n - 1}

där

n

är ett naturligt tal. Skriv ett uttryck för

a^{1, 5}

i grundpotensform om

a = 5 \cdot 1 0^{n - 1} .

Vi skriver om a^(1,5) med hjälp av potenslagarna. Då får vi en produkt av a och sqrt(a).

Sådär, då ersätter vi bara a och sqrt(a) med uttrycken som redan är kända och förenklar.

Grundpotensform och prefix

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll