Grundpotensform och Prefix: Förståelse av Tiopotens och Potensform i Matte

Tiopotens	Värde	Exponent	Antal nollor
$1 0^{2}$	$100$	$2$	$2$
$1 0^{1}$	$10$	$1$	$1$
$1 0^{0}$	$1$	$0$	$0$
$1 0^{- 1}$	$0, 1$	$- 1$	$1$
$1 0^{- 2}$	$0, 01$	$- 2$	$2$

Tiopotens

Värde

Exponent

Antal nollor

1 0^{2}

100

2

2

1 0^{1}

10

1

1

1 0^{0}

1

0

0

1 0^{- 1}

0, 1

- 1

1

1 0^{- 2}

0, 01

- 2

2

Tal	Värdesiffror	Storlek	Grundpotensform
$53000$	$5$ , $3$	$10000$	$5.3 \cdot 1 0^{4}$
$432$	$4$ , $3$ , $2$	$100$	$4.32 \cdot 1 0^{2}$
$0, 0074$	$7$ , $4$	$0.001$	$7, 4 \cdot 1 0^{- 3}$
$0, 000031$	$3$ , $1$	$0.00001$	$7, 1 \cdot 1 0^{- 5}$

Tal

Värdesiffror

Storlek

Grundpotensform

53000

5

3

10000

5.3 \cdot 1 0^{4}

432

4

3

2

100

4.32 \cdot 1 0^{2}

0, 0074

7

4

0.001

7, 4 \cdot 1 0^{- 3}

0, 000031

3

1

0.00001

7, 1 \cdot 1 0^{- 5}

Prefix större än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
mega	M	miljon — $1000000$
kilo	k	tusen — $1000$
hekto	h	hundra — $100$
deka	da	tio — $10$

Prefix större än

1

Prefix

Symbol

Betydelse

mega

miljon —

1000000

kilo

tusen —

1000

hekto

hundra —

100

deka

tio —

10

Prefix mindre än $1$
Prefix	Symbol	Betydelse
deci	d	en tiondel — $0, 1$
centi	c	en hundradel — $0, 01$
milli	m	en tusendel — $0, 001$
mikro	μ	en miljonedel — $0, 000001$

Prefix mindre än

1

Prefix

Symbol

Betydelse

deci

en tiondel —

0, 1

centi

en hundradel —

0, 01

milli

en tusendel —

0, 001

mikro

en miljonedel —

0, 000001

Förenkla följande uttryck utan räknare och svara i grundpotensform.

\frac{1}{2 5 0 0} - \frac{1}{2 5 0 0 0}

Vi förlänger första bråket med 10 så att de får samma nämnare och utför bråksubtraktionen. För att få 100 000 i nämnaren, som kan skrivas som en tiopotens, kan vi förlänga med 4.

Vi flyttar ner 36 framför bråket och skriver om det till en tiopotens.

Differensen är 3,6* 10^(-4).

Galaxen Andromeda är en av de närmsta galaxerna. Avståndet dit från Vintergatan är cirka

778

kpc (

1

pc är ungefär

31

Pm). Hur många kilometer är det?

Prefixet kilo har tiopotensen 10^3 och Peta har 10^(15). Vi använder det för att beräkna hur långt bort Andromeda befinner sig i meter och gör sedan om det till km.

Nu står uttrycket i meter. Vi skriver om det till km.

Andromeda befinner sig alltså cirka 2,4*10^(19) km bort.

Tal kan delas upp i summor av tal skrivna i grundpotensform, där faktorn framför tiopotenserna är heltal. Dessa heltal kommer att vara samma som siffrorna i det ursprungliga talet. Till exempel kan vi skriva.

307 = 3 \cdot 1 0^{2} + 0 \cdot 1 0^{1} + 7 \cdot 1 0^{0} .

Hur skriver du talet

262.5

på samma sätt?

Talet består av ett hundratal, ett tiotal osv. hela vägen ned till tusendelar. Varje siffra i talet berättar hur många av varje sort man har. Det betyder att det finns 2 stycken 10^2, vilket vi kan skriva som 2*10^2. Sedan fortsätter vi på samma sätt för resten.

Siffra	2	6	2	5
Platsvärde	100	10	1	0.1
Tiopotens	10^2	10^1	10^0	10^(- 1)

För att skriva talet på utvecklad form kombinera vi sedan siffrorna i toppraden med tiopotenserna i sista. Det ger oss 2 * 10^2 + 6 * 10^1 + 2* 10^0 + 5* 10^(- 1)

En laserskrivare använder cirka

2

pikoliter bläck per droppe. Skriver du ut tre sidor går det åt

4

ml bläck. Hur många droppar rymmer en bläckpatron om den kan skriva ut cirka

270

sidor innan den är slut? Svara i miljarder droppar.

Om tre sidor kräver 4 ml innebär det att en sida kräver 43 ml. Multiplicerar vi mängden bläck per sida med antalet sidor kan vi beräkna hur många ml bläckpatronen rymmer.

Slutligen dividerar vi den totala mängden bläck i en patron med mängden bläck i en droppe. Vi ersätter prefixen med tiopotenser.

Bläckpatronen innehåller 180 miljarder droppar.

Hur många siffror finns det i talet

100 0^{12345} ?

Skriver du in talet på räknaren kommer få ett meddelande i stil med Error:Overflow. Detta betyder att talet är för stort för räknaren att hantera. Men vi kan resonera kring hur tiopotenser fungerar och lösa uppgiften ändå. Vi beräknar 10^x för exponenterna 1, 2, 3, 4 och försöker hitta ett mönster.

x	10^x	=	Antal siffror
0	10^0	1	1
1	10^1	10	2
2	10^2	100	3
3	10^3	1000	4
4	10^4	10000	5

Vi ser att antalet siffror i talet är 1 större än exponenten. Kan vi skriva om potensen så att basen är 10 kan vi därefter utläsa antalet siffror genom att lägga på 1 till exponenten.

Potensen kan skrivas som 10^(37 035). Detta betyder att antalet siffror i talet blir 37 035+1=37 036.

Beräkna uttrycket $\frac{1 0 ^{102} + 1 0 ^{100}}{1 0 ^{100}}$ utan räknare.

Nationella provet VT12 1c

I täljaren finns en summa. Det betyder att kan vi dela upp bråket och sedan använda potenslagarna.

Kvoten som är kvar kan vi nu beräkna med potenslagen om division av potenser.

Man kan också börja med att faktorisera täljaren för att sedan förkorta bråket. Vi använder att 102 kan skrivas som 100+2.

Emil har köpt en ny superhårddisk till sin dator men blir lite besviken när han sätter in den. På hårddisken står det att den rymmer $16$ TB (terabyte) men Emils dator påstår att det inte alls finns så mycket ledigt utrymme. Efter lite efterforskningar på Internet lär sig Emil att datorer inte räknar i tiopotenser, utan använder binära tal, alltså tvåpotenser. När en dator säger att en fil tar upp 1 kB betyder det inte att den är $1000$ byte, utan $2^{10} = 1024$ byte, och på samma sätt är ett MB lika med $1024$ kB.

Binärt prefix	Kibi	Mebi	Gibi	Tebi	Pebi
Symbol	Ki	Mi	Gi	Ti	Pi
Tvåpotens	$2^{10}$	$2^{20}$	$2^{30}$	$2^{40}$	$2^{50}$

Tabellen ovan visar de mer korrekta namnen för de binära prefixen. Emils dator visar alltså storleken på hårddisken i tebibytes medan affären som sålde hårddisken angav storleken i terabytes. Hur stor säger Emils dator att hårddisken är? Svara i tebibytes och med

2

decimaler.

Vi vet att hårddisken har kapaciteten 16 terabyte, alltså 16 * 10^(12) byte. Från tabellen kan vi läsa av att en tebibyte består av 2^(40) bytes. Delar vi antalet bytes på hårddisken med antalet bytes i en tebibyte ska vi få antalet tebibytes som ryms på hårddisken. Först skriver vi om 2^(40) i grundpotensform.

Det finns ungefär 1,100 * 10^(12) bytes i en tebibyte. Delar vi nu antalet bytes på hårddisken, 16 * 10^(12), med detta tal får vi hur många tebibytes som hårddisken rymmer.

Emils dator visar alltså bara 14,55 tebibyte, en bra bit under vad han väntade sig.

Står

10 \cdot 1 0^{2, 5}

på grundpotensform?

Skriv talet på grundpotensform utan att använda räknare.

Tal på grundpotensform står på formen a*10^b, där a är ett tal som är minst 1, men mindre än 10. Eftersom sqrt(10)≈ 3,16 är a ett tal mellan 1 och 10. Men b måste vara ett heltal. Eftersom 2,5 inte är ett heltal står talet inte på grundpotensform.

Vi skriver om sqrt(10) som en potens och kan därefter multiplicera potenserna eftersom de har samma bas.

Talet skrivs i grundpotensform som 1*10^3.

Skriv om bråket i grundpotensform utan att använda räknare.

\frac{1 6}{2 ^{99} \cdot 5 ^{96}}

Vi förenklar först nämnaren separat genom att skriva om den som en enda potens. Det kan vi göra om vi skriver 2^(99) så att en av faktorerna får exponenten 96. Då kan vi skriva om nämnaren så att den får en tiopotens.

Nämnaren kan alltså skrivas om till 8*10^(96). Vi återgår till bråket.

Vi får alltså 2*10^(-96).

Grundpotensform och prefix

Förkunskaper

Tiopotens

Skriv ett stort tal med tiopotens

Ledtråd

Lösning

Skriv ett litet tal med tiopotens

Ledtråd

Lösning