{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}.
{{ article.displayTitle }}
{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | {{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }} |
| | {{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }} |
Kreditlista Bilder expand_more
- {{ item.file.title }} {{ presentation }}
Inga inlägg om filrättigheter hittades
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Tiopotens
- Grundpotensform
- Prefix
Förkunskaper
Teori
Tiopotens
En tiopotens är en potens med bas 10, t.ex. 102. Värdet av tiopotenser följer alltid samma struktur: en 1:a med ett visst antal nollor till höger eller vänster om 1:an. Hur många nollor samt på vilken sida om 1:an de ska skrivas anges av exponenten.
| Tiopotens | Värde | Exponent | Antal nollor |
|---|---|---|---|
| 102 | 100 | 2 | 2 |
| 101 | 10 | 1 | 1 |
| 100 | 1 | 0 | 0 |
| 10−1 | 0,1 | −1 | 1 |
| 10−2 | 0,01 | −2 | 2 |
Exempel
Skriv ett stort tal med tiopotens
Skriv talet 2000000 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2 \\times 10^6"]}}
Ledtråd
Tänk på att 2000000 kan delas upp i två faktorer: en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många nollor som finns i 1000000 för att bestämma exponenten i tiopotensen.
Lösning
Talet 2000000 har ingen
egentiopotens. Vi skriver därför om det som 2⋅1000000 så att vi kan utnyttja tiopotensen som motsvarar 1000000. Eftersom det är 6 nollor i talet är det tiopotensen med exponenten 6 som ska användas, dvs. 106. Vi kan alltså skriva om talet på följande sätt.
2000000=2⋅1000000=2⋅106
Exempel
Skriv ett litet tal med tiopotens
Skriv talet 0,0003 med hjälp av en tiopotens.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3 \\times 10^{-4}"]}}
Lösning
Vi börjar med att skriva om talet 0,0003 som 3⋅0,0001 eftersom vi då kan använda att 0,0001 motsvarar tiopotensen 10−4. Talet kan alltså skrivas om på följande sätt.
0,0003=3⋅0,0001=3⋅10−4
Teori
Grundpotensform
Grundpotensform är ett mer kompakt sätt att skriva väldigt stora eller väldigt små tal. När man skriver om ett tal i grundpotensform delar man upp det i ett tal mellan 1 och 10 som anger värdesiffrorna och en tiopotens som anger storleken. Det gör att man inte behöver skriva ut alla nollor. Till exempel kan talet 4 miljarder skrivas som
På motsvarande sätt, för tal mindre än 1, till exempel 0,000022, flyttar vi decimalkommat åt höger tills talet är mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger då den negativa exponenten i 10-potensen.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att uttrycka besvärliga tal; det underlättar också jämförelsen av numeriska ordningsstorlekar. Genom att titta på exponenten är det tydligt vilket nummer som är större eller mindre. Till exempel, 3⋅107 är större än 4⋅106 eftersom 107 är större än 106.
Grundpotensform är inte bara ett praktiskt sätt att skriva stora eller små tal; det gör det också enklare att jämföra talens storleksordning. Genom att jämföra exponenterna kan vi direkt se vilket tal som är störst eller minst. Till exempel är 3⋅107 större än 4⋅106 eftersom 107 är större än 106.
4000000000=4⋅109.
Detta gäller även för mycket små decimaltal där det finns många nollor innan värdesiffrorna, vilket ger en negativ exponent på tiopotensen. Exempelvis är 0,000000234=2,34⋅10−7.
Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.
| Tal | Värdesiffror | Storlek | Grundpotensform |
|---|---|---|---|
| 53000 | 5 och 3 | 10000 | 5,3⋅104 |
| 432 | 4, 3, och 2 | 100 | 4,32⋅102 |
| 0,0074 | 7 och 4 | 0,001 | 7,4⋅10−3 |
| 0,000031 | 3 och 1 | 0,00001 | 7,1⋅10−5 |
Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större 23740000000 är jämfört med 457300000, men det är lättare att se att 2,374⋅1010 och 4,573⋅108 skiljer sig åt med en faktor som är ungefär 102=100. Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.
Extra
Intuitiv metod: Skriva om ett nummer i grundpotensformEtt intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än 10, flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i 10-potensen.
3⋅107 > 4⋅106
Det hjälper oss att snabbt få en uppfattning om talets storlek, även när det är väldigt stort eller litet.
Teori
Grundpotensform på räknare
Räknaren har ett annorlunda sätt att skriva grundpotensform. Istället för att skriva *10^
anges symbolen E. Vill man själv använda detta sätt att skriva in tiopotenser trycker man på knappen EE (2nd + ,).
Symbolen E betyder alltså gånger 10 upphöjt till...
0,0052000000000=400000000000
skrivas som nedan. 
Man kan också använda knappen 10x, men då måste man sätta parenteser runt täljare och nämnare. Annars kommer räknaren bara dividera talen närmast divisionstecknet, och exemplet tolkas som 2⋅5109⋅10−3.
Exempel
Skriv ett stort tal i grundpotensform
Skriv talet 893400 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["8.934 \\times 10^{5}"]}}
Lösning
893400 står i storleksordningen "hundratusental" så tiopotensen i talets grundpotensformen blir 105. Vi ser även att talet har fyra värdesiffror (8,9,3 och 4) så framför tiopotensen ska vi sätta decimaltalet 8,934. Grundpotensformen blir:
8,934⋅105
Exempel
Skriv ett litet tal i grundpotensform
Skriv talet 0,002016 på grundpotensform.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.016 \\times 10^{-3}"]}}
Ledtråd
För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran.
Lösning
Decimaltalet har fyra värdesiffror och den första av dessa är 2. För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran och vi ser då att det sitter tre nollor framför 2. Talets storleksordning är alltså "tusendel" så tiopotensen vi ska använda är 10−3. Framför tiopotensen sätter vi decimaltalet 2,016 vilket ger oss:
2,016⋅10−3
Teori
Prefix
Ett prefix är ett ord som läggs till framför en enhet, oftast en grundenhet, och används för att visa en multipel av den enheten. Alla prefix är potenser av 10. Prefix kan ses som ett alternativ till grundpotensform. Exempelvis kan 7,3⋅103 gram kan skrivas som 7,3 kilogram, eftersom prefixet
Notera att prefixnamnen inte kan användas tillsammans.
kilobetyder 103.
7,3⋅103 gram=7,3 kilogram
Varje prefix har en unik symbol som kan sättas framför vilken enhetssymbol som helst. | Prefix större än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| mega | M | miljon — 1000000 | |
| kilo | k | tusen — 1000 | |
| hekto | h | hundra — 100 | |
| deka | da | tio — 10 | |
De prefix som är mindre än 1 visas i följande tabell.
| Prefix mindre än 1 | |||
|---|---|---|---|
| Prefix | Symbol | Betydelse | |
| deci | d | en tiondel — 0,1 | |
| centi | c | en hundradel — 0,01 | |
| milli | m | en tusendel — 0,001 | |
| mikro | μ | en miljonedel — 0,000001 | |
0,000002 meter → 2 mikrometer2 centimillimeter
En annan viktig sak att lägga märke till är att SI-grundenheten för massa, kilogram, redan innehåller ett prefix. Eftersom flera prefix inte är tillåtna så används de prefixnamn som visas i tabellerna med enheten gram (g), istället för kilogram.
0,000001 kilogram → 1 milligram1 microkilogram
Extra
Användbart diagramFöljande diagram visar relationerna mellan olika prefix. Det kan användas vid omvandling från ett prefix till ett annat. Exempelvis är 1 kilogram lika med 10 hektogram. När man går ner ett steg i tabellen ska talet framför enheten alltså multipliceras med 10, och när man går upp ett steg i tabellen ska talet divideras med 10.
Tänk även på att diagrammet inte stämmer helt för grundenheten kilogram, eftersom den redan har ett prefix. I det fallet är det istället gram som ska stå i mittenrutan.
Övning
Välj rätt prefix
Laddar innehåll