Logga in
| 10 sidor teori |
| 36 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
En tiopotens är en potens med bas 10, t.ex. 102. Värdet av tiopotenser följer alltid samma struktur: en 1:a med ett visst antal nollor till höger eller vänster om 1:an. Hur många nollor samt på vilken sida om 1:an de ska skrivas anges av exponenten.
Tiopotens | Värde | Exponent | Antal nollor |
---|---|---|---|
102 | 100 | 2 | 2 |
101 | 10 | 1 | 1 |
100 | 1 | 0 | 0 |
10−1 | 0,1 | −1 | 1 |
10−2 | 0,01 | −2 | 2 |
Skriv talet 2000000 med hjälp av en tiopotens.
Tänk på att 2000000 kan delas upp i två faktorer: en siffra och en tiopotens genom att identifiera hur många nollor som finns i 1000000 för att bestämma exponenten i tiopotensen.
egentiopotens. Vi skriver därför om det som 2⋅1000000 så att vi kan utnyttja tiopotensen som motsvarar 1000000. Eftersom det är 6 nollor i talet är det tiopotensen med exponenten 6 som ska användas, dvs. 106. Vi kan alltså skriva om talet på följande sätt.
Skriv talet 0,0003 med hjälp av en tiopotens.
Nedan visas ytterligare några exempel på tal skrivna på grundpotensform.
Tal | Värdesiffror | Storlek | Grundpotensform |
---|---|---|---|
53000 | 5 och 3 | 10000 | 5,3⋅104 |
432 | 4, 3, och 2 | 100 | 4,32⋅102 |
0,0074 | 7 och 4 | 0,001 | 7,4⋅10−3 |
0,000031 | 3 och 1 | 0,00001 | 7,1⋅10−5 |
Grundpotensform gör det enklare att jämföra tals storleksordning, alltså om det t.ex. är ett tiotal eller ett tusental. Det kan vara svårt att avgöra hur mycket större 23740000000 är jämfört med 457300000, men det är lättare att se att 2,374⋅1010 och 4,573⋅108 skiljer sig åt med en faktor som är ungefär 102=100. Räknare har speciella knappar för att enklare kunna skriva tal i grundpotensform.
Ett intuitivt sätt att skriva ett tal i grundpotensform är att räkna antalet steg som decimalkommat måste flyttas. Om vi har ett tal större än 10, flyttar vi decimalkommat åt vänster, så att talet blir mellan 1 och 10. Antalet steg som decimalkommat flyttas anger den positiva exponenten i 10-potensen.
Räknaren har ett annorlunda sätt att skriva grundpotensform. Istället för att skriva *10^
anges symbolen E. Vill man själv använda detta sätt att skriva in tiopotenser trycker man på knappen EE (2nd + ,).
Symbolen E betyder alltså gånger 10 upphöjt till...
Man kan också använda knappen 10x, men då måste man sätta parenteser runt täljare och nämnare. Annars kommer räknaren bara dividera talen närmast divisionstecknet, och exemplet tolkas som 2⋅5109⋅10−3.
Skriv talet 893400 på grundpotensform.
Skriv talet 0,002016 på grundpotensform.
För att bestämma vilken tiopotens vi ska använda räknar vi antalet nollor innan den första värdesiffran.
kilobetyder 103.
Prefix större än 1 | |||
---|---|---|---|
Prefix | Symbol | Betydelse | |
mega | M | miljon — 1000000 | |
kilo | k | tusen — 1000 | |
hekto | h | hundra — 100 | |
deka | da | tio — 10 |
De prefix som är mindre än 1 visas i följande tabell.
Prefix mindre än 1 | |||
---|---|---|---|
Prefix | Symbol | Betydelse | |
deci | d | en tiondel — 0,1 | |
centi | c | en hundradel — 0,01 | |
milli | m | en tusendel — 0,001 | |
mikro | μ | en miljonedel — 0,000001 |
Följande diagram visar relationerna mellan olika prefix. Det kan användas vid omvandling från ett prefix till ett annat. Exempelvis är 1 kilogram lika med 10 hektogram. När man går ner ett steg i tabellen ska talet framför enheten alltså multipliceras med 10, och när man går upp ett steg i tabellen ska talet divideras med 10.
Tänk även på att diagrammet inte stämmer helt för grundenheten kilogram, eftersom den redan har ett prefix. I det fallet är det istället gram som ska stå i mittenrutan.
Vi förlänger första bråket med 10 så att de får samma nämnare och utför bråksubtraktionen. För att få 100 000 i nämnaren, som kan skrivas som en tiopotens, kan vi förlänga med 4.
Vi flyttar ner 36 framför bråket och skriver om det till en tiopotens.
Differensen är 3,6* 10^(-4).
Talet består av ett hundratal, ett tiotal osv. hela vägen ned till tusendelar. Varje siffra i talet berättar hur många av varje sort man har. Det betyder att det finns 2 stycken 10^2, vilket vi kan skriva som 2*10^2. Sedan fortsätter vi på samma sätt för resten.
Siffra | 2 | 6 | 2 | 5 |
---|---|---|---|---|
Platsvärde | 100 | 10 | 1 | 0,1 |
Tiopotens | 10^2 | 10^1 | 10^0 | 10^(- 1) |
För att skriva talet på utvecklad form kombinera vi sedan siffrorna i toppraden med tiopotenserna i sista. Det ger oss 2 * 10^2 + 6 * 10^1 + 2* 10^0 + 5* 10^(- 1)
Arean av en rektangel ges av långsidan multiplicerat med kortsidan.
Men för att utföra multiplikationen behöver vi skriva om en av sidorna så att de har samma enhet. Eftersom man söker arean i kvadratmeter skriver vi om 3 km enligt 3 km = 3 000 m Nu kan områdets area beräknas.
Området har arean 3,3 * 10 ^6 m^2.
Skriver du in talet på räknaren kommer få ett meddelande i stil med Error:Overflow
. Detta betyder att talet är för stort för räknaren att hantera. Men vi kan resonera kring hur tiopotenser fungerar och lösa uppgiften ändå. Vi beräknar 10^x för exponenterna 1, 2, 3, 4 och försöker hitta ett mönster.
x | 10^x | = | Antal siffror |
---|---|---|---|
0 | 10^0 | 1 | 1 |
1 | 10^1 | 10 | 2 |
2 | 10^2 | 100 | 3 |
3 | 10^3 | 1000 | 4 |
4 | 10^4 | 10000 | 5 |
Vi ser att antalet siffror i talet är 1 större än exponenten. Kan vi skriva om potensen så att basen är 10 kan vi därefter utläsa antalet siffror genom att lägga på 1 till exponenten.
Potensen kan skrivas som 10^(37 035). Detta betyder att antalet siffror i talet blir 37 035+1=37 036.
Beräkna uttrycket 1010010102+10100 utan räknare.
I täljaren finns en summa. Det betyder att kan vi dela upp bråket och sedan använda potenslagarna.
Kvoten som är kvar kan vi nu beräkna med potenslagen om division av potenser.
Man kan också börja med att faktorisera täljaren för att sedan förkorta bråket. Vi använder att 102 kan skrivas som 100+2.
Emil har köpt en ny superhårddisk till sin dator men blir lite besviken när han sätter in den. På hårddisken står det att den rymmer 16 TB (terabyte) men Emils dator påstår att det inte alls finns så mycket ledigt utrymme. Efter lite efterforskningar på Internet lär sig Emil att datorer inte räknar i tiopotenser, utan använder binära tal, alltså tvåpotenser. När en dator säger att en fil tar upp 1 kB betyder det inte att den är 1000 byte, utan 210=1024 byte, och på samma sätt är ett MB lika med 1024 kB.
Binärt prefix | Kibi | Mebi | Gibi | Tebi | Pebi |
---|---|---|---|---|---|
Symbol | Ki | Mi | Gi | Ti | Pi |
Tvåpotens | 210 | 220 | 230 | 240 | 250 |
Vi vet att hårddisken har kapaciteten 16 terabyte, alltså 16 * 10^(12) byte. Från tabellen kan vi läsa av att en tebibyte består av 2^(40) bytes. Delar vi antalet bytes på hårddisken med antalet bytes i en tebibyte ska vi få antalet tebibytes som ryms på hårddisken. Först skriver vi om 2^(40) i grundpotensform.
Det finns ungefär 1,100 * 10^(12) bytes i en tebibyte. Delar vi nu antalet bytes på hårddisken, 16 * 10^(12), med detta tal får vi hur många tebibytes som hårddisken rymmer.
Emils dator visar alltså bara 14,55 tebibyte, en bra bit under vad han väntade sig.
Vi förenklar först nämnaren separat genom att skriva om den som en enda potens. Det kan vi göra om vi skriver 2^(99) så att en av faktorerna får exponenten 96. Då kan vi skriva om nämnaren så att den får en tiopotens.
Nämnaren kan alltså skrivas om till 8*10^(96). Vi återgår till bråket.
Vi får alltså 2*10^(-96).