body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Grafens utseende och derivatans tecken Visa detaljer

Innehållsförteckning

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Kapitel

Grafens utseende och derivatans tecken

Den här lektionenen ger en detaljerad förklaring av hur teckentabeller och derivata kan användas för att förstå funktioners grafiska utseende. Den förklarar hur derivatans nollställen, dvs. de x-värden där derivatan till en funktion är 0, kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter. Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär. En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Den här lektionenen ger också exempel på hur man gör en teckentabell för en funktion.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Grafens utseende och derivatans tecken

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Stationär punkt
Derivatans nollställen
Teckentabell
Göra en teckentabell utifrån graf

Förkunskaper

Koncept

Växande funktion

En funktion $f (x)$ sägs vara växande om den för alla tillåtna $x -$ värden $x_{1}$ och $x_{2},$ där $x_{2}$ är större än $x_{1},$ har ett funktionsvärde $f (x_{2})$ som är större än eller lika med funktionsvärdet $f (x_{1}) .$

$Om x_{2} > x_{1} s \overset{˚}{a} \ddot{a} r f (x_{2}) \geq f (x_{1})$

Grafiskt kan detta tolkas som att funktionens graf aldrig avtar när man rör sig åt höger, utan bara stiger eller planar ut.

En växande funktion som aldrig planar ut sägs vara strängt växande. För dessa gäller att

f (x_{2}) > f (x_{1})

när

x

ökar.

Koncept

Avtagande funktion

En funktion $f (x)$ sägs vara avtagande om den för alla tillåtna $x -$ värden $x_{1}$ och $x_{2},$ där $x_{2}$ är större än $x_{1},$ har ett funktionsvärde $f (x_{2})$ som är mindre än eller lika med funktionsvärdet $f (x_{1}) .$

$Om x_{2} > x_{1} s \overset{˚}{a} \ddot{a} r f (x_{2}) \leq f (x_{1})$

Grafiskt kan detta tolkas som att funktionens graf aldrig växer när man rör sig åt höger, utan bara avtar eller planar ut.

En avtagande funktion som aldrig planar ut sägs vara strängt avtagande. För dessa gäller att

f (x_{2}) < f (x_{1})

när

x

ökar.

Exempel

Bestäm växande och avtagande intervall utifrån grafen

Utifrån grafens egenskaper, bestäm de intervall där funktionen är växande och de där den är avtagande.

Svar

$Avtagande : V \ddot{a} xande : x \leq - 2 och - 1 \leq x \leq 0 - 2 \leq x \leq - 1 och x > 0$

Ledtråd

Identifiera extrempunkterna och observera var funktionen växer eller avtar mellan dem.

Lösning

Figuren visar grafen av en fjärdegradspolynomfunktion, som har tre extrempunkter. Det finns två minimipunkter vid $x = - 2$ och $x = 0 .$ Den har också ett lokalt maximum vid $x = - 1 .$

För $x -$ värden mindre än $- 2$ avtar funktionen tills den når sitt minimum vid $x = - 2 .$ Därefter ökar den tills den når ett lokalt maximum vid $x = - 1,$ och avtar igen tills den når det andra minimumet vid $x = 0 .$ Slutligen, för $x -$ värden större än $0,$ ökar funktionen.

Intervallen där funktionen är växande och avtagande kan nu anges utifrån det som har fastställts.

Avtagande : V \ddot{a} xande : x \leq - 2 och - 1 \leq x \leq 0 - 2 \leq x \leq - 1 och x > 0

Koncept

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, $f .$

$x$		$- 2$		$1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

Tabellen förklarar inte i detalj hur grafen ser ut, men den beskriver de mest utmärkande dragen. I den finns t.ex. information om karaktären hos eventuella stationära punkter och var funktionen växer och avtar. Den här teckentabellen kan exempelvis tillhöra grafen nedan.

Koncept

Stationära punkter och derivatans nollställen

De $x -$ värden där derivatan till en funktion är $0$ kallas derivatans nollställen. Dessa kan användas för att bestämma funktionens stationära punkter, dvs. maximi-, minimi- och terrasspunkter, eftersom derivatan är $0$ där.

Genom att undersöka derivatans tecken till vänster och höger om de stationära punkterna kan man bestämma deras karaktär, dvs. om de är maximi-, minimi- eller terrasspunkter. Om det är olika tecken på båda sidor är det en extrempunkt och om tecknen är lika måste det vara en terrasspunkt. Grafiskt kan man se det som att funktionen byter riktning vid extrempunkter, men inte vid terrasspunkter.

Koncept

Teckentabell

En teckentabell är ett verktyg för att beskriva en grafs utseende och sambandet med dess derivata. Nedan syns ett exempel på en teckentabell för en funktion, $f .$

$x$		$- 2$		$1$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Min	$↗$

Metod

Göra en teckentabell utifrån graf

Grafen visar femtegradsfunktionen $f (x) .$

Genom att göra en teckentabell till

f (x)

enligt följande metod sammanfattar man viktiga egenskaper hos grafen.

Identifiera stationära punkter och ställ upp teckentabell

Börja med att identifiera för vilket eller vilka $x -$ värden som grafen har stationära punkter

Ställ sedan upp teckentabellen och fyll i $x -$ värdena för de stationära punkterna. I dessa punkter är derivatan $f^{'} (x)$ lika med $0 .$ Man anger också vilken karaktär de stationära punkterna har, där Ter. står för terrasspunkt.

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$		$0$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

Fyll i utseendet för

f (x)

på intervallen

På intervallen till vänster och höger om de stationära punkterna är grafen antingen växande eller avtagande.

Tabellens kolumner bredvid $x -$ värdena representerar dessa intervall. I raden för funktionen $f (x)$ ritar man pilar som beskriver grafens utseende där, antingen $↗$ för växande eller $↘$ för avtagande.

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$		$0$		$0$		$0$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

Fyll i tecknet för

f^{'} (x)

på intervallen

Där funktionen $f$ är växande är derivatan positiv. På motsvarande sätt är derivatan negativ då grafen är avtagande. Detta markeras med $+$ respektive $-$ på raden för derivatan $f^{'} (x),$ och därmed är teckentabellen komplett.

$x$		$- 2$		$5$		$9$
$f^{'} (x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f (x)$	$↗$	Max	$↘$	Ter.	$↘$	Min	$↗$

Exempel

Gör en teckentabell utifrån grafen

Gör en teckentabell till andragradsfunktionen $y (x) .$

Svar

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$y (x)$	$↘$	Min	$↗$

Ledtråd

Identifiera stationära punkter. Studera grafens beteende mellan punkterna för att se var den ökar eller minskar.

Lösning

Vi börjar med att identifiera stationära punkter, dvs. punkter där derivatan är $0 .$ Den här grafen har bara en sådan punkt, där $x = - 2 .$

Det är en minimipunkt eftersom andragradskurvans minsta värde antas där. Vi ställer upp en teckentabell med plats för minimipunkten och ett intervall på vardera sida.

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$		$0$
$y (x)$	$↗$	Min	$↘$

Sedan tittar vi på grafens utseende på intervallen. Funktionen är avtagande till vänster och växande till höger om minimipunkten.

Vi markerar detta i raden för $y (x)$ med $↘$ respektive $↗ .$ Vi fyller även i derivatans tecken.

$x$		$- 2$
$y^{'} (x)$	$-$	$0$	$+$
$y (x)$	$↘$	Min	$↗$

Övning

Träna på att klassificera punkter på en funktion

Läs villkoren för den givna funktionen och dess derivata kring den stationära punkten. Avgör om punkten är ett minimum, maximum eller varken eller. Om det hjälper, konstruera en teckentabell för derivatan.

Grafens utseende och derivatans tecken

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.