1. Geometriska talföljder och summor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
1.
Geometriska talföljder och summor
Geometriska talföljder och summor är centrala koncept inom matematiken. En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal för att få nästa element. Summan av talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Att kunna räkna ut dessa summor är en viktig färdighet inom matematiken, och det finns specifika formler för att göra detta. Att förstå och kunna tillämpa dessa koncept är en viktig del av matematikundervisningen.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 16 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Geometriska talföljder och summor
Sida av 5
Koncept
Talföljd
En talserie är en följd av tal som är ordnade enligt en viss regel. Varje tal i serien kallas en term. Till exempel kan vi titta på en talserie där varje tal är 2 större än det föregående.
Här är skillnaden mellan den första och andra termen samma som skillnaden mellan den andra och tredje, och så vidare. Denna skillnad kallas för den gemensamma differensen i talserien. Den gemensamma differensen kan också vara negativ. Titta på följande sekvens där värdena minskar:
Beroende på antalet termer kan en talserie vara ändlig eller oändlig. Eftersom det inte är möjligt att lista alla element i en oändlig serie är det vanligt att sätta tre punkter efter några termer för att indikera att serien fortsätter oändligt baserat på ett specifikt mönster.
Regel
Geometrisk talföljd
En geometrisk talföljd byggs upp genom att varje element multipliceras med samma tal k för att få nästa element. Talet k kan t.ex. vara 2, så att varje tal i följden är dubbelt så stort som det förra.
Precis som i andra följder brukar första talet kallas a1, nästa a2 osv.
Talet k brukar kallas följdens kvot. Det heter så eftersom k kan bestämmas genom att ta två intilliggande tal i följden och dividera dem: det senare delat på det föregående.
k=an−1an
Regel
Formel
an=a1⋅kn−1
Exempel
Beräkna det n:te värdet i talföljden
Beräkna det tolfte elementet i den oändliga geometriska talföljden
4,12,36,108,…
Visa Lösning expand_more
Vi börjar med att undersöka vad kvoten k mellan ett element och det närmast föregående är. Eftersom vi får givet att talföljden är geometrisk och kvoten i en sådan är konstant räcker det med att dividera t.ex. de två första elementen:
Det tolfte elementet i talföljden är alltså 708588.
412=3.
Kvoten är alltså 3 och vi ska nu bestämma det tolfte elementet. Det första elementet, a1, är känt vilket betyder att vi kan ta fram en formel för talföljden:
an=a1⋅kn−1.
Vi sätter in a1=4, k=3 och n=12.
an=a1⋅kn−1
SubstituteValues
Sätt in värden
a12=4⋅312−1
SubTerm
Subtrahera term
a12=4⋅311
UseCalc
Slå in på räknare
a12=708588
Regel
Geometrisk summa
Summan av de n första talen i en geometrisk talföljd kallas för en geometrisk summa. Den skrivs ofta:
sn=a+ak+ak2+…+akn−1,
där a är första talet, k är kvoten mellan två intilliggande tal och n är antalet termer. Ett exempel är följande geometriska summa som består av de fyra första elementen i den geometriska talföljden an=700⋅1.5n−1:
700+700⋅1.5+700⋅1.52+700⋅1.53.
Man kan beräkna summan genom att addera termerna, en i taget. Alternativt, om man känner till värdena a, k, och n kan man använda en formel. Regel
a+ak+…+akn−1=k−1a(kn−1)k=1
Man kan motivera formeln med hjälp av en geometrisk summa där t.ex. n=4:
s4=a+ak+ak2+ak3.
Om man multiplicerar ekvationen med kvoten k får man en ny ekvation:
s4⋅k=ak+ak2+ak3+ak4.
Genom att subtrahera den första ekvationen från den andra kan man få bort ett antal termer från högerledet i ekvationen.
s4=a+ak+ak2+ak3s4⋅k=ak+ak2+ak3+ak4(I)(II)
SysEqnSub
(II): Subtrahera (I)
s4=a+ak+ak2+ak3s4⋅k−s4=ak+ak2+ak3+ak4−(a+ak+ak2+ak3)
RemoveParSigns
(II): Ta bort parentes & byt tecken
s4=a+ak+ak2+ak3s4⋅k−s4=ak+ak2+ak3+ak4−a−ak−ak2−ak3
SimpTerms
(II): Förenkla termer
s4=a+ak+ak2+ak3s4⋅k−s4=ak4−a
Nu kan man fokusera på den andra ekvationen och lösa ut s4.
s4⋅k−s4=ak4−a
FactorOut
Bryt ut s4
s4(k−1)=ak4−a
DivEqn
VL/(k−1)=HL/(k−1)
s4=k−1ak4−a
FactorOut
Bryt ut a
s4=k−1a(k4−1)
Men s4 var ju från början definierad som a+ak+ak2+ak3. Därför kan man skriva likheten
a+ak+ak2+ak3=k−1a(k4−1),
vilket är samma sak som man får om man sätter in n=4 i den generella formeln för summan. Motsvarande motivering kan också göras som ett generellt bevis för n stycken termer.
Exempel
Beräkna den geometriska summan
80+80⋅1.5+80⋅1.52+80⋅1.53.
Visa Lösning expand_more
Formeln för att beräkna en geometrisk summa är:
Summan är alltså lika med 650.
a+ak+ak2+…+akn−1=k−1a(kn−1).
Det första talet är a=80 och kvoten mellan två intilliggande element är k=1.5. I formeln står n för antalet termer och om vi räknar dessa ser vi att den består av 4 termer, så n=4. Vi sätter in våra värden i formeln och förenklar.
sn=k−1a(kn−1)
SubstituteValues
Sätt in värden
s4=1.5−180(1.54−1)
SubTerm
Subtrahera term
s4=0.580(1.54−1)
SimpQuot
Förenkla kvot
s4=160(1.54−1)
UseCalc
Slå in på räknare
s4=650
Geometriska talföljder och summor
Övningar
En geometrisk talföljd beskrivs av
an=3⋅5n−1.
Vilket av följande alternativ beskriver talföljdens tre första element?
ABCD3,9,273,15,755,15,755,15,125
{"type":"choice","form":{"alts":["A","B","C","D"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
De tre första elementen i den geometriska talföljden är a_1, a_2 och a_3. Vi beräknar dem genom att sätta in 1, 2 och 3 istället för n i a_n = 3* 5^(n-1).
| n | 3* 5^(n-1) | a_n |
|---|---|---|
| 1 | 3* 5^(1-1) | 3 |
| 2 | 3* 5^(2-1) | 15 |
| 3 | 3* 5^(3-1) | 75 |
Talföljden inleds alltså med 3, 15 och 75, d.v.s. alternativ B är rätt.
security
report
code
En geometrisk talföljd beskrivs av
an=3⋅2n−1.
Beräkna a6.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.30110799999999993em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mtight\">6<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["96"]}}
security
report
code
security
report
code
För att bestämma de sökta elementen sätter vi in n=6 i formeln och beräknar.
Talet är alltså a_6=96.
security
report
code
2500,2000,1600,1280,1024,….
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03148em;\">k<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.151392em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2500\\cdot 0.8^{n-1}"]}}
security
report
code
security
report
code
I en geometrisk talföljd är kvoten mellan två på varandra följande element konstant. Därför plockar vi ett par av intilliggande element, t.ex. de två första, och delar det senare på det föregående.
Talföljdens kvot är alltså 0.8.
Varje tal i en geometrisk talföljd ligger något antal multiplikationer av k bort från startvärdet a_1. Antalet multiplikationer är alltid ett mindre än elementets platsnummer, och därför kan följden beskrivas med formeln
a_n = a_1 * k^(n-1).
I det här fallet är första elementet 2500, och i förra deluppgiften fick vi fram kvoten k=0.8. Vi sätter in detta i formeln.
Talföljden kan därför beskrivas med formeln a_n = 2500 * 0.8^(n-1).
security
report
code
En geometrisk talföljd börjar med talen
6, 24, 96, 384, ….
Beskriv det n:te talet i talföljden an med en formel som beror på n.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["n"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.58056em;vertical-align:-0.15em;\"><\/span><span class=\"mord\"><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"msupsub\"><span class=\"vlist-t vlist-t2\"><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.151392em;\"><span style=\"top:-2.5500000000000003em;margin-left:0em;margin-right:0.05em;\"><span class=\"pstrut\" style=\"height:2.7em;\"><\/span><span class=\"sizing reset-size6 size3 mtight\"><span class=\"mord mathdefault mtight\">n<\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"vlist-s\">\u200b<\/span><\/span><span class=\"vlist-r\"><span class=\"vlist\" style=\"height:0.15em;\"><span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6\\cdot 4^{n-1}"]}}
security
report
code
security
report
code
För att beskriva en geometrisk talföljd med en formel behöver vi det första talet och kvoten mellan varje element. Det första talet, a_1, är 6. Kvoten kan vi beräkna genom att dividera ett av talen med det föregående. Vi väljer det första och andra elementet: k=24/6=4. Nu sätter vi in dessa värden i formeln för en geometrisk talföljd vilket ger a_n=a_1* k^(n-1) ⇒ a_n=6*4^(n-1).
security
report
code
En geometrisk talföljd beskrivs av
an=3⋅4n−1.
Beräkna summan av de 10 första elementen i talföljden.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1048575"]}}
security
report
code
security
report
code
När man lägger ihop element i en geometrisk talföljd bildas en geometrisk summa. Att lägga ihop alla 10 termer en i taget är för besvärligt, så istället använder vi formeln: s_n = a(k^n - 1)/k-1. För att beräkna summan behöver vi veta antalet element som ska summeras, n, värdet av det första elementet, a, samt kvoten, k. Vi ska summera de första 10 elementen, så n=10. Sedan ser vi i talföljdens formel att a=3 och k=4.
Summan av de 10 första talen i talföljden är 1 048 575.
security
report
code
Om det första elementet i en geometrisk talföljd är 2 och summan av de 2 första elementen är 8, vad är då värdet på talföljdens 6:e element?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["486"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att det första elementet är a_1 = 2 och att summan av de två första elementen är 8: a_1 + a_2 = 8. Eftersom vi vet värdet på a_1 kan vi använda detta för att beräkna a_2.
Nu har vi två på varandra följande element, och då kan vi beräkna talföljdens kvot.
Nu har vi talföljdens första element och dess kvot, och det är allt som behövs till en formel för element a_n:
a_n = a_1 * k^(n-1).
Vi sätter in våra värden samt n=6 för att beräkna det sjätte elementet i följden.
Det sjätte elementet i serien är alltså 486.
security
report
code
Vilken är den fjärde termen i den geometriska summan?
2+2⋅3+2⋅32+…
Nationella provet HT12 3b
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\cdot 3^3"]}}
security
report
code
security
report
code
I en geometrisk summa multiplicerar man ett element med en faktor k för att få nästa element. Från den geometriska summan ser vi att det första talet är 2, det andra är 2* 3 och det tredje är 2* 3^2. Faktorn man multiplicerar med är alltså 3 så för att få nästa tal ska man multiplicera 2* 3^2 med 3: 2* 3^2* 3 = 2* 3^3.
security
report
code
Geometriska talföljder och summor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll