body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1a

Kurs 1a Visa detaljer

2. Funktioner och grafer

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 6

2.

Funktioner och grafer

Funktioner och grafer är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Grafer används för att visuellt representera dessa funktioner. Genom att rita en graf kan man se hur funktionens värde ändras när man ändrar värdet på variabeln. Detta kan vara mycket användbart för att förstå funktionens beteende. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att kunna rita och tolka grafer är en viktig färdighet inom matematiken.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Funktioner och grafer

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktioner
Funktionsvärde
Värdetabell
Graf över en funktion
Rita grafer på räknare

Förkunskaper

Algebraiskt uttryck
Utvärdera ett uttryck
Ekvation
Ekvationslösning
Formel

Teori

Funktioner

En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, gör om det enligt regeln och ger tillbaka ett nytt värde. Till exempel tar funktionen $y = x + 3$ invärdet $x,$ som kan vara vilket tal som helst, lägger till $3$ och ger tillbaka resultatet som utvärdet $y .$ Ibland skriver man även $f (x) = x + 3,$ där $f$ är namnet på funktionen och $x + 3$ kallas funktionsuttrycket.

Maskin som simulerar funktionen f(x)=3x+4. Varje tal som går in i maskinen multipliceras med 3 och ökas sedan med 4.

Det värde man får som resultat av funktionen kallas funktionsvärde och kan även bestämmas grafiskt om funktionen representeras av en graf. Då utgår man från den plats på

x -

axeln som motsvarar invärdet, går lodrätt upp eller ner till grafen och sedan vågrätt till

y -

axeln där man kan läsa av funktionsvärdet.

När man skriver

f (7)

menar man funktionsvärdet för funktionen

f

när man sätter in

7

i funktionsuttrycket. Det utläses

f

av

7 .

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen $g (x) = 2 x - 5 .$

a Bestäm

g (4) .

b Bestäm

g (300) .

Ledtråd

a Använd grafen.

b Substituera

x -

värdet i funktionsuttrycket.

Lösning

a För att bestämma

g (4)

utgår vi från

x = 4

på

x -

axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på

y -

axeln.

Funktionsvärdet är

3

när

x = 4,

så

g (4) = 3 .

b Grafen är enbart uppritad för relativt små

x

så vi kan inte bestämma

g (300)

grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in

x = 300

i funktionsuttrycket.

g (x) = 2 x - 5

$x = 300$

g (300) = 2 \cdot 300 - 5

Multiplicera faktorer

g (300) = 600 - 5

Subtrahera term

g (300) = 595

De funktionsvärdet är $g (300) = 595 .$

Övning

Utvärdera olika funktioner

Utvärdera den givna funktionen vid den givna inmatningen.

Slumpmässiga funktioner som behöver utvärderas vid slumpmässiga inmatningar.

Teori

Värdetabell

En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

I den här tabellen utgör varje

x -

och

y -

värde som förekommer i samma rad ett ordnat par. Till exempel motsvarar

x -

värdet

2

y -

värdet

6 .

Detta representeras vanligtvis med notation

(2, 6) .

Teori

Graf

En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.

Grafer: f(x)=2x+1, g(x)=-0.5x+2, h(x)=x^2-2.

Grafen i sig visar inte själva funktionsuttrycket vilket är en begränsning. Däremot ger grafen en större överblick av funktionen än formeln då man ser flera par av

x -

och

y -

värden samtidigt. Den hjälper till att identifiera viktiga punkter för funktionen som inte tydligt kan ses från den motsvarande funktionsregeln, såsom det maximala eller minimala värdet, skärningen med axlarna, bland andra egenskaper.

Teori

Rita grafer med räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

1

Ange funktionsregeln

Tryck först på knappen $Y =$ och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. Använd knappen $X, T, θ, n$ för att skriva $x .$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(-)$ och inte $- .$

Fönster med funktioner

2

Rita grafen

För att rita upp grafen trycker man på $GRAPH .$ Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Fönster med en graf

3

Utforska grafen

Genom att trycka på $TRACE$ kan man läsa av $x -$ och $y -$ värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

funktionsfönster på räknare

Man kan också själv sätta in ett $x -$ värde och låta räknaren beräkna $y -$ värdet genom att trycka på $2 ND$ och $TRACE$ och välja value.

meny på räknare

Nu kan man välja vilket $x -$ värde man är intresserad av.

graffönster på räknare

Trycker man på $ENTER$ visas funktionens $y -$ värde för detta $x -$ värde och markören ställer sig även där.

Extra

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret $Y =$ och skriver in dem på nya rader. Byt rad med $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer endast $Y_{1}$ och $Y_{3}$ att ritas upp i koordinatsystemet.

För att välja tillbaka $Y_{2}$ trycker man på likhetstecknet en gång till.

Exempel

Rita grafer av funktioner

Betrakta följande funktioner.

{f (x) = 2 x + 3 g (x) = - x + 6

a Använd en miniräknare för att rita grafer av funktionerna.

b Använd en kalkylator för att hitta skärningspunkten mellan graferna.

Svar

a Graf:

b Skärningspunkt:

(1, 5)

Ledtråd

a Skriv in ekvationerna genom att trycka på

Y =

knappen. Rita sedan graferna genom att trycka på

GRAPH .

b Tryck på

2 ND

och

CALC

och välj det femte alternativet, intersect. Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.

Lösning

a Lägg märke till att båda funktionerna är givna på rätt-linje form. För att rita graferna på en grafräknare måste vi först skriva in ekvationerna genom att trycka på

Y =

knappen.

Efter att ha angett ekvationerna kan vi rita deras grafer genom att trycka på $GRAPH .$

b För att hitta skärningspunkten trycker vi på

2 ND

och

CALC

och väljer det femte alternativet, intersect.

Nu kommer vi att se grafen igen. Vi måste välja första och andra kurvan innan vi gissar var skärningspunkten ligger. Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.

Graferna skär varandra i punkten $(1, 5) .$

Funktioner och grafer

Övningar

En funktion

f (x)

beskrivs av

f (x) = 5 x - 2 .

Beräkna följande.

f (1)

f (0)

f (- 3)

Vi bestämmer funktionsvärdet f(1) genom att först sätta in x=1 och beräkna.

f(1) är alltså lika med 3.

På samma sätt som i den förra deluppgiften beräknar vi f(0) genom att byta ut x mot 0.

Vi fortsätter på samma sätt och ersätter x med - 3.

Bestäm

f (3)

om

f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5 .

f(3) betyder funktionens värde när x=3. Vi beräknar det genom att sätta in x=3 i funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså 26.

En funktion

f (x)

ges av

f (x) = x^{2} - 2 x + 5 .

Beräkna följande.

f (3)

f (0)

f (- 3)

Vi bestämmer funktionsvärdet f(3) genom att byta ut x mot 3 och beräkna värdet av funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså lika med 8.

På samma sätt som i den förra deluppgiften sätter vi in x=0 i f(x).

f(0) är lika med 5.

Vi fortsätter på samma sätt som i föregående deluppgifter och ersätter x med - 3.

f(- 3) är alltså lika med 20.

I koordinatsystemet är grafen till funktionen $f (x)$ ritad.

graf över en tredjegradsfunktion som skär x-axeln i -2, 1 och 5

För vilka värden på

x

är

f (x) = 0

?

Vi ska ange de x-värden där y = 0, dvs. där grafen till f(x) skär x-axeln. Dessa x-värden kan vi läsa av direkt.

De sökta punkternas x-koordinater är alltså x = -2, x = 1 och x = 5, vilket är samma sak som funktionens nollställen.

Funktionen $f (x)$ har ritats in i ett koordinatsystem.

Graf till funktionen y=2x

I vilken punkt skär grafen

x

-axeln?

I vilken punkt skär grafen

y

-axeln?

Vi kan läsa av direkt i vilket x-värde grafen skär x-axeln.

Det gör den för x=1. Längs med hela x-axeln är y-koordinaten 0 så linjen skär x-axeln i punkten (1,0).

Från grafen ser vi att linjen skär y-axeln när y=-2.

Längs med hela y-axeln är x-koordinaten 0 så punkten är (0,-2).

Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.

$x$	$y$
-2	-3
0	-1
2	1
3	2

Från värdetabellen kan vi avläsa punkterna (-2,-3), (0,-1), (2,1) och (3,2). Vi markerar dessa i ett koordinatsystem.

Vi kan nu rita en graf genom dessa punkter. De verkar ligga längs en rät linje, så vi ritar en sådan.

Grafen visar hur Benrik cyklar till jobbet en morgon.

En graf som beskriver en cykeltur.

När cyklar Benrik snabbast?

A B C D 0 < t < 10 10 < t < 15 15 < t < 30 30 < t < 40

Vad är Benriks genomsnittliga hastighet? Svara i km/min.

Benrik cyklar som snabbast när grafen är brantast. Ju brantare graf desto längre sträcka cyklar hon under en given tidsperiod vilket betyder att hon håller en högre hastighet. Från grafen ser vi att hon cyklar som snabbast i mellan t=10 och t=15.

Genomsnittshastigheten för hela cykelturen beräknar vi genom att dela den totala resvägen med den totala tiden det tog att cykla till arbetsplatsen. Vi har redan konstaterat att det tog Benrik 40 minuter att cykla 10 kilometer till jobbet. Genomsnittshastigheten blir alltså v=10km/40min=0.25 km/min.

Vad ska stå istället för $a,$ $b,$ $c,$ och $d$ i i följande värdetabell för funktionen $y = 3 x - 2 .$

$x$	$y$
$0$	$a$
$1$	$b$
$2$	$c$
$3$	$d$

En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter för en funktion. Vi vet vilka x-värden som ska ingå i värdetabellen och genom att sätta in dessa i funktionen kan vi beräkna deras motsvarande y-värden.

x	3x-2	y
0	3* 0-2	- 2
1	3* 1-2	1
2	3* 2-2	4
3	3* 3-2	7

Värdetabellen består av x- och y-kolumnen.

x	y
0	- 2
1	1
2	4
3	7

Funktioner och grafer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll