2. Funktioner och grafer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
2.
Funktioner och grafer
Funktioner och grafer är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Grafer används för att visuellt representera dessa funktioner. Genom att rita en graf kan man se hur funktionens värde ändras när man ändrar värdet på variabeln. Detta kan vara mycket användbart för att förstå funktionens beteende. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att kunna rita och tolka grafer är en viktig färdighet inom matematiken.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Funktioner och grafer
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktioner
- Funktionsvärde
- Värdetabell
- Graf över en funktion
- Rita grafer på räknare
Teori
Funktioner
En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, gör om det enligt regeln och ger tillbaka ett nytt värde. Till exempel tar funktionen y = x + 3 invärdet x, som kan vara vilket tal som helst, lägger till 3 och ger tillbaka resultatet som utvärdet y. Ibland skriver man även f(x)=x+3, där f är namnet på funktionen och x + 3 kallas funktionsuttrycket.
f av 7.
Exempel
Vad är funktionsvärdet?
Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x-5.
a Bestäm g(4).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(4)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
b Bestäm g(300).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(300)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["595"]}}
Ledtråd
a Använd grafen.
b Substituera x-värdet i funktionsuttrycket.
Lösning
a För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.
Funktionsvärdet är 3 när x=4, så g(4)=3.
b Grafen är enbart uppritad för relativt små x så vi kan inte bestämma g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300 i funktionsuttrycket.
g(x)=2x-5
Substitute
x= 300
g( 300)=2* 300-5
Multiply
Multiplicera faktorer
g(300)=600-5
SubTerm
Subtrahera term
g(300)=595
De funktionsvärdet är g(300)=595.
Övning
Utvärdera olika funktioner
Utvärdera den givna funktionen vid den givna inmatningen.
Teori
Värdetabell
En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
2y-värdet
6.Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).
Teori
Graf
En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.
Teori
Rita grafer med räknare
Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.
1
Ange funktionsregeln
expand_more Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte -.
2
Rita grafen
expand_more För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
3
Utforska grafen
expand_more Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.
Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.
Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.
Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.
Extra
Rita flera graferOm man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.
Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y_1 och Y_3 att ritas upp i koordinatsystemet.
För att välja tillbaka Y_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Exempel
Rita grafer av funktioner
Betrakta följande funktioner. f(x) = 2x+3 g(x) = - x+6
a Använd en miniräknare för att rita grafer av funktionerna.
b Använd en kalkylator för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Svar
a Graf:
b Skärningspunkt: (1,5)
Ledtråd
a Skriv in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen. Rita sedan graferna genom att trycka på GRAPH.
b Tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet,
intersect.Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Lösning
a Lägg märke till att båda funktionerna är givna på rätt-linje form. För att rita graferna på en grafräknare måste vi först skriva in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen.
Efter att ha angett ekvationerna kan vi rita deras grafer genom att trycka på GRAPH.
b För att hitta skärningspunkten trycker vi på 2ND och CALC och väljer det femte alternativet,
intersect.
Nu kommer vi att se grafen igen. Vi måste välja första och andra kurvan innan vi gissar var skärningspunkten ligger. Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Graferna skär varandra i punkten (1,5).
Funktioner och grafer
Uppgift 3.1
Bestäm värdet på kvoten
f(x+0,01)-f(x)/0,01
om du vet att f(x)=2-6x.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["-6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för den första termen i täljaren. f(x+0,01) betyder att vi ersätter x med x+0,01 i funktionsuttrycket dvs. f(x)=2-6x ⇒ f( x+0,01)=2-6( x+0,01). Nu förenklar vi detta.
Nu vet vi vad f(x+0,01) är. Vi sätter även in f(x).
Kvoten är lika med -6.
security
report
code
En linje beskrivs av ekvationen 3x + 2y - 9 = 0. Var skär grafen linjen y-axeln?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi är intresserade av punkten där linjen skär y-axeln. Punkter som ligger på y-axeln har alltid x-koordinaten 0. Vi hittar vår sökta skärningspunkt genom att sätta in x = 0 i ekvationen och lösa ut y. Därigenom hittar vi punktens y-koordinat.
Alltså skär linjen y-axeln där y=4,5.
security
report
code
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x\\neq 1","1\\neq x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["y"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["y\\geq -7","-7\\geq y"]}}
security
report
code
security
report
code
Definitionsmängden är alla x-värden man kan sätta in i en funktion. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen y=4/x-1 definierad för alla x utom de som gör att nämnaren, x-1, blir 0, dvs. då x=1. Det betyder att funktionens definitionsmängd är alla x-värden utom 1. Det kan man även skriva x≠ 1.
Värdemängden är de y-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet för
y=x^2-7.
Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x^2 minst vara 0. Det leder till att det minsta värde som y=x^2-7 kan anta är y=0-7=-7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så y kan bli hur stort som helst. Det betyder att värdemängden är alla y-värden som är större än eller lika med -7.
y≥ -7
security
report
code
Vilket är annorlunda? Hitta "båda" svaren.
security
report
code
security
report
code
Låt oss ta en titt på de givna frågorna. I varje fråga ombeds vi att hitta en funktionsregel för det beskrivna förhållandet.
Låt oss skriva om var och en av frågorna med hjälp av siffror och matematiska tecken för att avgöra vilken av dem som är annorlunda. Innan vi gör det, kom ihåg att ordet är
kan skrivas som =.
Dessutom representerar fraser som summa,
mer än,
och ökad med
addition. Låt y representera utdata.
| Fråga | Uttryck | Förenkla |
|---|---|---|
| Vilket utdata är 4 mer än dubbelt indata 3? | y = 2( 3) + 4 | y=10 |
| Vilket utdata är dubbelt summan av indata 3 och 4? | y = 2( 3 + 4) | y=14 |
| Vilket utdata är summan av 2gånger indata 3 och 4? | y = 2( 3) + 4 | y=10 |
| Vilket utdata är 4 ökad med dubbelt indata 3? | y = 4 + 2( 3) | y=10 |
Vi kan se att i tre fall är utdata lika med 10. Därför är den andra frågan annorlunda och utdata i denna fråga är 14.
security
report
code
Funktioner och grafer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll