2. Funktioner och grafer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
2.
Funktioner och grafer
Funktioner och grafer är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Grafer används för att visuellt representera dessa funktioner. Genom att rita en graf kan man se hur funktionens värde ändras när man ändrar värdet på variabeln. Detta kan vara mycket användbart för att förstå funktionens beteende. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att kunna rita och tolka grafer är en viktig färdighet inom matematiken.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 17 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Funktioner och grafer
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktioner
- Funktionsvärde
- Värdetabell
- Graf över en funktion
- Rita grafer på räknare
Teori
Funktioner
En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, gör om det enligt regeln och ger tillbaka ett nytt värde. Till exempel tar funktionen y=x+3 invärdet x, som kan vara vilket tal som helst, lägger till 3 och ger tillbaka resultatet som utvärdet y. Ibland skriver man även f(x)=x+3, där f är namnet på funktionen och x+3 kallas funktionsuttrycket.
f av 7.
Exempel
Vad är funktionsvärdet?
Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x−5.
a Bestäm g(4).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">4<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
b Bestäm g(300).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">g<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord\">3<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mord\">0<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["595"]}}
Ledtråd
a Använd grafen.
b Substituera x-värdet i funktionsuttrycket.
Lösning
a För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.
g(4)=3.
b Grafen är enbart uppritad för relativt små x så vi kan inte bestämma g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300 i funktionsuttrycket.
g(x)=2x−5
Substitute
x=300
g(300)=2⋅300−5
Multiply
Multiplicera faktorer
g(300)=600−5
SubTerm
Subtrahera term
g(300)=595
De funktionsvärdet är g(300)=595.
Övning
Utvärdera olika funktioner
Utvärdera den givna funktionen vid den givna inmatningen.
Teori
Värdetabell
En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
2y-värdet
6.Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).
Teori
Graf
En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.
Teori
Rita grafer med räknare
Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.
1
Ange funktionsregeln
expand_more Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y1, Y2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte −.
2
Rita grafen
expand_more För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.
3
Utforska grafen
expand_more Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.
Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.
Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.
Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.
Extra
Rita flera graferOm man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.
Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.
Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y1 och Y3 att ritas upp i koordinatsystemet.
För att välja tillbaka Y2 trycker man på likhetstecknet en gång till.
Exempel
Rita grafer av funktioner
Betrakta följande funktioner.
{f(x)=2x+3g(x)=−x+6
a Använd en miniräknare för att rita grafer av funktionerna.
b Använd en kalkylator för att hitta skärningspunkten mellan graferna.
Svar
a Graf:
b Skärningspunkt: (1,5)
Ledtråd
a Skriv in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen. Rita sedan graferna genom att trycka på GRAPH.
b Tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet,
intersect.Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Lösning
a Lägg märke till att båda funktionerna är givna på rätt-linje form. För att rita graferna på en grafräknare måste vi först skriva in ekvationerna genom att trycka på Y= knappen.
Efter att ha angett ekvationerna kan vi rita deras grafer genom att trycka på GRAPH.
b För att hitta skärningspunkten trycker vi på 2ND och CALC och väljer det femte alternativet,
intersect.
Nu kommer vi att se grafen igen. Vi måste välja första och andra kurvan innan vi gissar var skärningspunkten ligger. Se till att placera markören så nära skärningspunkten som möjligt.
Graferna skär varandra i punkten (1,5).
Funktioner och grafer
Övningar
Figuren visar grafen till funktionen f(x).
{"type":"text","form":{"type":"interval","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0.55","ineq1":"le","text2":"0.7","ineq2":"le"}}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
f(-1,5) innebär att vi ska bestämma funktionsvärdet när x=-1,5. Vi utgår alltså från x=-1,5 på x-axeln och går mot grafen. När vi träffar grafen läser vi av det motsvarande y-värdet.
När x=-1,5 är funktionsvärdet ungefär 0,6, dvs. f(-1,5)≈ 0,6.
f(1) är funktionsvärdet när x=1. Om det är lika med 0 är x=1 en av funktionens nollställe, dvs. den skär x-axeln där. Vi undersöker om det är så.
När x=1 är funktionsvärdet 1. Så ja, f(1) är lika med 0.
security
report
code
En graf beskrivs av funktionen y=−2x+1. Ligger följande punkt på denna graf?
(−3,7)
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
(2,−2)
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
Om en punkt ligger på en graf ska vänster- och högerled bli lika stora när man sätter in punktens x- och y-koordinater och förenklar.
Punkten (- 3,7) ligger på linjen eftersom VL=HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen.
Nu undersöker vi om (2,-2) ligger på linjen på samma sätt.
Punkten (2, - 2) ligger inte på linjen eftersom VL≠ HL när man sätter in punktens koordinater i funktionen. I koordinatsystemet nedan har vi markerat linjen och punkterna i ett koordinatsystem.
security
report
code
Beskriv en verklig situation som nedanstående graf skulle kunna representera.
Tolka grafen.
security
report
code
security
report
code
Vi gör följande observationer:
- x-axeln anger antalet dagar
- y-axeln anger centimeter
- Grafen börjar i (1,5)
Grafen ska alltså beskriva en höjd eller djup av något slag som förändras både positivt och negativt under loppet av 15 dagar. Vi ser att det sker stora förändringar under dagarna 3, 9, och 13. Något som varierar mycket under exempelvis januari månad är snön på marken. När det snöar ökar snödjupet och när det blir plusgrader minskar det. Grafen skulle alltså kunna beskriva snödjupet under en den första halvan av en vintermånad, t.ex. januari.
Som redan nämnts börjar grafen i (1,5). Detta betyder att snödjupet är 5cm första januari. Den tredje januari snöar det så att snödjupet ökar till 15cm varpå det är uppehåll fram till den 8 januari. Därefter töar det och snödjupet minskar till 10cm. Den 12 januari snöar det igen så snödjupet ökar till 20cm.
security
report
code
En ekonomiskt lagd matematiker brukar ofta åka taxi. Hon brukar växla mellan två olika taxibolag, Taxi Flopp och Taxi Galopp. Taxi Flopp har en grundkostnad på 50 kr och en kilometerkostnad på 12 kr, medan Taxi Galopp kostar 28 kr i grundavgift och 14 kr per kilometer. Hon sätter upp två funktioner som beskriver kostnaden för att åka med de olika bolagen.
f(x)g(x)=12x+50=14x+28
Hur långt ska man åka för att det ska kosta lika mycket att åka med de olika bolagen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"km","answer":{"text":["11"]}}
security
report
code
security
report
code
Där graferna skär varandra har funktionerna samma y-värde, dvs. samma kostnad. Vi avläser vid vilket x-värde detta sker.
Linjerna ser ut att skära varandra vid x=11 så om man åker 11km kostar båda bolagen lika mycket.
security
report
code
Nedan syns graferna till funktionerna f(x) och g(x).
För vilka x är...
g(x)=4
{"type":"multichoice","form":{"alts":["<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">-<\/span><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord text\"><span class=\"mord\">-<\/span><\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">0<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">1<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">2<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">3<\/span><\/span><\/span><\/span>","<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><\/span><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.64444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord\">4<\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,6]}
security
report
code
security
report
code
Ekvationen f(x)=2 innebär att vi ska bestämma vid vilket eller vilka x-värden som f(x) antar y-värdet 2. Vi går från y=2 på y-axeln högerut till den blå grafen och läser av x-värdet.
f(x) är lika med 2 när x=2.
Vi ritar en horisontell linje där y=4. När är y-värdet för den röda grafen lika med 4?
När den svarta horisontella linjen skär den röda är g(x) lika med 4. I det här fallet ser vi att det sker på två ställen: där x=- 2 och x=4.
security
report
code
Funktioner och grafer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll