Trigonometriska Ekvationer: Cosinussatsen och dess tillämpningar

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Cosinussatsen

Förkunskaper

Rätvinkliga trianglar
Pythagoras sats
Trigonometriska funktioner

Utforska

Limitations of the Law of Sines

The applet below shows two different cases for a triangle with vertices $A,$ $B,$ and $C .$ Case I shows the lengths of two sides and the measure of their included angle. Case II shows the lengths of all three sides.

Is it possible to find the missing side lengths and angle measures by using the Law of Sines? Remember, the Law of Sines gives the following relation between the sides and angles.

\frac{sin ( A )}{a} = \frac{sin ( B )}{b} = \frac{sin ( C )}{c}

Regel

Cosinussatsen

Cosinussatsen anger ett samband mellan en godtycklig triangels sidor och en av triangelns vinklar.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)$

Längderna $a,$ $b$ och $c$ är triangelns sidor och $A$ är den motstående vinkeln till sidan $a .$

Beroende på vad man vet om en triangel kan cosinussatsen användas för att bestämma en sida eller en vinkel. Känner man till två sidor och dess mellanliggande vinkel kan man beräkna triangelns tredje sida. Känner man till triangelns samtliga sidor kan man beräkna en eller flera av triangelns återstående vinklar.

Bevis

För att bevisa cosinussatsen utgår man från en generell triangel $A B C .$ I triangeln ritar man ut en höjd, $h,$ vilket bildar två rätvinkliga trianglar. Man kan kalla deras baser $x$ och $y .$

Dessa sidor,

x

och

y,

kan man skriva om med hjälp av definitionen för cosinus.

cos (A) cos (B) = \frac{x}{b} \Rightarrow = \frac{y}{a} \Rightarrow x y = b cos (A) = a cos (B)

Man kan sedan ersätta

x

och

y

med dessa uttryck.

Genom att använda Pythagoras sats på båda de rätvinkliga trianglarna får man följande två ekvationer:

b^{2} a^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} .

Eftersom

h^{2}

finns i båda likheterna går det att lösa ut det ur den ena ekvationen och sätta in i den andra.

{b^{2} = h^{2} + (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2} (I) (II)

SubEqn

$(I):$ $VL - (b cos (A))^{2} = HL - (b cos (A))^{2}$

{b^{2} - (b cos (A))^{2} = h^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

RearrangeEqn

$(I):$ Omarrangera ekvation

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = h^{2} + (a cos (B))^{2}

Substitute

$(II):$ $h^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2}$

{h^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} a^{2} = b^{2} - (b c o s (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

Nu fokuserar man helt på den andra ekvationen. Eftersom cosinussatsen endast innehåller vinkel

A

försöker man skriva om uttrycket

a cos (B)

så att det istället beror på den vinkeln. Då använder man att summan av sträckorna

b cos (A)

och

a cos (B)

är lika med

c .

b cos (A) + a cos (B) = c ⇕ a cos (B) = c - b cos (A)

Till sist ersätter man

a cos (B)

med detta nya uttryck och förenklar sambandet.

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (a cos (B))^{2}

Substitute

$a cos (B) = c - b c o s (A)$

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + (c - b c o s (A))^{2}

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

a^{2} = b^{2} - (b cos (A))^{2} + c^{2} - 2 c b cos (A) + (b cos (A))^{2}

SimpTerms

Förenkla termer

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos (A)

Liknande resonemang kan föras för alla vinklar i triangeln.

Q.E.D.

Exempel

Bestäm sidan med cosinussatsen

I en triangel

X Y Z

känner man till att sidorna

X Y = 8, 6

och

Y Z = 5, 6 .

Dessutom vet man att den mellanliggande vinkeln

Y

är

4 8^{\circ} .

Bestäm triangelns tredje sida. Avrunda svaret till en decimal.

Ledtråd

Använd cosinussatsen.

Lösning

Vi känner till två sidor samt den mellanliggande vinkeln i triangeln $X Y Z .$ Det innebär att vi med hjälp av cosinussatsen] kan bestämma den tredje sidan, som vi kan kalla $a,$ eftersom den är motstående sida till den kända vinkeln.