Avstånds- och mittpunktsformlerna

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta $d)$ kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså $\Delta x$ och $\Delta y.$

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som där $\Delta x$ och $\Delta y$ är differensen mellan punkternas koordinater. $\Delta x$ är alltså $x_2-x_1$ och $\Delta y$ är $y_2-y_1.$ Detta sätts in i uttrycket och $d$ löses ut för att få avståndsformeln. Eftersom $d$ är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

För enkelhetens skull kommer punkterna $A\left(x_1,y_1\right)$ och $B\left(x_2,y_2\right)$ att godtyckligt placeras i första kvadranten. Betrakta också sträckan som förbinder dessa punkter. Mittpunkten $M$ mellan $A$ och $B$ är mittpunkten på denna sträcka. Observera att punkternas position i planet inte påverkar beviset. Betrakta det horisontella avståndet $\Delta x$ och det vertikala avståndet $\Delta y$ mellan $A$ och $B.$ Eftersom $M$ är mittpunkten, delar $M$ varje avstånd, $\Delta x$ och $\Delta y,$ i hälften. Därför är de horisontella och vertikala avstånden från varje ändpunkt till mittpunkten $\frac{\Delta x}{2}$ och $\frac{\Delta y}{2}.$ Låt $x_m$ och $y_m$ vara koordinaterna för $M.$ Fokusera nu på $x\text{-}$koordinaterna. Skillnaden mellan de motsvarande $x\text{-}$koordinaterna ger de horisontella avstånden mellan mittpunkten och ändpunkterna. Grafen ovan visar att dessa avstånd båda är lika med $\frac{\Delta x}{2}$. Därför är de lika enligt den transitiva lagen för likhet. Denna ekvation kan lösas för att hitta $x_m,$ $x\text{-}$koordinaten för mittpunkten $M.$ $x\text{-}$koordinaten för $M$ är $x_m=\frac{x_1+x_2}{2}.$ På samma sätt kan man visa att $y\text{-}$koordinaten för $M$ är $y_m=\frac{y_1+y_2}{2}.$ Med denna information kan koordinaterna för $M$ uttryckas med hjälp av koordinaterna för $A$ och $B.$