mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Analytisk geometri

Avstånds- och mittpunktsformlerna


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Begrepp

Koordinatgeometri

I koordinatgeometri löser man geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer i koordinatsystem. Beräknar man exempelvis avståndet eller mittpunkten mellan två punkter använder man sig av koordinatgeometri.

Regel

Avståndsformeln

För två punkter och i ett koordinatsystem kan avståndet mellan dem beräknas med avståndsformeln.

Bevis

Avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem (betecknas ofta ) kan ses som hypotenusan i en rätvinklig triangel där kateterna är de vågräta och lodräta avstånden mellan punkterna, alltså och

Enligt Pythagoras sats förhåller sig hypotenusan till kateterna som där och är differensen mellan punkternas koordinater. är alltså och är . Detta sätts in i uttrycket och löses ut för att få avståndsformeln.

Eftersom är en sträcka är den alltid positiv. Därför är den negativa lösningen inte intressant.

Q.E.D.
fullscreen
Uppgift

Beräkna avståndet mellan punkterna i koordinatsystemet.

Visa Lösning
Lösning

För att bestämma avståndet mellan punkterna använder vi avståndsformeln. Vi börjar då med att läsa av koordinaterna för punkterna.

Punkterna ligger i koordinaterna och Vi sätter in dessa i avståndsformeln.

Avståndet mellan punkterna är le.

Regel

Mittpunktsformeln

Mittpunkten mellan två punkter, och kan bestämmas med hjälp av mittpunktsformeln. Mittpunktens koordinater är medelvärdet av punkternas - respektive -koordinater.

Regel

För att bestämma mittpunkten mellan två punkter kan man börja med att se sträckan mellan punkterna som hypotenusan i en rätvinklig triangel. Mittpunkten kommer då att halvera denna. Eftersom hypotenusan halveras kommer även de två kateterna att delas på hälften.

Rätvinklig triangel med hypotenusan delad i två lika stora delar

I koordinatsystemet kan avstånden i -led mellan punkterna mittpunkten och uttryckas som skillnaden mellan -koordinaterna.

Eftersom är mittpunkt på den tänkta hypotenusan blir de två avstånden i -led, och lika stora. Man kan därför sätta dessa lika för att få en ekvation som man kan lösa ut ur.

Med mittpunktsformeln blir -koordinaten dvs. samma som med resonemanget ovan. På motsvarande sätt kan man motivera att mittpunkten i -led är

fullscreen
Uppgift

Bestäm koordinaterna för den punkt som ligger mittemellan punkterna.

Visa Lösning
Lösning

Vi använder oss av mittpunktsformeln. Då måste vi först läsa av punkternas koordinater.

Punkterna ligger i koordinaterna och Nu kan vi använda formeln för att bestämma mittpunktens koordinater och

Mittpunktens -koordinat är

Mittpunktens -koordinat är . Mittpunkten har alltså koordinaterna

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward