Polynom och funktioner

Polynomekvationer av högre grad

Teori

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex. x3x=7x2+3. x^3 - x = 7x^2 + 3. En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som x37x2x3=0 x^3 - 7x^2 - x - 3 = 0

vet man att den har maximalt 33 lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som pqpq-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 33 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen x3+8x2=20x x^3+8x^2=20x på detta sätt.

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0,0, så man subtraherar 20x20x från båda led: x3+8x220x=0. x^3+8x^2-20x=0.

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.x.

x3+8x220x=0x^3+8x^2-20x=0
x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0
{x=0x2+8x20=0\begin{cases}x=0 \\ x^2+8x-20=0 \end{cases}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
a(-b)=a+ba-(\text{-} b)=a+b
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna x=0,x=0, x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen ax4+bx2+c=0,ax^4+bx^2+c=0, alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med pqpq-formeln. Ekvationen 2x436x2+160=0 2x^4-36x^2+160=0 kan exempelvis lösas med denna metod.

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pqpq-form, dvs. så att koefficienten framför x4x^4 är 11 och högerledet är lika med 0.0. I detta fall divideras ekvationen med 2,2, vilket ger x418x2+80=0. x^4-18x^2+80=0.

Låt x2=t.x^2=t. Mittentermen blir då -18t\text{-}18t och genom att skriva om x4x^4-termen som (x2)2\left(x^2\right)^2 ser man också att x4=t2.x^4=t^2.

x418x2+80=0x^4-18x^2+80=0
(x2)218x2+80=0\left(x^2\right)^2-18x^2+80=0
x2=tx^2={\color{#0000FF}{t}}
t218t+80=0{\color{#0000FF}{t}}^2-18{\color{#0000FF}{t}}+80=0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pqpq-formeln.

t218t+80=0t^2-18t+80=0
t=--182±(-182)280t=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{80}}}
t=-(-9)±(-9)280t=\text{-}(\text{-}9)\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±(-9)280t=9\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±8180t=9\pm\sqrt{81-80}
t=9±1t=9\pm\sqrt{1}
t=9±1t=9\pm1
t1=8t2=10\begin{array}{l}t_1=8 \\ t_2=10 \end{array}

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x,x, inte t,t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x2=t,x^2=t, och för lösningarna t=8t=8 och t=10t=10 ger det att x2=8ochx2=10. x^2=8\quad \text{och}\quad x^2=10.

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x2=8x^2=8
x=±8x=\pm\sqrt{8}

Två av lösningarna är alltså x=8x=\sqrt{8} och x=-8.x=\text{-} \sqrt{8}.

x2=10x^2=10
x=±10x=\pm\sqrt{10}

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså x=±8x=\pm \sqrt{8} och x=±10.x=\pm \sqrt{10}.

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen x4+2x3+8=9x2+2x x^4+2x^3+8=9x^2+2x på detta sätt.

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är 00 kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna: x4+2x39x22x+8=0. x^4+2x^3-9x^2-2x+8=0. Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är x=-4,x=\text{-}4, x=-1,x=\text{-}1, x=1x=1 och x=2x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.

Digitala verktyg

Hitta nollställe med räknare

Exempel

Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden