body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

2c

Kurs 2c Visa detaljer

1. Vinklar och månghörningar

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 4

1.

Vinklar och månghörningar

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	12 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 12

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Vinkel
Typer av vinklar
Transversal
Vinklar bildade av en transversal
Polygon
Regelbunden polygon
Triangel
Vinkelsumma för polygoner

Koncept

Vinkel

En vinkel är en plan figur som bildas av två strålar som har samma startpunkt. Denna gemensamma punkt kallas för vinkelspetsen och strålarna är vinkelben.

Det finns olika sätt att beteckna en vinkel och ofta använder man symbolen $\land$ framför namnet. Ett sätt att namnge en vinkel är att använda punkten som utgör vinkelspetsen. Ett annat sätt är att använda alla tre punkter som används för att beskriva vinkeln. I detta fall skrivs punkten som utgör vinkelspetsen alltid i mitten av namnet, men däremot används inte alltid symbolen $\land .$ Utöver dessa sätt så kan vinklar ibland namnges med gemena latinska och grekiska.

	Notation
Vinkelspets	$\land B$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle	$\land A B C$ eller $\land C B A$
Vinkelspets och en punkt på varje stråle, utan $\land$	$A B C$ eller $C B A$
Grekiska bokstäver	T.ex. $\land α$ eller $\land β$ eller $\land θ$

Ibland används symbolen $∠$ i stället för $\land$ för att beteckna vinklar. Värdet av en vinkel är antalet grader mellan vinkelbenen. Det kan mätas med hjälp av en gradskiva.

Insida och utsida av en vinkel

En vinkel kan dela in ett plan i två delar.

Området mellan vinkelbenen, eller vinkels insida.
Området utanför vinkelbenen, eller vinkels utsida.

Dessa områden kan undersökas i följande applikation.

Notera att vinkelns insida är det område där vinkeln är mindre än

18 0^{\circ} .

Utforska

Klara, färdiga, gå!

Många tränare använder stoppur för att utvärdera en idrottares prestation. När startknappen trycks ned så börjar sekundvisaren att rotera och bildar då en vinkel mot sin startposition. En rotation kan mätas i grader. Ett helt varv motsvarar

36 0^{\circ},

alltså

360

grader. Notera att ett helt varv av sekundvisaren innebär att en minut har gått.

Olika vinklar bildas när sekundvisaren roterar. Om man skulle dela in vinklar i olika grupper baserat på hur stora de är, vilka namn skulle då grupperna kunna få?

Koncept

Typer av vinklar

Det finns flera olika typer av vinklar beroende på deras mått.

En rak vinkel är en vinkel vars värde är exakt $18 0^{\circ} .$
En rät vinkel är en vinkel vars värde är exakt $9 0^{\circ} .$
En spetsig vinkel är en vinkel som är större än $0^{\circ}$ men mindre än $9 0^{\circ} .$
En trubbig vinkel är en vinkel som är större än $9 0^{\circ}$ men mindre än $18 0^{\circ} .$

Övning

Vinklar på en urtavla

När tiden går bildar visarna på en klocka olika vinklar. Dela in de angivna vinklarna i rätt kategorier genom att uppskatta deras storlekar.

En klocka där vinkeln mellan minutvisaren och timvisaren är markerad.

Koncept

Transversal

En transversal är en rät linje som skär två andra linjer.

För att linjen ska vara en transversal måste skärningspunkterna med de andra två linjerna vara olika punkter.

Koncept

Vinklar bildade av en transversal

Det finns flera typer av vinklar som bildas av en transversal.

Sidovinklar är ett par av supplementvinklar som har samma vinkelspets, delar ett vinkelben, och inte överlappar. Deras summa är $18 0^{\circ} .$
Vertikalvinklar är ett par vinklar som ligger på motsatta sidor av skärningspunkten mellan två linjer eller linjesegment. Deras mått är desamma.
Likbelägna vinklar är ett par av vinklar som bildas av en transversal när den skär två andra linjer. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.
Alternatvinklar är ett par av vinklar som bildas på motsatt sida av en transversal när den skär två andra linjer. Det finns två typer: inre och yttre. Deras mått är desamma om linjerna är parallella.

Exempel

Hur stora är de olika vinklarna?

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm storleken på vinklarna $a,$ $b,$ $c$ och $d$ med hjälp av de kända vinklarna i figuren.

Fyra räta linjer med kända och okända vinklar markerade vid skärningspunkterna

Skriv måtten på vinklarna

a,

b,

c

och

d

i en lista.

Ledtråd

Hitta de okända vinkelmåtten genom att avgöra om de är sidovinklar, vertikalvinklar, likbelägna vinklar eller alternatvinklar till vinklarna med givna mått.

Lösning

Tänk på varje vinkel en i taget.

Vinkel $a$

Eftersom vinkel $a$ befinner sig på motsatt sida om skärningspunkten mellan två linjer är den vertikalvinkel till vinkeln som är $6 0^{\circ} .$

Vertikalvinklar är alltid lika stora, så $a = 6 0^{\circ} .$

Vinkel $b$

Vinkel

b

är sidovinkel till dels vinkeln som är

6 0^{\circ}

och dels till vinkel

a

som också är

6 0^{\circ}

. Summan av sidovinklar är alltid

18 0^{\circ},

så därför är

6 0^{\circ} + b = 18 0^{\circ} \Leftrightarrow b = 12 0^{\circ} .

Vinkel $c$

Vinkelparet $c$ och $a$ bildas båda av den vänstra linjen som skär $L_{1}$ och $L_{2} .$ De är därför likbelägna vinklar, och eftersom $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella är dessa lika stora. Då måste $c = 6 0^{\circ} .$

Vinkel $d$

Slutligen ser vi att vinkel $d$ och $4 9^{\circ}$ också bildas av en linje som skär linjerna $L_{1}$ och $L_{2},$ men dessa står på varsin sida om skärningslinjen. Därför är de alternatvinklar vid parallella linjer och därför lika stora. Vinkel $d$ är då $4 9^{\circ} .$

Sammanfattningsvis är alltså

a = 6 0^{\circ}, b = 12 0^{\circ}, c = 6 0^{\circ}, d = 4 9^{\circ} .

Övning

Beräkna värdet av $x$ i vinkeln

För var och en av de givna vinklarna, beräkna värdet av $x .$

Ett slumpmässigt par av vertikala, komplementära eller supplementära vinklar. Storleken på en av vinklarna är given och storleken på den andra efterfrågas.

Koncept

Polygoner och trianglar

En polygon, eller månghörning, består av tre eller fler linjesegment, kallade sidor, vars ändpunkter ansluter ände mot ände för att omsluta en area. När alla sidor i en polygon har samma längd, kallas den för en regelbunden polygon.

En triangel är en polygon med tre vinklar och tre sidor. Trianglar kan delas in i kategorier baserat på antingen deras sidlängder eller deras vinklar.

Interaktiv triangel med ett flyttbart hörn.

I följande tabell finns alla olika typer av trianglar, indelade i olika grupper baserat på om de har att göra med triangelns vinklar eller sidlängder.

Typer av trianglar
Vinklar	Sidlängder
Spetsvinklig triangel	Likbent triangel
Rätvinklig triangel	Liksidig triangel
Trubbvinklig triangel	Liksidig triangel

Regel

Teorem för polygonens inre vinklar

Summan av måtten på de inre vinklarna i en polygon med $n$ hörn ges av följande formel.

$(n - 2) 18 0^{\circ}$

Formeln kan tillämpas på vilken som helst polygon, inte bara på regelbundna polygoner.

Summor av mått på inre vinklar i polygoner

Bevis

I beviset kommer en pentagon att övervägas. Dock är beviset giltigt för vilken polygon som helst.

För vilken femhörning som helst kan två icke-korsande diagonaler dras för att dela femhörningen i tre trianglar. I fallet med en godtycklig polygon med $n$ hörn kan $n - 3$ icke-korsande diagonaler dras för att dela polygonen i $n - 2$ trianglar.

Låt

P

vara summan av måtten på vinklarna i

A B C D E,

och

S_{1},

S_{2},

och

S_{3}

vara summorna av måtten på vinklarna i

△ B C D,

△ B D E,

respektive

△ B E A .

Det kan noteras att summan av vinkelmåtten i femhörningen är lika med den totala summan av vinkelmåtten i de tre trianglarna.

P = S_{1} + S_{2} + S_{3}

Enligt Teoremet om trianglars vinkelsumma är summan av vinkelmåtten i varje triangel lika med

18 0^{\circ} .

Då kan

18 0^{\circ}

substitueras för

S_{1},

S_{2}

och

S_{3} .

P = S_{1} + S_{2} + S_{3} ⇕ P = 18 0^{\circ} + 18 0^{\circ} + 18 0^{\circ}

Detta innebär att

P

är lika med

3 \cdot 18 0^{\circ},

eller

(5 - 2) \cdot 18 0^{\circ} .

I fallet med en godtycklig polygon med

n

hörn finns det

n - 2

trianglar, så summan av vinkelmåtten i polygonen är

(n - 2) \cdot 18 0^{\circ} .

Detta bevisar teoremet.

$P = (n - 2) 18 0^{\circ}$

Övning

Att hitta det saknade vinkelmåttet

Bestäm det saknade vinkelmåttet. Här är polygonerna, där alla sidor är lika långa, regelbundna polygoner. Avrunda svaret till närmaste heltal om det behövs.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

I figuren är linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella.

likbelägna vinklar, alternatvinklar, vertikalvinklar, sidovinklar

Bestäm vilka par av vinklar som är av följande typ.

Vertikalvinklar

Sidovinklar

Vertikalvinklar är de vinklar som bildas på motsatt sida av två linjer som skär varandra. Vi markerar därför vinkelparen a och b samt c och d.

Eftersom de horisontella linjerna är parallella blir de också parvis lika stora. Man kan även visa att alla fyra vinklar är lika stora.

Nu ska vi avgöra vilka par av vinklar som är sidovinklar, dvs. vinklar som tillsammans är 180^(∘). I figuren ser vi att det bara finns ett par sidovinklar, nämligen e och f.

I figuren är de tunna röda linjerna bisektriser. Bestäm vinkeln $x .$

Bisektriser delar vinklar i två lika stora vinklar. Det innebär att de okända vinklarna i figuren är 60 ^(∘) respektive x.

Eftersom dessa vinklar tillsammans utgör ett halvt varv, dvs. de är sidovinklar, vet vi att summan av dem är 180 ^(∘). Det ger oss ekvationen 60 ^(∘) + 60 ^(∘) + x + x = 180 ^(∘), som vi kan lösa.

Vinkeln x är alltså 30 ^(∘).

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm den okända vinkeln i figuren. Motivera ditt svar!

Två parallella linjer som skärs av en annan line.

En rektangel som skärs av en sned linje.

För att bestämma a kan vi t.ex. rita ut sidovinkeln till den kända vinkeln och kalla den b.

Summan av sidovinklar är alltid 180^(∘), så b blir b=180^(∘)-105^(∘)=75^(∘). Eftersom L_1 och L_2 är parallella är de likbelägna vinklarna b och a lika stora. Därför är även a=75^(∘).

De räta vinklarna i figuren gör att vi kan vara säkra på att den är en rektangel, vars sidor är parallella. Alltså går transversalen genom parallella linjer, vilket gör att de yttre alternatvinklar som bildas av vinkel x och 42-gradersvinklen är lika stora. Alltså är x=42^(∘).

Två räta linjer skär varandra så att fyra vinklar bildas.

Två räta linjer som skär varandra och bildar vinklar.

Om

y = 3 1^{\circ},

vad är då

x ?

Vi börjar med att byta ut y mot 31^(∘).

Hela varvet runt skärningspunkten är 360^(∘), och drar vi bort de två vinklarna som vi just räknat ut får vi kvar 360^(∘)-31^(∘)-31^(∘)=298^(∘). Detta innebär att resterande vinkeln är x= 298 ^(∘)2=149 ^(∘). Då har vi bestämt alla vinklar.

Linjerna $L_{1}$ och $L_{2}$ är parallella. Bestäm storleken på den okända vinkeln. Motivera.

En linje som skär två parallella linjer L1 och L2

Den blå och gröna vinkeln är alternatvinklar, och eftersom L_1 och L_2 är parallella är alternatvinklarna lika stora. Därför är den gröna vinkeln x också 40^(∘).

Den blå 80-gradersvinkeln och den gröna vinkeln x är alternatvinklar, och eftersom L_1 och L_2 är parallella måste vinklarna vara lika stora.

I en liksidig triangel

A B C

dras en bisektris från punkten

B

till en punkt

D

på sidan

A C .

Bestäm

\land A B D .

Vi börjar med att rita upp situationen. I en liksidig triangel är alla sidor lika långa, så det spelar ingen roll vilket hörn vi döper till A, B respektive C. Vi drar sedan en bisektris genom ∧ B. Punkten där bisektrisen möter sidan AC kallar vi för D.

Vi vet även att alla vinklarna i en liksidig triangel är 60 ^(∘). Det innebär att bisektrisen delar vinkel B i två 30-gradersvinklar.

Den vänstra av dessa är vinkel ABD. Alltså är ∧ ABD=30^(∘).

I figuren är de vertikala linjerna $L_{1},$ $L_{2}$ och $L_{3}$ parallella.

Tre parallella linjer och en sned linje som skär dem.

Rita av figuren och markera alla vinklar som är likbelägna till den röda vinkeln.

Markera alla vinklar som är lika stora som den röda. Motivera.

Likbelägna vinklar ligger på "samma ställe" i förhållande till skärningspunkterna. I vår figur bildar den sneda linjen vinklar på samma ställe som den röda fast för linjerna L_2 och L_3. Alla dessa är alltså likbelägna.

Alla likbelägna vinklar som vi markerade i förra deluppgiften är lika stora, eftersom linjerna L_1, L_2 och L_3 är parallella. Dessutom hittar vi vertikalvinklar på motsatta sidan om varje markerad vinkel. Eftersom vertikalvinklar alltid är lika stora, måste även dessa ha samma storlek som ursprungsvinkeln.

Alla markerade vinklar i figuren ovan är alltså lika stora som den ursprungliga röda vinkeln.